Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, simulare

Rezultatul calculului \(25-25:(2+3)\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   2+3=5

   Prima dată se efectuează operațiile din parantezele rotunde, pentru că așa spune regula ordinii operațiilor. Astfel, expresia devine \(25-25:5\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   25:5=5

   După paranteze urmează înmulțirile și împărțirile, înaintea adunărilor și scăderilor. De aceea împărțim înainte să scădem: \(25:5=5\). Expresia devine \(25-5\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   25-5=20

   La final rămâne doar scăderea: \(25-5=20\). Dacă am fi scăzut primele (25−25=0), am fi greșit, pentru că am fi încălcat ordinea operațiilor.

Răspuns: 20

Numărul pătratelor perfecte din mulțimea numerelor naturale de două cifre este egal cu ….

Metoda: Numărarea pătratelor perfecte

1. 1

   Ce este un pătrat perfect

   n=k^2,\ k\in\mathbb{N}

   Un pătrat perfect este rezultatul ridicării unui număr natural la pătrat. De exemplu, \(4=2^2\) și \(9=3^2\) sunt pătrate perfecte. Ne interesează doar cele care au două cifre, deci cele cuprinse între \(10\) și \(99\).

2. 2

   Găsim limitele pentru k

   3^2=9<10,\quad 4^2=16\ge 10,\quad 9^2=81\le 99,\quad 10^2=100>99

   Cât timp \(k\) este mic, pătratul are o singură cifră: \(3^2=9\). Prima dată când pătratul are două cifre este \(4^2=16\). Apoi \(9^2=81\) mai are două cifre, dar \(10^2=100\) are deja trei cifre. Deci \(k\) merge de la \(4\) la \(9\).

3. 3

   Listăm și numărăm pătratele

   16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81

   Calculăm pătratele pentru \(k=4,5,6,7,8,9\): \(16, 25, 36, 49, 64, 81\). Sunt 6 numere, deci există 6 pătrate perfecte de două cifre.

Răspuns: 6

Dacă \(A\) este mulțimea numerelor naturale pare și \(B\) este mulțimea numerelor naturale impare, atunci mulțimea \(A \cap B\) este egală cu ….

Metoda: Intersecția a două mulțimi

1. 1

   Scriem cele două mulțimi

   A=\{0,2,4,6,\dots\},\quad B=\{1,3,5,7,\dots\}

   \(A\) conține numerele naturale pare (se împart exact la 2), iar \(B\) conține numerele naturale impare (la împărțirea cu 2 dau restul 1). Scriem primele elemente ale fiecărei mulțimi ca să le putem compara.

2. 2

   Căutăm elemente comune

   A \cap B=\{x \mid x\in A \text{ și } x\in B\}

   Intersecția \(A \cap B\) conține numerele care sunt și în \(A\), și în \(B\). Deci am avea nevoie de un număr natural care este și par, și impar în același timp. Un număr este par dacă dă restul 0 la împărțirea cu 2 și impar dacă dă restul 1; nu poate avea două resturi diferite.

3. 3

   Concluzia

   A \cap B=\varnothing

   Deoarece cele două mulțimi nu au niciun element comun, intersecția lor este mulțimea vidă, notată \(\varnothing\) (sau \(\phi\)). Acesta este rezultatul din barem.

Răspuns: \(A \cap B=\varnothing\) (mulțimea vidă)

Un cerc are lungimea egală cu \(20\pi\) cm. Diametrul acestui cerc este egal cu … cm.

Metoda: Lungimea cercului

1. 1

   Scriem formula lungimii cercului

   L = 2\pi r = \pi d

   Lungimea cercului este \(L = 2\pi r\), unde \(r\) este raza. Diametrul este dublul razei, \(d = 2r\), deci putem scrie și \(L = \pi d\). Cum cerem diametrul, formula cu \(d\) este cea mai potrivită, fiindcă ne scutește de un calcul în plus.

2. 2

   Aflăm diametrul

   20\pi = \pi d \Rightarrow d = 20\pi : \pi = 20

   Înlocuim \(L = 20\pi\) în formulă și obținem \(20\pi = \pi d\). Împărțim ambele părți la \(\pi\), ca să rămână \(d\) singur. Rezultă \(d = 20\) cm, la fel ca în barem.

Răspuns: Diametrul cercului este 20 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 3\) cm. Aria dreptunghiului \(ACC'A'\) este egală cu … \(\text{cm}^2\).

Metoda: Diagonala pătratului și aria dreptunghiului

1. 1

   Aflăm lungimea diagonalei AC

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

   Baza \(ABCD\) este un pătrat cu latura de 3 cm. Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), iar \(AC\) este ipotenuza. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(AC^2=AB^2+BC^2=9+9=18\). Deci \(AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) cm, pentru că \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}\).

2. 2

   Stabilim dimensiunile dreptunghiului ACC'A'

   AA'=3,\quad AC=3\sqrt{2}

   Muchia laterală \(AA'\) a cubului are tot 3 cm, la fel ca \(AB\), deoarece toate muchiile cubului sunt egale. Dreptunghiul \(ACC'A'\) are deci laturile \(AC=3\sqrt{2}\) cm și \(AA'=3\) cm.

3. 3

   Calculăm aria dreptunghiului

   \mathcal{A}=AC\cdot AA'=3\sqrt{2}\cdot 3=9\sqrt{2}

   Aria unui dreptunghi este lungime ori lățime. Obținem \(3\sqrt{2}\cdot 3=9\sqrt{2}\) \(\text{cm}^2\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(9\sqrt{2}\) \(\text{cm}^2\)

În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de mediile obținute la matematică, pe semestrul I. Media: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; Număr elevi: 1, 3, 6, 7, 5, 4, 2. Numărul elevilor din această clasă care au obținut la matematică, pe semestrul I, cel puțin media 6 și cel mult media 9 este egal cu ….

Metoda: Citirea datelor dintr-un tabel

1. 1

   Înțelegem ce înseamnă „cel puțin 6 și cel mult 9”

   6 \le \text{media} \le 9

   „Cel puțin media 6” înseamnă media 6 sau mai mare. „Cel mult media 9” înseamnă media 9 sau mai mică. Deci ne interesează mediile 6, 7, 8 și 9, inclusiv 6 și 9. Mediile 4, 5 și 10 nu intră.

2. 2

   Citim numărul de elevi pentru fiecare medie

   6 \to 6,\; 7 \to 7,\; 8 \to 5,\; 9 \to 4

   Din tabel: media 6 are 6 elevi, media 7 are 7 elevi, media 8 are 5 elevi, media 9 are 4 elevi. Citim numărul de sub fiecare medie.

3. 3

   Adunăm numerele de elevi

   6+7+5+4=22

   Fiecare elev apare într-o singură coloană, deci putem aduna numerele fără să numărăm pe nimeni de două ori. Obținem numărul total de elevi cu media între 6 și 9.

Răspuns: 22

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful \(V\) și baza \(ABCD\).

Metoda: Desenarea piramidei patrulatere regulate

1. 1

   Ce este o piramidă patrulateră regulată?

   ABCD \text{ pătrat}, \quad VO \perp (ABCD)

   O piramidă patrulateră regulată are ca bază un pătrat \(ABCD\). Vârful \(V\) se află exact deasupra centrului pătratului, adică deasupra punctului \(O\), intersecția diagonalelor. Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei. Toate muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\) sunt egale.

2. 2

   Desenăm baza \(ABCD\) în perspectivă

   ABCD \text{ (paralelogram în desen)}

   Pătratul se desenează în perspectivă ca un paralelogram. Marcăm \(A\) și \(B\) în față, iar \(D\) și \(C\) în spate. Muchiile ascunse (de exemplu \(AD\) sau \(DC\), împreună cu diagonalele pe care le desenăm) se fac cu linie punctată, pentru a respecta convențiile de desen în spațiu.

3. 3

   Găsim centrul \(O\) și ridicăm înălțimea

   O = AC \cap BD, \quad VO \perp (ABCD)

   Tragem diagonalele \(AC\) și \(BD\) (punctat) și notăm intersecția lor cu \(O\). Din \(O\) ridicăm o verticală, iar pe ea alegem vârful \(V\). Astfel piramida este regulată: vârful este deasupra centrului bazei.

4. 4

   Unim vârful cu colțurile și notăm figura

   VA,\; VB,\; VC,\; VD

   Unim \(V\) cu \(A, B, C, D\) pentru a obține muchiile laterale. Cele care se văd se desenează continuu, iar cea ascunsă (de obicei \(VD\)) punctat. La final scrie pe desen literele \(V, A, B, C, D\) (și \(O\), dacă ai desenat diagonalele). Notarea corectă valorează 1 punct.

Răspuns: Desenul corect: baza pătrat \(ABCD\) (în perspectivă), vârful \(V\) deasupra centrului \(O\), cele patru muchii laterale \(VA, VB, VC, VD\), muchiile ascunse punctate și figura notată corect (4p desen + 1p notare = 5p).

Determinați numărul natural de trei cifre, de forma \(\overline{abc}\), știind că \(\overline{abc}=\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}\) și \(a\neq 0\).

Metoda: Scrierea numerelor în baza 10

1. 1

   Scriem numerele în baza 10

   \overline{abc}=100a+10b+c,\ \overline{ab}=10a+b,\ \overline{bc}=10b+c,\ \overline{ca}=10c+a

   O cifră din numărul \(\overline{abc}\) valorează cât cifra înmulțită cu 100, 10 sau 1, după poziție. De aceea scriem fiecare număr descompus, ca să putem lucra cu cifrele a, b, c.

2. 2

   Formăm egalitatea și o simplificăm

   100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)\Rightarrow 100a+10b+c=11a+11b+11c

   Înlocuim în egalitatea din enunț. Adunăm în dreapta termenii cu aceeași literă: \(10a+a=11a\), \(b+10b=11b\), \(c+10c=11c\).

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   100a+10b+c=11a+11b+11c\Leftrightarrow 89a=b+10c

   Mutăm termenii: \(100a-11a=89a\), \(11b-10b=b\), \(11c-c=10c\). Obținem relația \(89a=10c+b\), adică \(89a=\overline{cb}\).

4. 4

   Aflăm cifra a

   89a=\overline{cb}\le 99\Rightarrow a=1

   Numărul \(\overline{cb}\) are cel mult două cifre, deci este cel mult 99. Dacă \(a\ge 2\), atunci \(89a\ge 178\), prea mare. Cum \(a\ne 0\), rămâne \(a=1\).

5. 5

   Aflăm b și c și scriem numărul

   \overline{cb}=89\Rightarrow c=8,\ b=9\Rightarrow \overline{abc}=198

   Pentru \(a=1\) avem \(\overline{cb}=89\), deci cifra zecilor este c=8 și cifra unităților este b=9. Numărul este \(\overline{abc}=198\). Verificăm: \(19+98+81=198\).

Răspuns: Numărul este 198.

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi turistul a parcurs jumătate din lungimea traseului, în a doua zi turistul a parcurs jumătate din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi restul de 5 km. Calculați lungimea traseului parcurs în cele trei zile.

Metoda: Ecuație cu necunoscuta lungimea traseului

1. 1

   Alegem necunoscuta și scriem distanța din fiecare zi

   x,\quad \frac{1}{2}x,\quad \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x,\quad 5

   Notăm cu \(x\) lungimea întregului traseu (în km). În prima zi turistul face \(\frac{1}{2}x\). În a doua zi face jumătate din ce a făcut în prima zi, adică \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x\). În a treia zi face 5 km. Notăm necunoscuta pentru a putea scrie problema ca o ecuație.

2. 2

   Scriem ecuația

   \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+5=x

   Cele trei distanțe parcurse în cele trei zile se adună și dau lungimea întregului traseu, adică \(x\). De aceea suma \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+5\) trebuie să fie egală cu \(x\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{2}{4}x+\frac{1}{4}x+5=x \Rightarrow \frac{3}{4}x+5=x \Rightarrow 5=\frac{1}{4}x \Rightarrow x=20

   Aducem fracțiile la același numitor: \(\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}x\). Atunci \(\frac{2}{4}x+\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x\). Ecuația devine \(\frac{3}{4}x+5=x\). Scădem \(\frac{3}{4}x\) din ambele părți: \(5=x-\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}x\). Deci \(x=5\cdot 4=20\). Ne-am folosit de faptul că, dacă ambele părți ale unei egalități se modifică la fel, egalitatea rămâne adevărată.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   10+5+5=20

   Verificăm cu \(x=20\): în prima zi turistul face \(\frac{1}{2}\cdot 20=10\) km, în a doua zi \(\frac{1}{4}\cdot 20=5\) km, iar în a treia zi 5 km. Suma este \(10+5+5=20\) km, adică exact lungimea traseului. Deci soluția este corectă.

Răspuns: Lungimea traseului este de 20 km.

Se consideră numerele \(a = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{3}{\sqrt{18}} + \frac{4}{\sqrt{32}}\) și \(b = \frac{\sqrt{13^2 - 5^2}}{\sqrt{10^2 - 8^2}}\). a) Arătați că \(a = 2\sqrt{2}\).

Metoda: Scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Scoatem factorii de sub radical

   \sqrt{8}=2\sqrt{2},\ \sqrt{18}=3\sqrt{2},\ \sqrt{32}=4\sqrt{2}

   Descompunem fiecare număr de sub radical într-un produs în care un factor este pătrat perfect: \(8 = 4\cdot 2\), \(18 = 9\cdot 2\), \(32 = 16\cdot 2\). Apoi scoatem pătratul perfect de sub radical: \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\). Facem asta ca să apară peste tot \(\sqrt{2}\) și fracțiile să devină asemănătoare.

2. 2

   Simplificăm fracțiile

   a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{3\sqrt{2}}+\frac{4}{4\sqrt{2}}

   Înlocuim radicalii cu forma găsită la pasul 1. În fiecare fracție, numărătorul și coeficientul din fața lui \(\sqrt{2}\) de la numitor sunt egali (2 și 2, 3 și 3, 4 și 4), deci putem simplifica. Fiecare fracție devine \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

3. 3

   Adunăm fracțiile

   a=\frac{1+1+1+1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}

   Avem patru fracții egale cu \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), deci le adunăm: 4 bucăți de \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) fac \(\frac{4}{\sqrt{2}}\). Baremul scrie direct \(a=\frac{4}{\sqrt{2}}\).

4. 4

   Raționalizăm numitorul

   \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

   Amplificăm fracția cu \(\sqrt{2}\) ca să scăpăm de radical la numitor, pentru că \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\). Apoi simplificăm 4 cu 2 și obținem \(2\sqrt{2}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(a = 2\sqrt{2}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră numerele \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{8}}+\frac{3}{\sqrt{18}}+\frac{4}{\sqrt{32}}\) și \(b=\frac{\sqrt{13^2-5^2}}{\sqrt{10^2-8^2}}\). b) Calculați \(a^2-b^2\).

Metoda: Calcul cu radicali

1. 1

   Reținem valoarea lui a

   a=2\sqrt{2}

   De la punctul a) am arătat că \(a=2\sqrt{2}\). O folosim aici, ca să nu refacem calculul. Mai departe avem nevoie de \(a^2\).

2. 2

   Calculăm numitorul și numărătorul lui b

   b=\frac{\sqrt{13^2-5^2}}{\sqrt{10^2-8^2}}=\frac{\sqrt{169-25}}{\sqrt{100-64}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{36}}

   Calculăm întâi ce este sub radicali, respectând ordinea operațiilor: puterile, apoi scăderea. Obținem \(169-25=144\) și \(100-64=36\). Baremul scrie \(144=12^2\) și \(36=6^2\).

3. 3

   Aflăm b

   b=\frac{\sqrt{12^2}}{\sqrt{6^2}}=\frac{12}{6}=2

   Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural este chiar numărul: \(\sqrt{12^2}=12\) și \(\sqrt{6^2}=6\). Deci \(b=12:6=2\).

4. 4

   Calculăm a² − b²

   a^2-b^2=8-2^2=8-4=4

   Avem \(a^2=8\) și \(b^2=2^2=4\). Scădem: \(8-4=4\). Este același rezultat ca în barem.

Răspuns: \(a^2-b^2=4\)

Se consideră \(E(x)=x^3+(x+1)^2+2(x-3)(x+3)+17\), unde \(x\) este număr real. Arătați că numărul \(E(n)\) este multiplu de 6, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Calcul algebric și factorizare

1. 1

   Dezvoltăm parantezele cu formulele de calcul prescurtat

   (x+1)^2=x^2+2x+1,\quad (x-3)(x+3)=x^2-9

   Folosim \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Așa scăpăm de paranteze și putem aduna termenii asemenea.

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   E(x)=x^3+x^2+2x+1+2x^2-18+17=x^3+3x^2+2x

   Înlocuim în \(E(x)\) și facem înmulțirea cu 2: \(2(x^2-9)=2x^2-18\). Adunăm termenii de același fel: \(x^2+2x^2=3x^2\), iar numerele \(1-18+17=0\).

3. 3

   Scoatem factorul comun și obținem un produs

   E(n)=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)

   Din \(n^3+3n^2+2n\) scoatem factor comun pe \(n\). Apoi \(n^2+3n+2=n^2+n+2n+2=n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)\), prin grupare de termeni.

4. 4

   Arătăm că produsul se împarte la 6

   n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 6

   Numerele \(n\), \(n+1\), \(n+2\) sunt trei numere naturale consecutive. Dintre ele, cel puțin unul este par (multiplu de 2) și exact unul este multiplu de 3. Cum 2 și 3 sunt prime între ele, produsul se împarte la \(2\cdot 3=6\).

Răspuns: \(E(n)=n(n+1)(n+2)\) este produs de trei numere naturale consecutive, deci este multiplu de 6 pentru orice număr natural \(n\).

Figura 2 reprezintă schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 60\) m și trapezul isoscel \(AEFB\) cu \(AB \parallel EF\), \(EF = 180\) m și \(AE = 60\sqrt{2}\) m. a) Arătați că distanța de la punctul \(A\) la dreapta \(EF\) este egală cu \(60\) m. (Figură: pătratul \(ABCD\) este deasupra bazei mici \(AB\) a trapezului; baza mare \(EF\) este dedesubt.)

Metoda: Trapez isoscel și Pitagora

1. 1

   Ducem perpendiculara din A pe EF

   AM \perp EF,\ M \in EF

   Distanța de la punctul \(A\) la dreapta \(EF\) este lungimea segmentului perpendicular pe \(EF\). De aceea alegem punctul \(M\) pe \(EF\) astfel încât \(AM \perp EF\). Așa obținem triunghiul dreptunghic \(AEM\), în care putem folosi teorema lui Pitagora.

2. 2

   Calculăm EM în trapezul isoscel

   EM = \dfrac{EF - AB}{2} = \dfrac{180 - 60}{2} = 60 \text{ m}

   Trapezul \(AEFB\) este isoscel, deci perpendicularele duse din \(A\) și din \(B\) pe \(EF\) taie din baza mare două segmente egale, câte unul la fiecare capăt. Partea din \(EF\) care rămâne între picioarele celor două perpendiculare este egală cu baza mică \(AB = 60\). Deci cele două segmente de la capete au împreună \(180 - 60 = 120\) m, iar fiecare are \(120 : 2 = 60\) m.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AEM

   AM = \sqrt{AE^2 - EM^2} = \sqrt{(60\sqrt{2})^2 - 60^2} = \sqrt{7200 - 3600} = \sqrt{3600} = 60 \text{ m}

   Triunghiul \(AEM\) este dreptunghic în \(M\), iar \(AE\) este ipotenuza. Din teorema lui Pitagora, \(AE^2 = AM^2 + EM^2\), deci \(AM^2 = AE^2 - EM^2\). Avem \((60\sqrt{2})^2 = 3600 \cdot 2 = 7200\) și \(60^2 = 3600\). Rezultă \(AM^2 = 3600\), deci \(AM = 60\) m. Aceasta este distanța de la \(A\) la \(EF\).

Răspuns: Distanța de la \(A\) la dreapta \(EF\) este \(AM = 60\) m, deci am arătat ceea ce se cerea.

Subiectul III, 1. b): Figura 2 reprezintă schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 60\) m și trapezul isoscel \(AEFB\) cu \(AB \parallel EF\), \(EF = 180\) m și \(AE = 60\sqrt{2}\) m. Calculați aria suprafeței terenului. (La punctul a) s-a arătat că distanța de la \(A\) la dreapta \(EF\) este 60 m.)

Metoda: Aria trapezului plus aria pătratului

1. 1

   Aria trapezului AEFB

   \mathcal{A}_{AEFB}=\frac{(EF+AB)\cdot h}{2}=\frac{(180+60)\cdot 60}{2}=7200\ \text{m}^2

   Aria unui trapez este semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Bazele sunt \(EF=180\) m și \(AB=60\) m. Înălțimea este distanța dintre cele două baze paralele, adică distanța de la \(A\) la \(EF\), care este 60 m, conform punctului a). Calculăm: \(240\cdot 60=14400\), iar \(14400:2=7200\).

2. 2

   Aria pătratului ABCD

   \mathcal{A}_{ABCD}=AB^2=60^2=3600\ \text{m}^2

   Pătratul are latura \(AB=60\) m, deci aria lui este latura înmulțită cu ea însăși: \(60\cdot 60=3600\).

3. 3

   Aria întregului teren

   \mathcal{A}_{teren}=\mathcal{A}_{ABCD}+\mathcal{A}_{AEFB}=3600+7200=10800\ \text{m}^2

   Terenul este format din pătrat și trapez, care nu se suprapun (au doar latura \(AB\) în comun). De aceea aria terenului este suma celor două arii.

Răspuns: Aria terenului este de 10800 m².

Subiectul III, 1. c): Figura 2 reprezintă schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 60\) m și trapezul isoscel \(AEFB\) cu \(AB \parallel EF\), \(EF = 180\) m și \(AE = 60\sqrt{2}\) m. Demonstrați că punctele \(E\), \(A\) și \(C\) sunt coliniare.

Metoda: Suma unghiurilor în unghi alungit

1. 1

   Găsim piciorul înălțimii și triunghiul dreptunghic AEM

   EM=\frac{180-60}{2}=60 \text{ m}

   Ducem \(AM \perp EF\), cu \(M \in EF\). Trapezul fiind isoscel, segmentul \(EF\) depășește baza \(AB\) la fel de mult în ambele părți. Deci \(EM=(EF-AB)/2\). Din subpunctul a) știm și că \(AM=60\) m.

2. 2

   Triunghiul AEM este dreptunghic isoscel

   AM=EM=60 \Rightarrow m(\angle AEM)=45^\circ

   În triunghiul dreptunghic \(AEM\) catetele \(AM\) și \(EM\) sunt egale (ambele 60 m). Un triunghi dreptunghic cu catetele egale are unghiurile ascuțite de \(45^\circ\). Putem verifica și cu Pitagora: \(60^2+60^2=7200=(60\sqrt2)^2\).

3. 3

   Aflăm unghiul EAB din trapezul isoscel

   m(\angle EAB)=180^\circ-45^\circ=135^\circ

   Deoarece \(AB \parallel EF\), unghiurile \(EAB\) și \(AEF\) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei \(AE\), deci sunt suplementare. Cum \(\angle AEF=\angle AEM=45^\circ\), obținem \(\angle EAB=135^\circ\).

4. 4

   Adunăm cu unghiul BAC și concluzionăm

   m(\angle EAC)=m(\angle EAB)+m(\angle BAC)=135^\circ+45^\circ=180^\circ

   \(AC\) este diagonala pătratului \(ABCD\), deci \(\angle BAC=45^\circ\). Punctele \(C\) și \(E\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(AB\), deci unghiurile \(EAB\) și \(BAC\) sunt adiacente și se adună. Obținem \(\angle EAC=180^\circ\), un unghi alungit, deci \(E\), \(A\), \(C\) sunt coliniare.

Răspuns: \(m(\angle EAC)=135^\circ+45^\circ=180^\circ\), deci punctele \(E\), \(A\), \(C\) sunt coliniare.

În figura 3 este reprezentată schematic o platformă în formă de pătrat \(ABCD\) cu latura de \(16\) m. Segmentul \(SO\), unde \(\{O\}=AC\cap BD\), reprezintă o antenă de telefonie mobilă amplasată perpendicular pe planul pătratului \(ABCD\). Antena este ancorată cu patru cabluri \(SB\), \(SD\), \(VM\) și \(VN\), unde punctul \(V\) este situat pe segmentul \(SO\), iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(BC\), respectiv \(AD\). Cablul \(SB\) face cu planul pătratului \(ABCD\) un unghi de \(60^\circ\). a) Calculați înălțimea antenei \(SO\).

Metoda: Unghiul dreptei cu planul; trigonometrie

1. 1

   Găsim unghiul dintre cablul SB și plan

   SO\perp(ABC)\Rightarrow \angle(SB,(ABC))=\angle SBO=60^\circ

   Cum \(SO\) este perpendiculară pe planul \(ABC\), proiecția punctului \(S\) pe plan este \(O\). Deci proiecția dreptei \(SB\) pe plan este \(OB\). Unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei: \(\angle SBO\). Din enunț, acesta are \(60^\circ\).

2. 2

   Aflăm lungimea lui BO

   AC=16\sqrt{2},\quad BO=\frac{BD}{2}=8\sqrt{2}

   Diagonala pătratului cu latura \(16\) este \(16\sqrt{2}\), iar \(O\) este mijlocul diagonalei \(BD\). Deci \(BO=8\sqrt{2}\) m.

3. 3

   Calculăm SO în triunghiul dreptunghic SBO

   \operatorname{tg}\angle SBO=\frac{SO}{BO}\Rightarrow SO=BO\cdot\operatorname{tg}60^\circ=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=8\sqrt{6}

   Triunghiul \(SBO\) este dreptunghic în \(O\), pentru că \(SO\perp OB\). \(SO\) este cateta opusă unghiului de \(60^\circ\), iar \(BO\) este cateta alăturată. Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată, iar \(\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}\). Deci \(SO=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=8\sqrt{6}\) m.

Răspuns: \(SO=8\sqrt{6}\) m

Subiectul III, 2. b): Platforma are forma unui pătrat \(ABCD\) cu latura de \(16\) m. Segmentul \(SO\), unde \(\{O\}=AC\cap BD\), este o antenă perpendiculară pe planul pătratului. Punctul \(V\) se află pe \(SO\), iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(BC\), respectiv \(AD\). Cablul \(SB\) face cu planul pătratului un unghi de \(60^\circ\). Determinați măsura unghiului dintre planele \((VOM)\) și \((SOB)\).

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Aflăm dreapta comună a celor două plane

   (VOM)\cap(SOB)=VO

   Punctele \(V\) și \(O\) se află pe antena \(SO\), deci dreapta \(VO\) este aceeași cu dreapta \(SO\). Ea aparține și planului \((VOM)\), și planului \((SOB)\). Cele două plane sunt diferite, deci se taie exact după această dreaptă. Avem nevoie de ea, pentru că unghiul dintre plane se măsoară în raport cu dreapta lor comună.

2. 2

   Găsim perpendicularele pe dreapta comună

   OM\perp VO,\ OM\subset(VOM);\quad OB\perp VO,\ OB\subset(SOB)

   Antena \(SO\) este perpendiculară pe planul pătratului, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin \(O\). Dreptele \(OM\) și \(OB\) sunt în planul pătratului și trec prin \(O\), deci \(OM\perp VO\) și \(OB\perp VO\). În plus, \(OM\) se află în planul \((VOM)\), iar \(OB\) în planul \((SOB)\). Cele două perpendiculare pe dreapta comună pornesc din același punct \(O\), fiecare într-un plan.

3. 3

   Unghiul dintre plane devine unghiul dintre OM și OB

   m\big(\sphericalangle((VOM),(SOB))\big)=m(\sphericalangle(OM,OB))=m(\sphericalangle MOB)

   Unghiul dintre două plane este egal cu unghiul format de cele două perpendiculare pe dreapta comună, duse din același punct. Deci problema se reduce la măsura unghiului \(\sphericalangle MOB\), aflat chiar în planul pătratului.

4. 4

   Calculăm măsura unghiului MOB

   \triangle MOB\ \text{dreptunghic isoscel}\Rightarrow m(\sphericalangle MOB)=45^\circ

   \(O\) este centrul pătratului, iar \(M\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(OM\perp BC\) și \(OM=\tfrac{16}{2}=8\) m. Triunghiul \(MOB\) are unghi drept în \(M\). Avem și \(MB=\tfrac{BC}{2}=8\) m. Deci \(OM=MB\), iar triunghiul \(MOB\) este dreptunghic isoscel, cu unghiurile de la bază de \(45^\circ\). Prin urmare \(m(\sphericalangle MOB)=45^\circ\). Atenție: unghiul de \(60^\circ\) din enunț nu este necesar la acest punct.

Răspuns: Măsura unghiului dintre planele \((VOM)\) și \((SOB)\) este \(45^\circ\).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentată o platformă în formă de pătrat \(ABCD\) cu latura de 16 m. Segmentul \(SO\), unde \(\{O\}=AC\cap BD\), este o antenă amplasată perpendicular pe planul pătratului \(ABCD\). Punctul \(V\) este pe segmentul \(SO\), iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(BC\), respectiv \(AD\). Cablul \(SB\) face cu planul pătratului un unghi de \(60^\circ\). Știind că punctul \(H\) este proiecția punctului \(O\) pe planul \((SAD)\), demonstrați că \(H\) este ortocentrul triunghiului \(SAD\).

Metoda: Teorema celor trei perpendiculare

1. 1

   Arătăm că SH este înălțime

   OH\perp(SAD)\Rightarrow OH\perp AD,\quad SO\perp AD,\quad OH\cap SO=\{O\}\Rightarrow AD\perp(OSH)\Rightarrow AD\perp SH

   Punctul \(H\) este proiecția lui \(O\) pe planul \((SAD)\), deci \(OH\) este perpendiculară pe tot planul, deci și pe dreapta \(AD\) din plan. În plus, \(SO\perp(ABCD)\), deci \(SO\perp AD\). Dreapta \(AD\) este perpendiculară pe două drepte concurente, \(OH\) și \(SO\), din planul \((OSH)\), deci \(AD\perp(OSH)\). Dreapta \(SH\) este în acest plan, deci \(AD\perp SH\). Cum \(H\) este în planul \((SAD)\), \(SH\) este înălțime în triunghiul \(SAD\).

2. 2

   Arătăm că OD este perpendiculară pe SA

   OD\perp OA,\quad OD\perp SO,\quad OA\cap SO=\{O\}\Rightarrow OD\perp(SOA)\Rightarrow OD\perp SA

   Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci \(OD\perp OA\). Și \(OD\perp SO\), pentru că \(SO\) este perpendiculară pe planul pătratului. Dreapta \(OD\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((SOA)\), deci \(OD\perp(SOA)\), de unde \(OD\perp SA\).

3. 3

   Arătăm că DH este înălțime și încheiem

   OH\perp(SAD)\Rightarrow OH\perp SA,\quad OD\perp SA,\quad OH\cap OD=\{O\}\Rightarrow SA\perp(ODH)\Rightarrow SA\perp DH

   Din \(OH\perp(SAD)\) rezultă \(OH\perp SA\). Avem și \(OD\perp SA\) din pasul anterior. Dreapta \(SA\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((ODH)\), deci \(SA\perp(ODH)\) și \(SA\perp DH\). Așadar \(DH\) este a doua înălțime în triunghiul \(SAD\). Cum \(SH\) și \(DH\) sunt înălțimi și se întâlnesc în \(H\), \(H\) este ortocentrul triunghiului \(SAD\).

Răspuns: \(SH\perp AD\) și \(DH\perp SA\), deci \(SH\) și \(DH\) sunt înălțimi în \(\triangle SAD\), iar \(H\) este ortocentrul triunghiului \(SAD\).