Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2017, simulare

Rezultatul calculului \(9-36:(4+5)\) este egal cu ... .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   4+5=9

   Prima dată se efectuează operațiile din parantezele rotunde. Parantezele ne spun ce trebuie calculat înaintea celorlalte operații. Deci adunăm \(4+5\) și obținem \(9\), iar expresia devine \(9-36:9\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   36:9=4

   După paranteze, împărțirea are prioritate față de scădere. Dacă am scădea întâi \(9-36\), nu s-ar mai putea în numere naturale și rezultatul ar fi greșit. Deci calculăm \(36:9=4\), iar expresia devine \(9-4\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   9-4=5

   Ultima operație rămasă este scăderea. Din \(9\) scădem \(4\) și obținem \(5\). Acesta este rezultatul final, la fel ca în barem.

Răspuns: 5

Dacă \(x\) și \(y\) sunt numere reale nenule astfel încât \(\frac{x}{3}=\frac{4}{y}\), atunci \(\frac{xy}{12}\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{x}{3}=\frac{4}{y}\Rightarrow x\cdot y=3\cdot 4

   Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Aici extremii sunt \(x\) și \(y\), iar mezii sunt \(3\) și \(4\). Deci \(x\cdot y=3\cdot 4\). Facem asta pentru că ne dă exact produsul \(xy\) de care avem nevoie în expresia cerută.

2. 2

   Înlocuim în expresia cerută

   \frac{xy}{12}=\frac{12}{12}=1

   Știm că \(xy=12\). Înlocuim în fracția \(\frac{xy}{12}\) și obținem \(\frac{12}{12}\). Orice număr nenul împărțit la el însuși dă 1, deci rezultatul este 1, la fel ca în barem.

3. 3

   Verificăm cu un exemplu

   x=6,\ y=2:\ \frac{6}{3}=2=\frac{4}{2}

   Alegem numere care respectă proporția: \(x=6\) și \(y=2\), pentru că \(\frac{6}{3}=2\) și \(\frac{4}{2}=2\). Atunci \(xy=12\) și \(\frac{xy}{12}=1\). Rezultatul se confirmă.

Răspuns: 1

Produsul numerelor întregi din intervalul \([-3, 2]\) este egal cu ... .

Metoda: Produs cu factorul zero

1. 1

   Aflăm numerele întregi din interval

   [-3,2]\cap\mathbb{Z}=\{-3,-2,-1,0,1,2\}

   Intervalul \([-3, 2]\) conține toate numerele reale de la \(-3\) până la \(2\), inclusiv capetele, pentru că parantezele sunt drepte. Noi avem nevoie doar de numerele întregi, deci le scriem pe cele de pe axă: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\). Este important să observăm că și \(0\) face parte din interval.

2. 2

   Înmulțim numerele și folosim factorul 0

   (-3)\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot 0\cdot 1\cdot 2=0

   Printre factorii produsului se află \(0\). Orice număr înmulțit cu \(0\) dă \(0\), deci nu mai trebuie să calculăm restul înmulțirilor. Produsul este \(0\).

Lungimea unui cerc este egală cu \(100\pi\) cm. Raza acestui cerc este egală cu ... cm.

Metoda: Formula lungimii cercului

1. 1

   Scriem formula lungimii cercului

   L = 2\pi r

   Lungimea unui cerc de rază \(r\) se calculează cu formula \(L = 2\pi r\). O folosim pentru că enunțul ne dă lungimea cercului și ne cere raza, iar formula leagă exact aceste două mărimi.

2. 2

   Înlocuim lungimea dată și aflăm raza

   2\pi r = 100\pi \Rightarrow r = \frac{100\pi}{2\pi} = 50

   Înlocuim \(L = 100\pi\) în formulă și obținem \(2\pi r = 100\pi\). Împărțim ambele părți la \(2\pi\), ca să rămână raza singură. Numărul \(\pi\) se simplifică, iar \(100 : 2 = 50\). Deci raza este \(50\) cm.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   L = 2\pi \cdot 50 = 100\pi

   Ne asigurăm că raza găsită este bună: dacă \(r = 50\), atunci \(L = 2\pi \cdot 50 = 100\pi\), exact lungimea din enunț. Rezultatul este corect.

Răspuns: Raza cercului este 50 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 6\) cm. Perimetrul triunghiului \(ACD'\) este egal cu … cm. (Figura arată cubul cu triunghiul \(ACD'\) format din diagonala bazei \(AC\) și din diagonalele a două fețe, \(AD'\) și \(CD'\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora în cub

1. 1

   Ce fel de segmente sunt laturile triunghiului?

   AC,\ AD',\ CD' \text{ sunt diagonale de fețe}

   Segmentul \(AC\) este diagonala pătratului \(ABCD\) (baza). Segmentul \(AD'\) este diagonala pătratului \(AA'D'D\), iar \(CD'\) este diagonala pătratului \(CC'D'D\). Toate fețele cubului sunt pătrate cu latura de 6 cm, deci cele trei diagonale au aceeași lungime. Triunghiul \(ACD'\) este echilateral.

2. 2

   Calculăm lungimea unei diagonale

   AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 72

   În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(B\), aplicăm teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Catetele sunt \(AB = BC = 6\) cm.

3. 3

   Scoatem rădăcina pătrată

   AC = \sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\ \text{cm}

   Din \(AC^2 = 72\) obținem \(AC=\sqrt{72}\). Scoatem factorul \(36 = 6^2\) de sub radical: \(\sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\). Deci \(AC = AD' = CD' = 6\sqrt{2}\) cm.

4. 4

   Calculăm perimetrul

   P_{\triangle ACD'} = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\ \text{cm}

   Perimetrul este suma celor trei laturi egale, adică de trei ori \(6\sqrt{2}\). Obținem \(18\sqrt{2}\) cm, la fel ca în barem.

Răspuns: \(18\sqrt{2}\) cm

În diagrama de mai jos sunt prezentate valorile temperaturilor înregistrate la o stație meteo, din două în două ore pe parcursul unei zile, între ora 7 și ora 19. Conform diagramei, diferența dintre temperatura înregistrată la ora 17 și temperatura înregistrată la ora 7 este egală cu ... °C. Datele din diagramă (ora → temperatura): 7 → 14 °C, 9 → 16 °C, 11 → 18 °C, 13 → 24 °C, 15 → 26 °C, 17 → 22 °C, 19 → ora 19 nu are punct în diagramă, deci nu ne trebuie.

Metoda: Citirea datelor din diagramă

1. 1

   Citim temperatura de la ora 7

   t_7 = 14

   Căutăm pe axa orizontală (Ora) valoarea 7. Urcăm de acolo până la punct, apoi mergem spre stânga pe linia punctată până la axa temperaturii. Acolo citim 14. Facem asta ca să știm de la ce temperatură pornim.

2. 2

   Citim temperatura de la ora 17

   t_{17} = 22

   La fel, căutăm ora 17 pe axa orizontală, urcăm la punct și citim spre stânga: obținem 22. Atenție: ora 17 vine după 15 (unde sunt 26 °C), iar punctul de la 17 este mai jos, la 22.

3. 3

   Calculăm diferența

   t_{17} - t_7 = 22 - 14 = 8

   Diferența înseamnă scădere. Cerința este temperatura de la ora 17 minus temperatura de la ora 7, deci 22 - 14. Obținem 8 °C.

Răspuns: 8

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V și baza triunghiul ABC.

Metoda: Desenarea piramidei triunghiulare regulate

1. 1

   Desenăm baza ABC

   \triangle ABC \text{ echilateral}

   O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Baza se vede în perspectivă, deci desenăm triunghiul ABC ca pe un triunghi „turtit”, cu o latură trasată cu linie întreruptă, pentru că se află în spatele piramidei. De obicei punctul A se pune în stânga, B în față (jos) și C în dreapta. Muchia AC se desenează întrerupt, deoarece este ascunsă.

2. 2

   Marcăm centrul bazei O

   O = \text{centrul triunghiului } ABC

   La o piramidă regulată, înălțimea cade exact în centrul bazei. Centrul unui triunghi echilateral este punctul de intersecție al medianelor (care sunt și înălțimi). Putem trasa ușor cu creion subțire medianele și marca punctul O unde se taie, apoi le ștergem sau le lăsăm întrerupte.

3. 3

   Desenăm vârful V și înălțimea VO

   VO \perp (ABC)

   Din punctul O ducem în sus un segment vertical VO, perpendicular pe planul bazei. Capătul de sus este vârful V. Segmentul VO se trasează întrerupt, fiindcă este în interiorul piramidei. Verticala se desenează chiar vertical pe foaie, ca să se vadă că este perpendiculară pe bază.

4. 4

   Unim V cu A, B, C și notăm

   VA = VB = VC

   Unim vârful V cu A, B și C. Aceste muchii laterale sunt egale la piramida regulată, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Muchiile vizibile se trasează cu linie continuă (VA, VB, VC), iar cele ascunse (AC și VO) cu linie întreruptă, pentru ca desenul să pară tridimensional. La final scrie literele V, A, B, C, deoarece baremul dă 1 punct pentru notarea piramidei.

Răspuns: Desenul conține baza ABC (triunghi echilateral în perspectivă), vârful V situat deasupra centrului O al bazei, muchiile VA, VB, VC, iar muchiile ascunse trasate întrerupt; piramida este notată VABC.

Determinați numerele întregi \(x\) pentru care numărul \(\frac{13}{x-7}\) este natural.

Metoda: Divizorii lui 13

1. 1

   Ce trebuie să fie \(x-7\)

   x-7\in\mathbb{Z},\quad \frac{13}{x-7}\in\mathbb{N}

   Cum \(x\) este întreg, \(x-7\) este tot întreg. Pentru ca \(\frac{13}{x-7}\) să fie natural, el trebuie să fie pozitiv sau zero. Dar împărțirea lui 13 la un număr nu poate da 0, deci rezultatul este pozitiv. Atunci \(x-7\) este pozitiv (13 este pozitiv) și trebuie să fie un divizor al lui 13.

2. 2

   Găsim divizorii lui 13

   D_{13}=\{1,\,13\}

   Numărul 13 este prim, adică se împarte exact doar la 1 și la el însuși. Deci \(x-7\) poate fi doar 1 sau 13.

3. 3

   Aflăm pe \(x\)

   x-7=1\Rightarrow x=8,\qquad x-7=13\Rightarrow x=20

   Rezolvăm cele două cazuri: dacă \(x-7=1\), atunci \(x=1+7=8\). Dacă \(x-7=13\), atunci \(x=13+7=20\).

4. 4

   Verificare

   \frac{13}{8-7}=13,\qquad \frac{13}{20-7}=1

   Punem valorile găsite în fracție și vedem că rezultatele sunt numere naturale.

Răspuns: \(x\in\{8,\,20\}\)

Suma a două numere naturale este egală cu 280. Determinați cele două numere, știind că o treime din primul număr este egală cu o pătrime din al doilea număr.

Metoda: Șir de rapoarte egale

1. 1

   Scriem condiția dată sub formă de egalitate

   \frac{a}{3}=\frac{b}{4}

   O treime din \(a\) înseamnă \(\frac{a}{3}\), iar o pătrime din \(b\) înseamnă \(\frac{b}{4}\). Problema spune că ele sunt egale, deci scriem \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}\). Astfel am transformat o propoziție din cuvinte într-o egalitate matematică.

2. 2

   Folosim șirul de rapoarte egale

   \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}=\frac{a+b}{7}

   Într-un șir de rapoarte egale, raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor este egal cu fiecare raport din șir. Aici suma numărătorilor este \(a+b\), iar suma numitorilor este \(3+4=7\). Așa putem folosi suma 280, pe care o cunoaștem.

3. 3

   Aflăm valoarea comună a rapoartelor

   \frac{a+b}{7}=\frac{280}{7}=40

   Știm că \(a+b=280\). Deci toate rapoartele din șir sunt egale cu \(\frac{280}{7}=40\). Această valoare ne spune de câte ori „încape” 3 în \(a\) și 4 în \(b\).

4. 4

   Aflăm cele două numere

   a=3\cdot 40=120,\quad b=4\cdot 40=160

   Din \(\frac{a}{3}=40\) rezultă \(a=3\cdot 40=120\). Din \(\frac{b}{4}=40\) rezultă \(b=4\cdot 40=160\). Fiecare număr se obține înmulțind valoarea comună cu numitorul său.

5. 5

   Verificăm rezultatul

   120+160=280,\quad \frac{120}{3}=\frac{160}{4}=40

   Verificăm ambele condiții din enunț: suma trebuie să fie 280 și o treime din 120 trebuie să fie egală cu o pătrime din 160. Ambele sunt adevărate, deci răspunsul este corect.

Răspuns: Cele două numere sunt \(a=120\) și \(b=160\).

Subiectul II, itemul 4. a) Arătați că \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}+\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=4\). b) Calculați media geometrică a numerelor \(a=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2\) și \(b=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2\).

Metoda: Raționalizarea numitorului

1. 1

   a) Raționalizăm prima fracție

   \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2+\sqrt{2}}{1}=2+\sqrt{2}

   Amplificăm fracția cu \(\sqrt{2}+1\), conjugatul numitorului \(\sqrt{2}-1\). Astfel numitorul devine \((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\), fără radicali. Numărătorul: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot 1=2+\sqrt{2}\).

2. 2

   a) Raționalizăm a doua fracție

   \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}

   Amplificăm cu \(\sqrt{2}\), ca să avem la numitor \((\sqrt{2})^2=2\). Apoi simplificăm cu 2 și obținem \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\).

3. 3

   a) Adunăm cele două rezultate

   (2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4

   Termenii \(\sqrt{2}\) și \(-\sqrt{2}\) se reduc, iar \(2+2=4\). Astfel egalitatea cerută este demonstrată.

4. 4

   b) Calculăm produsul a·b

   a\cdot b=\left((\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})\right)^2=(5-3)^2=2^2=4

   Produsul a două puteri cu același exponent este puterea produsului: \(x^2\cdot y^2=(xy)^2\). Apoi \((\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2\), iar \(2^2=4\).

5. 5

   b) Media geometrică

   m_g=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{4}=2

   Media geometrică a două numere pozitive este rădăcina pătrată a produsului lor. Cum \(a\cdot b=4\), obținem \(\sqrt{4}=2\).

Răspuns: a) Suma este \(2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4\), deci egalitatea este adevărată. b) Media geometrică este \(2\).

Calculați media geometrică a numerelor \(a=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2\) și \(b=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2\).

Metoda: Media geometrică și formule de calcul

1. 1

   Scriem formula mediei geometrice

   m_g=\sqrt{a\cdot b}

   Media geometrică a două numere reale pozitive \(a\) și \(b\) este \(\sqrt{a\cdot b}\). Numerele noastre sunt pozitive, fiind pătrate de numere nenule (\(\sqrt5>\sqrt3\), deci diferența este pozitivă), așa că formula se poate aplica.

2. 2

   Calculăm produsul a·b

   a\cdot b=(\sqrt5+\sqrt3)^2(\sqrt5-\sqrt3)^2=\big[(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)\big]^2

   Două puteri cu același exponent se înmulțesc grupând bazele: \(x^2\cdot y^2=(x\cdot y)^2\). Așa ajungem la un produs de forma \((x+y)(x-y)\), pe care îl știm calcula cu formula de calcul prescurtat.

3. 3

   Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a²−b²

   (\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)=(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=5-3=2

   Produsul dintre suma și diferența acelorași numere este diferența pătratelor lor. Aici numerele sunt \(\sqrt5\) și \(\sqrt3\), iar pătratul unei rădăcini pătrate este chiar numărul de sub radical. Rezultă \(5-3=2\).

4. 4

   Ridicăm la pătrat și extragem rădăcina

   a\cdot b=2^2=4,\quad m_g=\sqrt{4}=2

   Am obținut că produsul este \(2^2=4\). Media geometrică este \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt4=2\), la fel ca în barem.

Răspuns: Media geometrică a numerelor \(a\) și \(b\) este \(m_g=2\).

Se consideră \(E=x^2+y^2-2xy-3x-3y+2(2xy+3)\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale. Știind că \(x+y=5\), arătați că \(E=16\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Desfacem paranteza și reducem termenii asemenea

   E=x^2+y^2-2xy-3x-3y+4xy+6=x^2+y^2+2xy-3x-3y+6

   Înmulțim 2 cu fiecare termen din paranteză: \(2(2xy+3)=4xy+6\). Apoi adunăm termenii care au aceeași parte literală: \(-2xy+4xy=2xy\). Facem asta ca să obținem \(x^2+y^2+2xy\), care seamănă cu o formulă de calcul prescurtat.

2. 2

   Grupăm termenii și scoatem factor comun

   E=(x^2+y^2+2xy)-3(x+y)+6=(x+y)^2-3(x+y)+6

   Primii trei termeni formează pătratul sumei: \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\). Din \(-3x-3y\) scoatem factorul comun \(-3\) și obținem \(-3(x+y)\). Astfel totul depinde doar de \(x+y\), pe care îl cunoaștem.

3. 3

   Înlocuim x+y=5 și calculăm

   E=5^2-3\cdot 5+6=25-15+6=16

   Cum \(x+y=5\), înlocuim peste tot \(x+y\) cu 5. Rămâne un calcul numeric simplu, iar rezultatul este exact cel cerut: \(E=16\).

Răspuns: E = 16

În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle BAC)=90^\circ\), \(AB=9\) cm și \(AC=12\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) aparțin laturii \(BC\), punctul \(Q\) aparține laturii \(AB\) și punctul \(P\) aparține laturii \(AC\), astfel încât \(BM=MN=NC=MQ=NP\). a) Arătați că perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu 36 cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm ipotenuza BC cu teorema lui Pitagora

   BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225,\ BC=15

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza (latura opusă unghiului drept). Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(BC^2=AB^2+AC^2\). Calculăm \(9^2=81\) și \(12^2=144\), suma este \(225\). Căutăm numărul pozitiv care la pătrat dă \(225\): este \(15\), deoarece \(15\cdot15=225\). Deci \(BC=15\) cm.

2. 2

   Calculăm perimetrul

   P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=9+12+15=36\text{ cm}

   Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi. Acum le cunoaștem pe toate: \(AB=9\), \(AC=12\), \(BC=15\). Adunăm: \(9+12=21\), iar \(21+15=36\). Am obținut exact \(36\) cm, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(BC=15\) cm, iar perimetrul triunghiului \(ABC\) este \(9+12+15=36\) cm.

În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\sphericalangle BAC)=90^\circ\), \(AB=9\) cm și \(AC=12\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) aparțin laturii \(BC\), punctul \(Q\) aparține laturii \(AB\) și punctul \(P\) aparține laturii \(AC\), astfel încât \(BM=MN=NC=MQ=NP\). b) Arătați că aria triunghiului \(PMC\) este egală cu \(24\ \text{cm}^2\).

Metoda: Asemănare și mediană în triunghi dreptunghic

1. 1

   Lungimea lui BC și a segmentelor egale

   BC=15\ \text{cm},\quad BM=MN=NC=5\ \text{cm}

   Din subpunctul a) avem \(BC=15\) cm. Punctele M și N împart BC în trei segmente egale, deoarece \(BM=MN=NC\). Deci fiecare are \(15:3=5\) cm. Deoarece \(NP=NC=5\) cm, avem \(NP=NC=MN\), ceea ce ne ajută la pasul următor.

2. 2

   Triunghiul PMC este dreptunghic în P

   PN=\frac{MC}{2}\ \Rightarrow\ \triangle PMC \text{ dreptunghic în } P

   Punctul N este mijlocul lui MC, deoarece \(MN=NC\). Deci PN este mediană în triunghiul PMC. Avem \(PN=5\) cm, iar \(MC=10\) cm, deci \(PN=\frac{MC}{2}\). Dacă într-un triunghi mediana are lungimea egală cu jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic (reciproca teoremei medianei corespunzătoare ipotenuzei), cu unghiul drept în P. Așadar \(PM\perp AC\).

3. 3

   Folosim asemănarea triunghiurilor

   PM\parallel AB\Rightarrow \triangle PMC\sim\triangle ABC\Rightarrow \frac{PM}{AB}=\frac{MC}{BC}=\frac{PC}{AC}

   Atât \(PM\) cât și \(AB\) sunt perpendiculare pe AC (AB pentru că unghiul A este drept, PM din pasul anterior). Deci \(PM\parallel AB\). Triunghiurile PMC și ABC au unghiul C comun și unghiurile P și A drepte, deci sunt asemenea. Rezultă rapoartele de mai sus.

4. 4

   Calculăm PM și PC

   \frac{PM}{9}=\frac{10}{15}=\frac{PC}{12}\Rightarrow PM=6\ \text{cm},\ PC=8\ \text{cm}

   Raportul de asemănare este \(\frac{2}{3}\). Deci \(PM=\frac{2}{3}\cdot 9=6\) cm și \(PC=\frac{2}{3}\cdot 12=8\) cm.

5. 5

   Aria triunghiului PMC

   \mathcal{A}_{\triangle PMC}=\frac{PM\cdot PC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24\ \text{cm}^2

   Triunghiul PMC este dreptunghic în P, deci catetele sunt PM și PC. Aria este jumătate din produsul catetelor: \(\frac{6\cdot8}{2}=24\) cm², exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului PMC este \(24\ \text{cm}^2\).

În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle BAC)=90^\circ\), \(AB=9\) cm și \(AC=12\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) aparțin laturii \(BC\), punctul \(Q\) aparține laturii \(AB\) și punctul \(P\) aparține laturii \(AC\), astfel încât \(BM=MN=NC=MQ=NP\). c) Demonstrați că patrulaterul \(MNPQ\) este romb.

Metoda: Mediană și perpendicularitate

1. 1

   Arătăm că \(NQ \perp AB\)

   QM=\frac{BN}{2}\Rightarrow \triangle QBN \text{ dreptunghic în } Q

   Avem \(BN=BM+MN=2\cdot BM\), iar \(QM=BM\). Deci \(QM=\frac{BN}{2}\). Punctul \(M\) este mijlocul lui \(BN\), deci \(QM\) este mediană în triunghiul \(QBN\) și este egală cu jumătate din latura \(BN\). Conform reciprocei teoremei medianei corespunzătoare ipotenuzei (clasa a VI-a), triunghiul \(QBN\) este dreptunghic în \(Q\). Deci \(NQ\perp AB\).

2. 2

   Arătăm că \(MP \perp NQ\)

   NQ\perp AB,\ AB\perp AC,\ MP\perp AC \Rightarrow MP\perp NQ

   Din pasul anterior, \(NQ\perp AB\). Din ipoteză \(AB\perp AC\), deci \(NQ\parallel AC\) (două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă \(AB\) sunt paralele). Din figură, \(MP\perp AC\), prin același tip de raționament, deci \(MP\parallel AB\). Cum \(AB\perp NQ\), rezultă \(MP\perp NQ\). Așa spune baremul: \(AB\perp AC\) și \(MP\perp AC\), deci \(MP\parallel AB\), iar \(NQ\perp AB\) dă \(MP\perp NQ\).

3. 3

   Diagonalele se înjumătățesc

   \{O\}=MP\cap NQ,\ NO=OQ,\ MO=OP

   Fie \(O\) intersecția dreptelor \(MP\) și \(NQ\). Triunghiul \(QMN\) este isoscel (\(MQ=MN\)) și \(MO\perp NQ\), deci \(MO\) este înălțime și mediană în el, adică \(O\) este mijlocul lui \(NQ\). Triunghiul \(MNP\) este isoscel (\(NM=NP\)) și \(NO\perp MP\), deci \(NO\) este înălțime și mediană, adică \(O\) este mijlocul lui \(MP\).

4. 4

   Concluzia: \(MNPQ\) este romb

   MNPQ \text{ romb}

   Diagonalele \(MP\) și \(NQ\) se înjumătățesc în \(O\), deci \(MNPQ\) este paralelogram. Diagonalele sunt și perpendiculare, deci paralelogramul este romb. Mai simplu, \(MN=NP=MQ\) și diagonalele perpendiculare care se înjumătățesc duc la același rezultat: toate laturile sunt egale.

Răspuns: Patrulaterul \(MNPQ\) are diagonalele perpendiculare, care se înjumătățesc în \(O\), deci este romb.

Subiectul al III-lea, problema 2, itemul a): În figură este reprezentat un pătrat \(ABCD\) cu \(AB = 4\) cm. Pe planul pătratului \(ABCD\) se construiesc perpendicularele \(AE\) și \(CF\) astfel încât \(AE = 2\sqrt{6}\) cm și \(CF = 2\sqrt{2}\) cm. a) Arătați că \(AC = 4\sqrt{2}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic potrivit

   \triangle ABC,\ \angle ABC = 90^\circ

   Într-un pătrat toate unghiurile sunt drepte, deci în triunghiul \(ABC\) unghiul din \(B\) măsoară \(90^\circ\). Catetele sunt laturile \(AB\) și \(BC\), iar ipotenuza este diagonala \(AC\). Avem \(AB = BC = 4\) cm, pentru că laturile pătratului sunt egale. Facem acest pas ca să vedem că putem aplica teorema lui Pitagora.

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2

   Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Înlocuim \(AB = 4\) și \(BC = 4\). Astfel ajungem la un calcul cu numere, din care obținem pătratul lui \(AC\).

3. 3

   Aflăm lungimea lui AC

   AC^2 = 32 \Rightarrow AC = \sqrt{32} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm}

   Din \(AC^2 = 32\) rezultă \(AC = \sqrt{32}\), deoarece lungimea este pozitivă. Scoatem factorul 16 de sub radical, pentru că \(32 = 16 \cdot 2\) și \(\sqrt{16} = 4\). Așa obținem exact forma cerută în enunț, \(4\sqrt{2}\).

Răspuns: \(AC = 4\sqrt{2}\) cm

În Figura 3 este reprezentat un pătrat \(ABCD\) cu \(AB = 4\) cm. Pe planul pătratului \(ABCD\) se construiesc perpendicularele \(AE\) și \(CF\), astfel încât \(AE = 2\sqrt{6}\) cm și \(CF = 2\sqrt{2}\) cm. b) Arătați că aria triunghiului \(FBD\) este egală cu \(8\sqrt{2}\) cm².

Metoda: Perpendiculară pe plan, Pitagora, arie

1. 1

   Triunghiul FBD este isoscel

   FC \perp (ABC) \Rightarrow FC \perp CB,\ FC \perp CD \Rightarrow \triangle FCB \equiv \triangle FCD

   Cum \(FC\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\), ea este perpendiculară pe orice dreaptă din plan care trece prin \(C\), deci pe \(CB\) și pe \(CD\). Triunghiurile \(FCB\) și \(FCD\) sunt dreptunghice în \(C\), au \(FC\) comună și \(CB = CD\) (laturi ale pătratului). Din cateta-cateta (CC) rezultă că sunt congruente, deci \(FB = FD\). Așadar \(\triangle FBD\) este isoscel.

2. 2

   Ducem înălțimea FO

   O = AC \cap BD,\ FO \perp BD

   Fie \(O\) intersecția diagonalelor pătratului. În triunghiul isoscel \(FBD\), \(O\) este mijlocul lui \(BD\) (diagonalele pătratului se înjumătățesc), deci mediana \(FO\) este și înălțime: \(FO \perp BD\). Aria va fi \(\frac{BD \cdot FO}{2}\).

3. 3

   Calculăm FO

   CO = \frac{AC}{2} = 2\sqrt{2},\quad FO^2 = FC^2 + CO^2 = 8 + 8 = 16 \Rightarrow FO = 4

   \(CO\) este jumătate din diagonala \(AC\): \(CO = 2\sqrt{2}\) cm. Triunghiul \(FCO\) este dreptunghic în \(C\) (pentru că \(FC \perp AC\)), cu \(FC = 2\sqrt{2}\). Aplicăm teorema lui Pitagora: \(FO^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16\), deci \(FO = 4\) cm.

4. 4

   Calculăm aria

   \mathcal{A}_{FBD} = \frac{BD \cdot FO}{2} = \frac{4\sqrt{2}\cdot 4}{2} = 8\sqrt{2}\ \text{cm}^2

   \(BD\) este diagonala pătratului, deci \(BD = AC = 4\sqrt{2}\) cm. Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea, împărțit la 2: \(\frac{4\sqrt{2}\cdot 4}{2} = 8\sqrt{2}\) cm². Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(FBD\) este \(8\sqrt{2}\) cm².

Subiectul III, problema 2, punctul c): În Figura 3 este reprezentat un pătrat \(ABCD\) cu \(AB = 4\) cm. Pe planul pătratului \(ABCD\) se construiesc perpendicularele \(AE\) și \(CF\) astfel încât \(AE = 2\sqrt{6}\) cm și \(CF = 2\sqrt{2}\) cm. c) Demonstrați că unghiul dintre planele \((EBD)\) și \((FBD)\) are măsura egală cu \(75^\circ\).

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Arătăm că EO ⊥ BD

   EA \perp (ABC),\ AO \perp BD \Rightarrow EO \perp BD

   Fie \(O\) intersecția diagonalelor \(AC\) și \(BD\). Dreapta \(EA\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\), iar \(AO\) și \(BD\) sunt drepte din acest plan, cu \(AO \perp BD\) (diagonalele pătratului sunt perpendiculare). Din teorema celor trei perpendiculare rezultă că \(EO \perp BD\).

2. 2

   Stabilim unghiul dintre plane

   (EBD)\cap(FBD)=BD,\ EO\perp BD,\ FO\perp BD \Rightarrow m(\angle((EBD),(FBD)))=m(\angle(EO,FO))

   Planele \((EBD)\) și \((FBD)\) se intersectează după dreapta \(BD\). Dreapta \(EO\) se află în planul \((EBD)\) și \(EO \perp BD\). Dreapta \(FO\) se află în planul \((FBD)\) și \(FO \perp BD\). Deci unghiul dintre plane este unghiul dintre \(EO\) și \(FO\). (Pentru \(FO \perp BD\): \(\triangle FCB \equiv \triangle FCD\), deci \(\triangle FBD\) este isoscel, iar \(FO\) este mediană, deci și înălțime.)

3. 3

   Calculăm unghiul FOC

   CF = CO = 2\sqrt{2} \Rightarrow m(\angle FOC)=45^\circ

   Diagonala \(AC = 4\sqrt{2}\) cm, deci \(CO = AC : 2 = 2\sqrt{2}\) cm. Cum \(CF = 2\sqrt{2}\) cm, triunghiul \(FCO\) este dreptunghic în \(C\) (pentru că \(FC \perp (ABC)\)) și isoscel, deci \(m(\angle FOC)=45^\circ\).

4. 4

   Calculăm unghiul EOA

   AO = 2\sqrt{2},\ AE = 2\sqrt{6} \Rightarrow OE = 4\sqrt{2},\ AO = \tfrac12 OE \Rightarrow m(\angle EOA)=60^\circ

   În triunghiul \(EAO\), dreptunghic în \(A\), avem \(AO = 2\sqrt{2}\) și \(AE = 2\sqrt{6}\). Cu teorema lui Pitagora: \(OE^2 = 8 + 24 = 32\), deci \(OE = 4\sqrt{2}\). Atunci \(AO = \tfrac12 OE\), adică cateta \(AO\) este jumătate din ipotenuză, deci unghiul opus ei, \(\angle AEO\), are \(30^\circ\) și \(m(\angle EOA)=60^\circ\).

5. 5

   Aflăm unghiul EOF

   m(\angle EOF)=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ

   Punctele \(A, O, C\) sunt coliniare, iar \(E\) și \(F\) sunt de aceeași parte a planului pătratului, în planul \((EAC)\). Unghiul alungit \(AOC\) are \(180^\circ\) și se împarte în \(\angle EOA = 60^\circ\), \(\angle EOF\) și \(\angle FOC = 45^\circ\). Deci \(m(\angle EOF)=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\). Așadar unghiul dintre planele \((EBD)\) și \((FBD)\) are \(75^\circ\).

Răspuns: Unghiul dintre planele \((EBD)\) și \((FBD)\) este \(\angle EOF\) și are \(75^\circ\).