Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2017, sesiunea specială (varianta 04)

Rezultatul calculului \(3\cdot 10-10\) este egal cu …

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   3\cdot 10-10

   În calcule fără paranteze, înmulțirea se face înaintea scăderii. De aceea efectuăm mai întâi \(3\cdot 10\), apoi scădem \(10\). Dacă am scădea întâi, rezultatul ar ieși greșit.

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   3\cdot 10=30

   Calculăm produsul \(3\cdot 10\). Trei grupuri de câte zece înseamnă treizeci.

3. 3

   Efectuăm scăderea

   30-10=20

   Acum scădem din rezultatul înmulțirii numărul \(10\). Din treizeci scoatem zece și rămân douăzeci. Acesta este rezultatul calculului.

Răspuns: 20

Patru kilograme de mere costă 12 lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă … lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unui kilogram

   12 : 4 = 3

   Știm că 4 kg costă 12 lei. Dacă toate kilogramele au același preț, prețul unui kilogram se află împărțind 12 lei în 4 părți egale. Așa „reducem la unitate”, adică ajungem la 1 kg.

2. 2

   Aflăm prețul a 2 kilograme

   2 \cdot 3 = 6

   Dacă un kilogram costă 3 lei, două kilograme costă de 2 ori mai mult, deci înmulțim prețul unui kilogram cu 2.

3. 3

   Verificare

   2 \cdot 6 = 12

   Două kilograme costă 6 lei, iar 4 kilograme sunt de două ori mai multe, deci ar costa \(2 \cdot 6 = 12\) lei. Ieșe exact prețul din enunț, deci rezultatul este corect.

Răspuns: Două kilograme de mere costă 6 lei.

Cel mai mare număr natural care aparține intervalului \([8,15)\) este egal cu …

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Citim intervalul

   [8,15)=\{x\in\mathbb{R}\mid 8\le x<15\}

   Paranteza pătrată din stânga, [, arată că 8 face parte din interval. Paranteza rotundă din dreapta, ), arată că 15 NU face parte din interval. Deci intervalul conține toate numerele de la 8 la 15, cu 8 inclus și 15 exclus: \(8\le x<15\).

2. 2

   Scriem numerele naturale din interval

   \{8,9,10,11,12,13,14\}

   Numerele naturale care sunt cel puțin 8 și strict mai mici decât 15 sunt: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Numărul 15 este exclus, deci lista se oprește la 14.

3. 3

   Alegem cel mai mare număr

   \max=14

   Din lista 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, cel mai mare este 14. Verificăm: \(8\le 14<15\), deci 14 aparține intervalului, iar 15 nu aparține. Se potrivește cu baremul: răspunsul este 14.

Răspuns: 14

Un cerc are raza de \(4,5\) cm. Lungimea acestui cerc este egală cu \(\ldots\pi\) cm.

Metoda: Formula lungimii cercului

1. 1

   Reținem formula lungimii cercului

   L = 2\pi r

   Lungimea unui cerc de rază \(r\) se calculează cu formula \(L = 2\pi r\). Folosim această formulă pentru că ne dă direct lungimea conturului cercului când cunoaștem raza. Aici \(r = 4,5\) cm.

2. 2

   Înlocuim raza în formulă

   L = 2 \cdot \pi \cdot 4,5 = 9\pi

   Înlocuim \(r\) cu \(4,5\): \(L = 2\cdot 4,5\cdot\pi\). Calculăm \(2\cdot 4,5 = 9\), deci \(L = 9\pi\) cm. Cerința cere rezultatul sub forma „\(\ldots\pi\)”, așa că ne oprim aici și numărul căutat este 9.

Răspuns: Lungimea cercului este \(9\pi\) cm, deci în spațiul punctat se scrie 9.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDEFGH\) cu \(AB = 2\) cm. Lungimea diagonalei \(BH\) a cubului \(ABCDEFGH\) este egală cu … cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Găsim diagonala bazei, BD

   BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2^2 + 2^2 = 8 \Rightarrow BD = 2\sqrt{2}

   Baza \(ABCD\) este un pătrat cu latura de 2 cm. Triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în \(A\), iar \(BD\) este ipotenuza. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(BD^2 = AB^2 + AD^2\). Avem nevoie de \(BD\) pentru că el va fi una dintre catetele triunghiului următor.

2. 2

   Triunghiul dreptunghic BDH

   DH \perp (ABC) \Rightarrow DH \perp BD, \quad BH^2 = BD^2 + DH^2

   Muchia \(DH\) este perpendiculară pe planul bazei, deci și pe dreapta \(BD\) din plan. Rezultă că triunghiul \(BDH\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(BH\). Aici \(DH = 2\) cm, fiindcă este muchie a cubului.

3. 3

   Calculăm BH

   BH^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \Rightarrow BH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

   Înlocuim \(BD^2 = 8\) și \(DH^2 = 4\). Obținem \(BH^2 = 12\). Scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Aceasta este lungimea diagonalei, în cm.

Răspuns: \(BH = 2\sqrt{3}\) cm

În diagrama de mai jos sunt prezentate distanțele parcurse de cinci alergători (Andrei, Bogdan, Cosmin, Dan, Eugen), în timpul unui antrenament de o oră. Conform diagramei, distanța parcursă de Cosmin este mai mare decât distanța parcursă de Bogdan cu … km. (Din diagramă: Andrei 15 km, Bogdan 10 km, Cosmin 12 km, Dan 16 km, Eugen 14 km.)

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Citim distanța parcursă de Bogdan

   d_{Bogdan}=10\text{ km}

   Găsim pe axa orizontală numele „Bogdan” și urmărim bara albastră de deasupra lui până sus. Apoi ne uităm pe axa verticală, la același nivel cu vârful barei. Vârful barei ajunge exact la linia de 10, deci Bogdan a parcurs \(10\) km.

2. 2

   Citim distanța parcursă de Cosmin

   d_{Cosmin}=12\text{ km}

   La fel, urmărim bara de deasupra numelui „Cosmin”. Vârful ei ajunge la linia de 12, deci Cosmin a parcurs \(12\) km.

3. 3

   Calculăm diferența

   12-10=2

   Ne întrebă cu cât a alergat Cosmin mai mult decât Bogdan. Când vrem să aflăm „cu cât este mai mare”, facem o scădere: distanța mai mare minus distanța mai mică. Deci \(12-10=2\) km.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   10+2=12

   Verificăm: dacă adăugăm cei \(2\) km la distanța lui Bogdan (\(10\) km), obținem distanța lui Cosmin (\(12\) km). Rezultatul este corect.

Răspuns: 2

Desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\).

Metoda: Desenarea prismei drepte

1. 1

   Desenăm baza \(ABC\) în perspectivă

   \triangle ABC \text{ echilateral}

   Începem cu baza de jos. Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci are toate laturile egale. Pe foaie, un plan văzut din lateral se desenează „turtit”, deci triunghiul va părea puțin înclinat, dar laturile lui trebuie să arate aproximativ la fel de lungi. Muchia care este ascunsă privirii (de exemplu \(AC\)) se trasează punctat.

2. 2

   Ridicăm muchiile laterale, paralele și egale

   AA' \parallel BB' \parallel CC',\quad AA'=BB'=CC'

   Prisma este dreaptă, deci muchiile laterale sunt perpendiculare pe plan baza. În desen le facem verticale, paralele între ele și de aceeași lungime. Din fiecare vârf \(A, B, C\) ducem în sus câte un segment vertical de aceeași lungime. Dacă muchia pornește dintr-un vârf ascuns, o facem punctată.

3. 3

   Desenăm baza de sus și notăm prisma

   \triangle A'B'C' \cong \triangle ABC

   Unim capetele de sus \(A', B', C'\) și obținem baza de sus, un triunghi echilateral identic cu cel de jos. Este un triunghi cu laturile paralele cu cele ale bazei de jos. Apoi scriem pe desen toate literele: \(A, B, C\) jos și \(A', B', C'\) sus, fiecare lângă vârful lui. Pentru notare se acordă 1 punct. Nu uita: muchiile ascunse \(AC\), \(A'C'\) (sau cele care nu se văd) se fac punctat, iar cele vizibile cu linie continuă.

4. 4

   Verificăm desenul

   Verificăm lista: baza \(ABC\) echilaterală, trei muchii laterale paralele și egale, baza de sus identică, litere puse corect, muchii invizibile punctate. Dacă toate sunt bifate, ai luat cele 5 puncte din barem (4p desen + 1p notare).

Răspuns: Desenul este o prismă triunghiulară dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu bazele triunghiuri echilaterale, 3 muchii laterale paralele și egale, 6 vârfuri și 9 muchii, toate notate corect.

Arătați că media aritmetică a numerelor \(a=\sqrt{64}\) și \(b=\frac{6}{\sqrt{2}}+2-\sqrt{18}\) este egală cu 5.

Metoda: Operații cu radicali, media aritmetică

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=\sqrt{64}=8

   Rădăcina pătrată a lui 64 este numărul pozitiv care ridicat la pătrat dă 64. Cum \(8^2=64\), obținem \(a=8\).

2. 2

   Raționalizăm fracția din b

   \frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}

   Nu vrem radical la numitor, așa că amplificăm fracția cu \(\sqrt{2}\). Numitorul devine \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\), iar apoi simplificăm 6 cu 2.

3. 3

   Scoatem factorii de sub radical și calculăm b

   \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2},\quad b=3\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2

   Descompunem 18 = 9·2 și scoatem 3 de sub radical. Apoi termenii \(3\sqrt{2}\) și \(-3\sqrt{2}\) se reduc, deci rămâne \(b=2\).

4. 4

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Cu \(a=8\) și \(b=2\) obținem 5, exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(a=8\), \(b=2\), deci \(m_a=\frac{8+2}{2}=5\). Egalitatea este demonstrată.

Un biciclist a parcurs un traseu în două zile. În prima zi biciclistul a parcurs două treimi din lungimea traseului, iar a doua zi a parcurs restul de \(15\) km. Calculați lungimea traseului parcurs de biciclist în cele două zile.

Metoda: Ecuație cu fracții

1. 1

   Alegem necunoscuta și scriem ecuația

   \frac{2}{3}\cdot x+15=x

   Notăm cu \(x\) lungimea întregului traseu (în km). În prima zi biciclistul parcurge \(\frac{2}{3}\cdot x\), iar a doua zi restul, adică \(15\) km. Cele două părți adunate dau tot traseul, adică \(x\). De aceea scriem \(\frac{2}{3}\cdot x+15=x\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația

   x-\frac{2}{3}x=15 \Rightarrow \frac{1}{3}x=15 \Rightarrow x=15\cdot 3=45

   Mutăm termenul \(\frac{2}{3}x\) în partea dreaptă și obținem \(x-\frac{2}{3}x=15\). Cum \(x=\frac{3}{3}x\), diferența este \(\frac{1}{3}x\). Deci o treime din traseu este \(15\) km, iar traseul întreg este de \(3\) ori mai mare: \(15\cdot 3=45\) km.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{2}{3}\cdot 45+15=30+15=45

   Verificăm: în prima zi biciclistul parcurge \(\frac{2}{3}\) din \(45\), adică \(30\) km. A doua zi parcurge \(15\) km. Împreună fac \(45\) km, exact cât traseul. Deci soluția este corectă.

Răspuns: Lungimea traseului parcurs de biciclist este de \(45\) km.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Primul punct al graficului

   x=0 \Rightarrow f(0)=2\cdot 0+4=4

   Alegem o valoare pentru \(x\) și calculăm \(f(x)\). Cel mai simplu e \(x=0\), pentru că înmulțirea cu 0 e ușoară. Obținem \(f(0)=4\), deci punctul \(B(0,4)\) aparține graficului. El se află pe axa \(Oy\), la intersecția cu aceasta.

2. 2

   Al doilea punct al graficului

   f(x)=0 \Rightarrow 2x+4=0 \Rightarrow x=-2

   Alegem alt punct. Putem lua \(y=0\) ca să aflăm intersecția cu axa \(Ox\): \(2x+4=0\), deci \(2x=-4\), iar \(x=-2\). Punctul \(A(-2,0)\) aparține graficului. Verificare: \(f(-2)=2\cdot(-2)+4=0\). Am putea alege și \(x=1\), cu \(f(1)=6\), punctul \((1,6)\).

3. 3

   Trasarea graficului

   A(-2,0),\ B(0,4)

   Desenăm un sistem de axe \(xOy\), marcăm punctele \(A(-2,0)\) și \(B(0,4)\) și le unim cu o linie dreaptă, prelungită în ambele sensuri (funcția este definită pe \(\mathbb{R}\)). Această dreaptă este graficul lui \(f\). Funcția crește, pentru că \(a=2>0\).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=2x+4\) este dreapta care trece prin punctele \(A(-2,0)\) și \(B(0,4)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). b) Calculați lungimea segmentului determinat de punctele de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axele sistemului de coordonate \(xOy\).

Metoda: Intersecția cu axele și Pitagora

1. 1

   Aflăm punctul de intersecție cu axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow 2x+4=0 \Rightarrow x=-2,\quad A(-2,0)

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0, adică y = f(x) = 0. Punem condiția f(x) = 0 și rezolvăm ecuația: 2x + 4 = 0, deci 2x = -4 și x = -2. Obținem punctul \(A(-2,0)\). Cum A este pe axa Ox, distanța de la origine la el este \(OA = |-2| = 2\).

2. 2

   Aflăm punctul de intersecție cu axa Oy

   f(0)=2\cdot 0+4=4,\quad B(0,4)

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0, deci x = 0. Calculăm f(0) = 2·0 + 4 = 4. Obținem punctul \(B(0,4)\) și lungimea \(OB = 4\).

3. 3

   Triunghiul dreptunghic AOB

   OA=2,\quad OB=4,\quad \angle AOB=90^\circ

   Axele Ox și Oy sunt perpendiculare, deci triunghiul AOB are unghi drept în O. Catetele sunt OA = 2 și OB = 4, iar segmentul AB cerut este ipotenuza. Asta ne permite să folosim teorema lui Pitagora.

4. 4

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AB^2=OA^2+OB^2=2^2+4^2=20 \Rightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

   În triunghiul dreptunghic AOB, pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(AB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\). Deci \(AB=\sqrt{20}\). Scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: Lungimea segmentului este \(AB = 2\sqrt{5}\).

Se consideră expresia \(E(x)=\dfrac{x^2-x}{x-1}-\left(\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}\right):\dfrac{4}{x^2-1}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\). Arătați că \(E(x)=0\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Simplificăm prima fracție

   \frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x

   La numărător dăm factor comun pe \(x\): \(x^2-x=x(x-1)\). Cum \(x\neq 1\), putem simplifica cu \(x-1\), deoarece acest factor nu este zero. Rămâne doar \(x\).

2. 2

   Calculăm paranteza

   \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{4x}{(x-1)(x+1)}

   Aducem fracțiile la numitor comun \((x-1)(x+1)\): prima fracție se amplifică cu \(x+1\), a doua cu \(x-1\). Apoi dezvoltăm cu formulele \((x+1)^2=x^2+2x+1\) și \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Diferența lor este \(4x\).

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   \frac{4x}{(x-1)(x+1)}:\frac{4}{x^2-1}=\frac{4x}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{4}=x

   Știm că \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) (formula diferenței de pătrate). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei. Apoi simplificăm \(4\) și \((x-1)(x+1)\), iar rămâne \(x\).

4. 4

   Adunăm rezultatele și tragem concluzia

   E(x)=x-x=0

   Prima fracție a dat \(x\), iar paranteza împărțită a dat tot \(x\). Deci \(E(x)=x-x=0\), pentru orice \(x\) real cu \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\), exact cum trebuia arătat.

Răspuns: \(E(x)=x-x=0\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\).

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AD = 12\) cm și \(AC = 20\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) se află pe latura \(CD\) astfel încât \(DN = 4\) cm. a) Arătați că \(AB = 16\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle ABC,\ \angle B = 90^\circ

   Într-un dreptunghi toate unghiurile sunt drepte. Deci în triunghiul \(ABC\) unghiul \(B\) este drept, \(AC\) este ipotenuza (latura opusă unghiului drept), iar \(AB\) și \(BC\) sunt catetele. Latura \(BC\) este egală cu \(AD = 12\) cm, pentru că laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale. Ne folosim de acest triunghi pentru că în el cunoaștem două laturi și o căutăm pe a treia.

2. 2

   Scriem teorema lui Pitagora

   AB^2 = AC^2 - BC^2

   Teorema lui Pitagora spune că în triunghiul dreptunghic \(ABC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Noi căutăm cateta \(AB\), deci trecem \(BC^2\) în cealaltă parte prin scădere și obținem \(AB^2 = AC^2 - BC^2\). Așa ajungem la pătratul lui \(AB\), nu direct la \(AB\).

3. 3

   Calculăm pătratele și scăderea

   AB^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256

   Calculăm \(20^2 = 400\) și \(12^2 = 144\). Scădem și obținem \(AB^2 = 256\). Trebuie să găsim acum numărul care ridicat la pătrat dă 256.

4. 4

   Aflăm lungimea laturii AB

   AB = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}

   Din \(AB^2 = 256\) rezultă că \(AB\) este numărul pozitiv al cărui pătrat este 256. Cum \(16^2 = 256\), obținem \(AB = 16\) cm. Lungimea este pozitivă, deci nu luăm \(-16\). Am arătat astfel ce ni se cerea.

Răspuns: \(AB = 16\) cm

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AD=12\) cm și \(AC=20\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) se află pe latura \(CD\) astfel încât \(DN=4\) cm. b) Arătați că raportul dintre aria triunghiului \(DMN\) și aria triunghiului \(ABM\) este egal cu \(\frac{1}{4}\).

Metoda: Aria triunghiului dreptunghic

1. 1

   Scriem ariile celor două triunghiuri

   \mathcal{A}_{DMN}=\frac{DM\cdot DN}{2},\quad \mathcal{A}_{ABM}=\frac{AB\cdot AM}{2}

   Triunghiul \(DMN\) are unghi drept în \(D\) (colț de dreptunghi), deci \(DM\) și \(DN\) sunt catetele lui, iar aria este produsul catetelor împărțit la 2. La fel, triunghiul \(ABM\) are unghi drept în \(A\), cu catetele \(AB\) și \(AM\).

2. 2

   Folosim faptul că M este mijlocul lui AD

   DM=AM

   Deoarece \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), segmentele \(DM\) și \(AM\) sunt egale (fiecare are \(12:2=6\) cm). Astfel, în raport, acest factor comun se va simplifica.

3. 3

   Calculăm raportul ariilor

   \frac{\mathcal{A}_{DMN}}{\mathcal{A}_{ABM}}=\frac{DM\cdot DN}{AB\cdot AM}=\frac{DN}{AB}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}

   Împărțim cele două arii: numitorul 2 se simplifică, iar \(DM=AM\) se simplifică și el. Rămâne \(\frac{DN}{AB}\). Avem \(DN=4\) cm, iar \(AB=16\) cm (din punctul a). Obținem \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Raportul dintre aria triunghiului DMN și aria triunghiului ABM este \(\frac{1}{4}\).

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AD=12\) cm și \(AC=20\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) se află pe latura \(CD\) astfel încât \(DN=4\) cm. c) Determinați distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BN\).

Metoda: Aria triunghiului prin diferență de arii

1. 1

   Datele necesare din dreptunghi

   AB=CD=16,\quad AM=DM=6,\quad CN=CD-DN=12

   Din punctul a) știm că \(AB=16\) cm. Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci \(CD=16\) cm și \(BC=12\) cm. \(M\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(AM=DM=6\) cm. Cum \(DN=4\) cm, avem \(CN=16-4=12\) cm. Aceste lungimi ne trebuie pentru ariile triunghiurilor.

2. 2

   Aria dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192

   Aria dreptunghiului este produsul dimensiunilor. Ne trebuie ca să scădem din ea ariile triunghiurilor din jurul lui \(BNM\).

3. 3

   Ariile triunghiurilor din colțuri

   \mathcal{A}_{ABM}=\frac{16\cdot 6}{2}=48,\ \mathcal{A}_{BCN}=\frac{12\cdot 12}{2}=72,\ \mathcal{A}_{DMN}=\frac{6\cdot 4}{2}=12

   Triunghiurile \(ABM\), \(BCN\) și \(DMN\) sunt dreptunghice, deci aria este jumătate din produsul catetelor. Pentru \(ABM\): catetele \(AB=16\), \(AM=6\). Pentru \(BCN\): \(BC=12\), \(CN=12\). Pentru \(DMN\): \(DM=6\), \(DN=4\).

4. 4

   Aria triunghiului BNM

   \mathcal{A}_{BNM}=192-(48+72+12)=60

   Dreptunghiul este format din triunghiul \(BNM\) și cele trei triunghiuri din colțuri. Deci aria lui \(BNM\) se obține scăzând din aria dreptunghiului suma celorlalte trei arii.

5. 5

   Lungimea lui BN

   BN^2=BC^2+CN^2=12^2+12^2=288,\quad BN=12\sqrt{2}

   Triunghiul \(BCN\) este dreptunghic în \(C\), deci aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm ipotenuza \(BN\). Ne trebuie \(BN\) pentru că este baza triunghiului \(BNM\), iar distanța căutată este înălțimea corespunzătoare.

6. 6

   Distanța de la M la BN

   \mathcal{A}_{BNM}=\frac{BN\cdot d(M,BN)}{2}\Rightarrow d(M,BN)=\frac{2\cdot 60}{12\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}

   Distanța de la \(M\) la dreapta \(BN\) este înălțimea din \(M\) a triunghiului \(BNM\). Din formula ariei, înălțimea este \(2\cdot\text{aria}:\text{baza}\). Obținem \(\frac{120}{12\sqrt2}=\frac{10}{\sqrt2}\), apoi raționalizăm: \(\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2\).

Răspuns: \(d(M,BN)=5\sqrt{2}\) cm

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\) și \(AC \cap BD = \{O\}\). a) Arătați că aria pătratului \(ABCD\) este egală cu \(144\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria pătratului

1. 1

   Aflăm latura pătratului din bază

   AB = 12\ \text{cm}

   Piramida este patrulateră regulată, deci baza \(ABCD\) este un pătrat. Enunțul ne dă direct \(AB = 12\) cm, iar \(AB\) este o latură a pătratului \(ABCD\). Toate laturile unui pătrat sunt egale, deci latura pătratului este 12 cm.

2. 2

   Aplicăm formula ariei pătratului

   \mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 = 12^2 = 144\ \text{cm}^2

   Aria unui pătrat este latura înmulțită cu ea însăși, adică latura la puterea a doua. Pentru că latura este 12 cm, calculăm \(12^2 = 12 \cdot 12 = 144\). Aria se măsoară în centimetri pătrați, deci obținem \(144\ \text{cm}^2\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Aria pătratului \(ABCD\) este \(AB^2 = 12^2 = 144\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\) și \(AC \cap BD = \{O\}\). b) Arătați că volumul piramidei \(VABCD\) este egal cu \(288\sqrt{2}\) cm\(^3\).

Metoda: Volumul piramidei și Pitagora

1. 1

   Aflăm înălțimea piramidei, VO

   VO = 6\sqrt{2}\ \text{cm}

   Piramida este regulată, deci \(O\), centrul pătratului \(ABCD\), este piciorul înălțimii \(VO\). Diagonala pătratului cu latura 12 este \(AC = 12\sqrt{2}\), deci \(AO = 6\sqrt{2}\). Triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\), cu \(VA = 12\) (ipotenuza). Din Pitagora: \(VO^2 = VA^2 - AO^2 = 144 - 72 = 72\), deci \(VO = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm. Facem asta pentru că formula volumului cere înălțimea.

2. 2

   Folosim formula volumului

   V_{VABCD} = \frac{1}{3}\cdot VO \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 144

   Volumul unei piramide este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea. Aria bazei este \(144\) cm² (de la punctul a), iar înălțimea este \(6\sqrt{2}\) cm.

3. 3

   Calculăm și obținem rezultatul

   V = 48\cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2}\ \text{cm}^3

   Din \(\frac{1}{3}\cdot 144 = 48\), obținem \(V = 48\cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2}\) cm³. Aceasta este exact valoarea cerută, deci am arătat egalitatea.

Răspuns: Volumul piramidei este \(V = 288\sqrt{2}\) cm³.

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\) și \(AC \cap BD = \{O\}\). Cerința c): Calculați măsura unghiului determinat de dreptele \(OM\) și \(AB\).

Metoda: Unghiul a două drepte, linie mijlocie

1. 1

   Găsim o paralelă la OM

   OM \parallel CV

   Piramida este regulată, deci \(ABCD\) este pătrat, iar diagonalele lui se înjumătățesc: \(O\) este mijlocul lui \(AC\). Punctul \(M\) este mijlocul lui \(VA\). În triunghiul \(ACV\), segmentul \(OM\) unește mijloacele laturilor \(AC\) și \(AV\), deci este linie mijlocie. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură, adică \(CV\).

2. 2

   Găsim o paralelă la AB

   AB \parallel CD

   \(ABCD\) este pătrat, deci laturile opuse \(AB\) și \(CD\) sunt paralele. Atunci unghiul dintre \(OM\) și \(AB\) este egal cu unghiul dintre \(CV\) și \(CD\), adică cu \(\angle DCV\).

3. 3

   Triunghiul VDC este echilateral

   VD = VC = DC = 12 \Rightarrow m(\angle DCV) = 60^\circ

   Muchiile laterale ale piramidei sunt \(VD = VC = 12\) cm (egale cu \(VA\), piramida fiind regulată), iar \(DC = AB = 12\) cm. Toate trei laturile sunt egale, deci triunghiul \(VDC\) este echilateral, iar unghiurile lui au \(60^\circ\).

Răspuns: Unghiul determinat de dreptele \(OM\) și \(AB\) are \(60^\circ\).