Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2019, sesiunea iunie–iulie

Rezultatul calculului \(25 - 20 : 5\) este egal cu ....

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem operația care se face prima

   25 - 20 : 5

   În ordinea efectuării operațiilor, înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor (dacă nu sunt paranteze). Aici nu avem paranteze, deci mai întâi facem împărțirea \(20 : 5\), apoi scăderea.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   20 : 5 = 4

   Calculăm câtul: \(5 \cdot 4 = 20\), deci \(20 : 5 = 4\). Înlocuim în calcul: \(25 - 20 : 5 = 25 - 4\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   25 - 4 = 21

   După împărțire rămâne doar scăderea \(25 - 4\). Rezultatul este 21.

Răspuns: 21

Numărul care reprezintă \(10\%\) din \(1500\) este egal cu \(\ldots\).

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Scriem procentul ca fracție

   10\% = \frac{10}{100}

   Procentul înseamnă „la sută”. Deci \(10\%\) se scrie ca fracția \(\frac{10}{100}\). Facem asta pentru a putea calcula fracția dintr-un număr.

2. 2

   Simplificăm fracția

   \frac{10}{100} = \frac{1}{10}

   Simplificăm prin 10, ca să avem numere mai mici și calculul mai ușor. Înseamnă că 10% este o zecime din număr.

3. 3

   Calculăm o zecime din 1500

   \frac{1}{10}\cdot 1500 = 1500 : 10 = 150

   Pentru a afla o zecime dintr-un număr, îl împărțim la 10. Așa găsim cât reprezintă 10% din 1500.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   150\cdot 10 = 1500

   Dacă 150 este o zecime din 1500, atunci de 10 ori 150 trebuie să dea 1500. Se potrivește, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 150

Cel mai mic număr impar din mulțimea \(A=\{0,1,2,3,4\}\) este egal cu ... .

Metoda: Parcurgerea elementelor mulțimii

1. 1

   Recunoaștem numerele impare

   A=\{0,1,2,3,4\}

   Un număr este par dacă se împarte exact la 2 (ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8). Dacă nu se împarte exact la 2, numărul este impar. Verificăm pe rând fiecare element din mulțimea \(A\): \(0\), \(2\) și \(4\) sunt pare, iar \(1\) și \(3\) sunt impare.

2. 2

   Alegem cel mai mic număr impar

   \{1,3\}\Rightarrow \min = 1

   Am găsit numerele impare din mulțimea \(A\): \(1\) și \(3\). Le comparăm: \(1<3\), deci cel mai mic este \(1\). Atenție: \(0\) este mai mic, dar este număr par, deci nu convine.

Răspuns: Cel mai mic număr impar din mulțimea A este 1.

Un pătrat are latura de \(10\text{ cm}\). Perimetrul acestui pătrat este egal cu … cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Ce înseamnă perimetrul unui pătrat

   P = L + L + L + L

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Pătratul are 4 laturi și toate sunt egale, deci adunăm de 4 ori lungimea \(L\) a unei laturi.

2. 2

   Scriem adunarea cu datele problemei

   P = 10 + 10 + 10 + 10

   Latura pătratului este de \(10\text{ cm}\). Punem această valoare în locul lui \(L\) în adunarea de la pasul anterior, pentru fiecare dintre cele 4 laturi.

3. 3

   Calculăm rezultatul

   P = 4 \cdot 10 = 40

   Adunarea repetată a aceluiași număr se scrie ca înmulțire: \(10+10+10+10 = 4\cdot 10\). Rezultă \(40\text{ cm}\). Perimetrul se măsoară în unități de lungime, deci în cm.

Răspuns: 40

În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\). Dacă aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(4\,\text{cm}^2\), atunci aria totală a tetraedrului \(ABCD\) este egală cu \(\ldots\,\text{cm}^2\). (Figura arată tetraedrul cu vârfurile A, B, C, D.)

Metoda: Aria totală a tetraedrului regulat

1. 1

   Câte fețe are tetraedrul regulat?

   \text{număr de fețe} = 4

   Tetraedrul \(ABCD\) are patru fețe: \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) și \(BCD\). Fiecare este un triunghi. Aria totală este suma ariilor tuturor fețelor, deci trebuie să știm câte sunt.

2. 2

   Toate fețele au aceeași arie

   \mathcal{A}_{ABC}=\mathcal{A}_{ABD}=\mathcal{A}_{ACD}=\mathcal{A}_{BCD}=4\,\text{cm}^2

   Tetraedrul este regulat, deci toate fețele sunt triunghiuri echilaterale cu aceeași latură. Triunghiuri echilaterale cu aceeași latură sunt congruente, deci au aceeași arie. Așadar fiecare față are aria de \(4\,\text{cm}^2\), la fel ca \(ABC\).

3. 3

   Calculăm aria totală

   \mathcal{A}_t = 4\cdot \mathcal{A}_{ABC} = 4\cdot 4 = 16\,\text{cm}^2

   Aria totală este suma ariilor celor patru fețe egale, adică de 4 ori aria unei fețe. Obținem \(4\cdot 4=16\,\text{cm}^2\), la fel ca în barem.

Răspuns: 16

În diagrama de mai jos sunt înregistrate valorile temperaturilor indicate de un termometru, într-o zi, de la ora \(11\) până la ora \(19\). Măsurătorile au fost efectuate din oră în oră. Conform informațiilor din diagramă, temperatura măsurată la ora \(18\) a fost mai mică decât temperatura măsurată la ora \(14\) cu \(\ldots\,^\circ C\). (Date din figură: ora 11 → 21°C, ora 12 → 22°C, ora 13 → 24°C, ora 14 → 25°C, ora 15 → 24°C, ora 16 → 23°C, ora 17 → 21°C, ora 18 → 20°C, ora 19 → 18°C.)

Metoda: Lectură grafică și scădere

1. 1

   Citim temperatura la ora 14

   t_{14}=25^\circ C

   Căutăm pe axa orizontală (Ora) valoarea 14. Din acel punct urcăm până la punctul albastru și vedem la ce înălțime se află, citind pe axa verticală (Temperatura). Punctul de la ora 14 este în dreptul lui 25, deci temperatura a fost de \(25^\circ C\).

2. 2

   Citim temperatura la ora 18

   t_{18}=20^\circ C

   Facem la fel pentru ora 18: găsim 18 pe axa orizontală, urcăm până la punct și citim pe axa verticală. Punctul se află în dreptul lui 20, deci temperatura a fost de \(20^\circ C\).

3. 3

   Aflăm cu cât este mai mică temperatura

   25-20=5

   Ca să aflăm cu cât este un număr mai mic decât altul, le scădem: din valoarea mai mare (ora 14) scădem valoarea mai mică (ora 18). Diferența este \(25-20=5\), deci la ora 18 temperatura a fost cu \(5^\circ C\) mai mică decât la ora 14.

Răspuns: 5

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf \(V\) și bază \(ABCD\).

Metoda: Desenarea piramidei patrulatere regulate

1. 1

   Înțelegem ce trebuie desenat

   O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat \(ABCD\). Vârful \(V\) se află exact deasupra centrului pătratului, adică deasupra punctului în care se intersectează diagonalele bazei. Muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\) sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Trebuie să știm bine aceste lucruri, ca desenul să fie corect.

2. 2

   Desenăm baza \(ABCD\) în perspectivă

   Pe foaie, pătratul văzut în perspectivă se desenează ca un paralelogram. Desenăm \(AB\) jos, orizontal, apoi \(AD\) oblic, în sus și spre dreapta. Ducem \(BC\) paralelă și egală cu \(AD\), apoi \(DC\) paralelă cu \(AB\). Latura \(AD\) o desenăm mai scurtă, pentru că privim baza „din lateral”, iar laturile care merg în adâncime par mai scurte.

3. 3

   Trasăm diagonalele și alegem vârful \(V\)

   Ducem diagonalele \(AC\) și \(BD\) și notăm intersecția lor cu \(O\), centrul bazei. Din \(O\) ducem o verticală în sus, iar pe ea alegem punctul \(V\). Astfel vârful este deasupra centrului, ceea ce face piramida regulată. Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe plan bazei.

4. 4

   Unim vârful cu colțurile și notăm punctele

   Unim \(V\) cu \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\), obținând cele 4 muchii laterale. Muchiile și laturile care nu se văd (sunt în spatele piramidei) se desenează punctat. De obicei punctat este \(AD\), \(DC\) și \(VD\), iar diagonalele se șterg sau se desenează punctat. Apoi notăm clar \(V\), \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), pentru că baremul acordă 1 punct pentru notare.

Răspuns: Desenul trebuie să arate un pătrat \(ABCD\) (în perspectivă) la bază și un vârf \(V\) deasupra centrului său, unit cu \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Muchiile ascunse sunt punctate, iar punctele sunt notate (4p desen + 1p notare).

Arătați că media geometrică a numerelor \(a=3\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\) și \(b=\frac{5}{3}:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\) este egală cu 2.

Metoda: Operații cu fracții și media geometrică

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=3\cdot\frac{3-2+1}{6}=3\cdot\frac{2}{6}=1

   Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6: \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), \(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\). Atunci paranteza este \(\frac{3-2+1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Înmulțim cu 3 și obținem 1. Facem întâi paranteza pentru că ordinea operațiilor cere asta.

2. 2

   Calculăm numărul b

   b=\frac{5}{3}:\frac{6+3-4}{12}=\frac{5}{3}:\frac{5}{12}=\frac{5}{3}\cdot\frac{12}{5}=4

   Numitorul comun este 12: \(\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\), \(\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\), \(\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\). Paranteza devine \(\frac{6+3-4}{12}=\frac{5}{12}\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: \(\frac{5}{3}\cdot\frac{12}{5}=\frac{60}{15}=4\).

3. 3

   Media geometrică

   m_g=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}=2

   Media geometrică a două numere pozitive a și b este \(\sqrt{a\cdot b}\). Înlocuim a=1 și b=4, obținem \(\sqrt{4}=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Cum a = 1 și b = 4, media geometrică este \(\sqrt{1\cdot 4}=2\).

Determinați cel mai mare număr natural nenul \(n\), știind că, dacă împărțim numerele \(73\), \(123\) și \(223\) la \(n\), obținem resturile \(1\), \(3\) și, respectiv, \(7\).

Metoda: C.m.m.d.c. și teorema împărțirii cu rest

1. 1

   Scriem teorema împărțirii cu rest

   73=n\cdot c_1+1,\quad 123=n\cdot c_2+3,\quad 223=n\cdot c_3+7

   Teorema împărțirii cu rest spune că deîmpărțitul este egal cu împărțitor ori cât, plus rest. Scriem asta pentru fiecare dintre cele trei numere, cu resturile date. Nu uităm că restul trebuie să fie mai mic decât \(n\), deci \(n>7\).

2. 2

   Scădem resturile

   73-1=72=n\cdot c_1\Rightarrow n\mid 72,\quad 123-3=120\Rightarrow n\mid 120,\quad 223-7=216\Rightarrow n\mid 216

   Dacă scădem restul din fiecare număr, obținem un multiplu de \(n\). Deci \(n\) este divizor al lui \(72\), al lui \(120\) și al lui \(216\).

3. 3

   Descompunem numerele în factori primi

   72=2^3\cdot 3^2,\quad 120=2^3\cdot 3\cdot 5,\quad 216=2^3\cdot 3^3

   Cel mai mare număr care împarte toate cele trei numere este c.m.m.d.c. al lor. Îl aflăm cu descompunerea în factori primi: luăm factorii comuni la puterea cea mai mică.

4. 4

   Calculăm c.m.m.d.c. și verificăm

   n=\text{c.m.m.d.c.}(72,120,216)=2^3\cdot 3=24

   Factorii comuni sunt \(2\) (cea mai mică putere este \(2^3\)) și \(3\) (cea mai mică putere este \(3^1\)). Rezultă \(n=24\). Convine, fiindcă \(24>7\), deci resturile \(1,3,7\) sunt mai mici decât \(n\). Verificare: \(73=24\cdot 3+1\), \(123=24\cdot 5+3\), \(223=24\cdot 9+7\).

Răspuns: \(n=24\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-6\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Graficul funcției liniare prin două puncte

1. 1

   Alegem primul punct de pe grafic

   x=0 \Rightarrow f(0)=2\cdot 0-6=-6

   Un punct al graficului are coordonatele \((x, f(x))\). Alegem o valoare pentru x, de exemplu \(x=0\), pentru că e ușor de calculat. Obținem \(f(0)=2\cdot 0-6=-6\), deci punctul \(A(0,-6)\) aparține graficului. Este punctul în care graficul taie axa Oy.

2. 2

   Alegem al doilea punct de pe grafic

   x=3 \Rightarrow f(3)=2\cdot 3-6=0

   Avem nevoie de încă un punct, diferit de primul. Alegem \(x=3\) și obținem \(f(3)=2\cdot 3-6=0\). Deci \(B(3,0)\) aparține graficului. Este punctul în care graficul taie axa Ox.

3. 3

   Trasăm graficul

   A(0,-6),\ B(3,0)

   Desenăm un sistem de axe \(xOy\) și marcăm punctele \(A(0,-6)\) și \(B(3,0)\). Graficul unei funcții de forma \(ax+b\) este o dreaptă, deci unim cele două puncte cu o dreaptă pe care o prelungim în ambele părți (domeniul este \(\mathbb{R}\)). Dreapta AB este graficul funcției f.

Răspuns: Graficul lui f este dreapta care trece prin punctele \(A(0,-6)\) și \(B(3,0)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-6\). b) Graficul funcției \(f\) intersectează axa \(Ox\) a sistemului de coordonate \(xOy\) în punctul \(P\). Determinați numărul real \(m\), știind că simetricul punctului \(P\) față de punctul \(O\) este situat pe graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g(x)=mx+9\).

Metoda: Intersecția cu axa Ox și simetric

1. 1

   Aflăm punctul P

   f(x)=0 \Rightarrow 2x-6=0 \Rightarrow x=3

   Un punct de pe axa \(Ox\) are ordonata 0. Deci punctul P are \(y=f(x)=0\). Rezolvăm \(2x-6=0\), de unde \(2x=6\), deci \(x=3\). Așadar \(P(3,0)\).

2. 2

   Aflăm simetricul lui P față de O

   P(3,0) \Rightarrow S(-3,0)

   Simetricul unui punct față de origine \(O\) se obține schimbând semnele coordonatelor. Origine este mijlocul segmentului PS. Din \(P(3,0)\) obținem \(S(-3,0)\).

3. 3

   Punem S pe graficul lui g

   g(-3)=0 \Rightarrow -3m+9=0 \Rightarrow m=3

   Dacă S este pe graficul lui g, atunci \(g(-3)=0\). Înlocuim: \(m\cdot(-3)+9=0\), deci \(-3m=-9\), de unde \(m=3\).

Răspuns: m = 3

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x^2-x}{x^2-4x+3}-\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{x}{x+1}\right):\dfrac{x-1}{x^2-1}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 1\) și \(x\neq 3\). Arătați că \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 1\) și \(x\neq 3\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Descompunem în factori prima fracție

   \frac{x^2-x}{x^2-4x+3}=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-3)}

   La numărător dăm factor comun pe \(x\): \(x^2-x=x(x-1)\). La numitor, \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), deoarece \(1+3=4\) și \(1\cdot 3=3\). Descompunerea ne ajută să simplificăm fracția.

2. 2

   Simplificăm prima fracție

   \frac{x(x-1)}{(x-1)(x-3)}=\frac{x}{x-3}

   Simplificăm cu \(x-1\), care este diferit de 0 deoarece \(x\neq 1\).

3. 3

   Reducem primele două fracții din paranteză

   \frac{x}{x-3}-\frac{3}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1

   Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii. Rezultatul \(\frac{x-3}{x-3}=1\), pentru că \(x\neq 3\).

4. 4

   Calculăm paranteza

   1-\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-x}{x+1}=\frac{1}{x+1}

   Scriem \(1=\frac{x+1}{x+1}\) ca să avem numitor comun \(x+1\), apoi scădem. Paranteza este deci \(\frac{1}{x+1}\).

5. 5

   Efectuăm împărțirea

   E(x)=\frac{1}{x+1}:\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\frac{1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{1}=1

   Împărțirea înseamnă înmulțire cu inversa. Folosim \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) (formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)). Simplificăm cu \(x-1\) și \(x+1\), diferite de 0. Rezultă \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) permis.

Răspuns: \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -1\), \(x\neq 1\), \(x\neq 3\).

Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(CD = 12\sqrt{2}\) m, \(AD = BC = 24\) m și \(m(\angle BAD) = 45^\circ\). Punctul \(M\) este piciorul perpendicularei din \(D\) pe dreapta \(AB\), \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului \(ABCD\) și \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AD\) și \(BC\). a) Arătați că \(AM = 12\sqrt{2}\) m.

Metoda: Cosinus în triunghi dreptunghic

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic potrivit

   \triangle AMD,\ \angle AMD = 90^\circ

   Punctul \(M\) este piciorul perpendicularei din \(D\) pe \(AB\), deci \(DM \perp AB\). Rezultă că triunghiul \(AMD\) este dreptunghic în \(M\). În el, ipotenuza este \(AD = 24\) m, iar unghiul ascuțit \(\angle DAM\) este chiar \(\angle BAD = 45^\circ\), pentru că \(M\) se află pe semidreapta \(AB\). Segmentul căutat \(AM\) este cateta alăturată acestui unghi.

2. 2

   Scriem cosinusul unghiului \(DAM\)

   \cos(\angle DAM)=\frac{AM}{AD}

   În triunghiul dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Pentru unghiul \(\angle DAM\), cateta alăturată este \(AM\), iar ipotenuza este \(AD\). Alegem cosinusul pentru că ne leagă exact cele două lungimi: \(AM\) (necunoscută) și \(AD\) (cunoscută).

3. 3

   Înlocuim valorile și calculăm \(AM\)

   \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AM}{24}\Rightarrow AM=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}\text{ m}

   Știm că \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) și \(AD = 24\). Înlocuim în relația de la pasul anterior: \(\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AM}{24}\). Înmulțim ambii membri cu \(24\) și obținem \(AM = \frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}\) m, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(AM = 12\sqrt{2}\) m

Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(CD = 12\sqrt{2}\) m, \(AD = BC = 24\) m și \(m(\angle BAD) = 45^\circ\). Punctul \(M\) este piciorul perpendicularei din \(D\) pe dreapta \(AB\), \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului \(ABCD\) și \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AD\) și \(BC\). b) Determinați aria triunghiului \(AEB\).

Metoda: Aria triunghiului isoscel dreptunghic

1. 1

   Aflăm lungimea bazei mari AB

   AB = AM + MN + NB = 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 36\sqrt{2}

   Trapezul este isoscel, deci dacă ducem și perpendiculara din C pe AB, în punctul N, obținem \(BN = AM = 12\sqrt{2}\) m. Patrulaterul DCNM este dreptunghi, deci \(MN = DC = 12\sqrt{2}\) m. Adunăm cele trei segmente și obținem baza mare \(AB\).

2. 2

   Arătăm că triunghiul AEB este isoscel dreptunghic

   m(\angle BAE) = m(\angle ABE) = 45^\circ \Rightarrow m(\angle AEB) = 90^\circ

   Punctul E se află pe dreptele AD și BC, deci \(\angle BAE = \angle BAD = 45^\circ\). Trapezul fiind isoscel, unghiurile de la baza mare sunt egale, deci \(\angle ABE = 45^\circ\). Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci unghiul din E are \(90^\circ\). Triunghiul \(ABE\) este deci dreptunghic isoscel, cu ipotenuza \(AB\).

3. 3

   Calculăm înălțimea din E

   d(E, AB) = \frac{AB}{2} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}

   Fie P mijlocul lui AB. În triunghiul isoscel AEB, mediana EP este și înălțime. În triunghiul dreptunghic isoscel, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. Deci înălțimea este jumătate din AB.

4. 4

   Calculăm aria triunghiului AEB

   \mathcal{A}_{AEB} = \frac{AB \cdot d(E,AB)}{2} = \frac{36\sqrt{2} \cdot 18\sqrt{2}}{2} = 648 \text{ m}^2

   Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea, împărțit la 2. Folosim \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\), deci produsul este \(36\cdot18\cdot2 = 1296\), iar jumătate din el este 648.

Răspuns: Aria triunghiului AEB este 648 m².

Subiectul III, itemul 1. c): Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(CD = 12\sqrt{2}\) m, \(AD = BC = 24\) m și \(m(\angle BAD) = 45^\circ\). Punctul \(M\) este piciorul perpendicularei din \(D\) pe dreapta \(AB\), \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului \(ABCD\) și \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AD\) și \(BC\). Punctul \(P\) este mijlocul laturii \(AB\). Demonstrați că punctele \(P\), \(O\) și \(E\) sunt coliniare.

Metoda: Mediană și perpendiculară pe bază

1. 1

   Triunghiul \(ABE\) este isoscel

   \triangle ABE \text{ isoscel},\ EP \text{ mediană} \Rightarrow EP \perp AB

   Din itemul b) știm că \(m(\angle BAE) = m(\angle ABE) = 45^\circ\). Trapezul este isoscel, deci unghiurile de la baza \(AB\) sunt egale, iar \(E\) este pe prelungirile laturilor \(AD\) și \(BC\). Un triunghi cu două unghiuri egale este isoscel, deci \(EA = EB\), cu baza \(AB\). \(P\) este mijlocul bazei, deci \(EP\) este mediană. Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime, deci \(EP \perp AB\).

2. 2

   Triunghiul \(AOB\) este isoscel

   \triangle ABD \equiv \triangle BAC \Rightarrow \angle ABD \equiv \angle BAC \Rightarrow \triangle AOB \text{ isoscel}

   Trapezul este isoscel, deci diagonalele sunt egale: \(AC = BD\). Triunghiurile \(ABD\) și \(BAC\) au \(AD = BC\), \(AB\) latură comună și \(\angle DAB \equiv \angle CBA\) (unghiuri la baza trapezului isoscel). Deci sunt congruente (LUL). De aici \(\angle ABD \equiv \angle BAC\), adică \(\angle OBA \equiv \angle OAB\). Triunghiul \(AOB\) are două unghiuri egale, deci este isoscel, cu baza \(AB\).

3. 3

   \(OP \perp AB\) și concluzia

   OP \perp AB,\ EP \perp AB \Rightarrow P,\ O,\ E \text{ coliniare}

   În triunghiul isoscel \(AOB\), \(OP\) este mediană (\(P\) este mijlocul lui \(AB\)), deci este și înălțime: \(OP \perp AB\). Din pasul 1 avem și \(EP \perp AB\). Prin punctul \(P\) al dreptei \(AB\) trece o singură perpendiculară pe \(AB\). Deci dreptele \(PO\) și \(PE\) coincid, iar punctele \(P\), \(O\) și \(E\) sunt coliniare.

Răspuns: Deoarece \(EP \perp AB\) și \(OP \perp AB\), dreptele \(EP\) și \(OP\) coincid, deci punctele \(P\), \(O\) și \(E\) sunt coliniare.

Subiectul III, problema 2, punctul a): În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCDA'B'C'D'\) cu baza pătratul \(ABCD\), \(AB = 4\) cm și \(AA' = 2\sqrt{2}\) cm. Punctul \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). a) Arătați că volumul prismei \(ABCDA'B'C'D'\) este egal cu \(32\sqrt{2}\) cm\(^3\).

Metoda: Volumul prismei drepte

1. 1

   Alegem formula volumului

   V = A_{baza} \cdot h = AB^2 \cdot AA'

   Volumul unei prisme drepte este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Baza \(ABCD\) este pătrat, deci \(A_{baza} = AB^2\). Prisma este dreaptă, deci muchia laterală \(AA'\) este perpendiculară pe bază și este chiar înălțimea prismei.

2. 2

   Înlocuim datele

   V = 4^2 \cdot 2\sqrt{2}

   Din enunț știm că \(AB = 4\) cm și \(AA' = 2\sqrt{2}\) cm. Le punem în formula \(V = AB^2 \cdot AA'\). Aria bazei este \(4^2 = 16\) cm\(^2\).

3. 3

   Calculăm și tragem concluzia

   V = 16 \cdot 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\ \text{cm}^3

   Înmulțim \(16\) cu \(2\sqrt{2}\). Numărul \(2\) se înmulțește cu \(16\) și dă \(32\), iar \(\sqrt{2}\) rămâne neschimbat. Am obținut exact valoarea cerută în enunț, deci afirmația este demonstrată. Volumul se măsoară în cm\(^3\).

Răspuns: Volumul prismei este \(V = 4^2 \cdot 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\) cm\(^3\).

Subiectul III, 2. b): În figură este o prismă dreaptă \(ABCDA'B'C'D'\) cu baza pătratul \(ABCD\), \(AB=4\,\text{cm}\) și \(AA'=2\sqrt{2}\,\text{cm}\). Punctul \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). Calculați lungimea segmentului \(D'O\).

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Aflăm lungimea lui DO

   DO=\frac{BD}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

   Baza \(ABCD\) este pătrat, iar diagonalele unui pătrat se taie în jumătate. Deci \(O\) este mijlocul lui \(BD\) și \(DO=\frac{BD}{2}\). Diagonala pătratului de latură \(4\) este \(BD=4\sqrt{2}\) cm (din teorema lui Pitagora în triunghiul \(ABD\): \(BD^2=4^2+4^2=32\)). Atunci \(DO=2\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   Triunghiul D'DO este dreptunghic în D

   DD'\perp (ABCD)\Rightarrow DD'\perp DO

   Prisma este dreaptă, deci muchia laterală \(DD'\) este perpendiculară pe planul bazei. Atunci \(DD'\) este perpendiculară pe orice dreaptă din bază care trece prin \(D\), deci și pe \(DO\). Triunghiul \(D'DO\) este dreptunghic în \(D\), cu catetele \(DD'=2\sqrt{2}\) cm și \(DO=2\sqrt{2}\) cm, iar ipotenuza este \(D'O\).

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   D'O^2=DD'^2+DO^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16

   Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Avem \((2\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8$, deci \(D'O^2=8+8=16\). Atunci \(D'O=\sqrt{16}=4\) cm.

Răspuns: \(D'O=4\,\text{cm}\)

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCDA'B'C'D'\) cu baza pătratul \(ABCD\), \(AB=4\) cm și \(AA'=2\sqrt{2}\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\). Itemul 2. c): Demonstrați că sinusul unghiului dintre dreptele \(BC'\) și \(EO\) este egal cu \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\), unde \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(A'D\) și \(AD'\).

Metoda: Unghiul dintre două drepte, trigonometrie

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu BC'

   BC' \parallel AD' \Rightarrow m(\angle(BC',EO))=m(\angle(AD',EO))

   Fețele laterale ale prismei sunt dreptunghiuri. În dreptunghiul \(ABC'D'\) laturile opuse \(BC'\) și \(AD'\) sunt paralele. Dreapta \(EO\) trece prin \(E\), care se află pe \(AD'\), deci putem înlocui \(BC'\) cu \(AD'\): unghiul dintre \(BC'\) și \(EO\) este același cu unghiul dintre \(AD'\) și \(EO\).

2. 2

   Calculăm AD' și arătăm că D'O ⊥ AO

   AD'=D'C=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+4^2}=2\sqrt{6}

   În triunghiul dreptunghic \(AA'D'\)... mai simplu, \(AD'\) este diagonala dreptunghiului \(ADD'A'\) cu laturile \(4\) și \(2\sqrt{2}\). Cu teorema lui Pitagora: \(AD'^2=16+8=24\), deci \(AD'=2\sqrt{6}\). La fel \(D'C=2\sqrt{6}\). Triunghiul \(D'AC\) este isoscel, iar \(O\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(D'O\) este mediană și înălțime: \(D'O\perp AO\).

3. 3

   Calculăm OF, distanța de la O la AD'

   OF=\frac{AO\cdot D'O}{AD'}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 4}{2\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}

   Aici \(AO=2\sqrt{2}\) (jumătate din diagonala pătratului \(4\sqrt{2}\)) și \(D'O=4\) (din subpunctul b). Triunghiul \(AOD'\) este dreptunghic în \(O\), cu ipotenuza \(AD'\). Dacă \(OF\perp AD'\), înălțimea din unghiul drept este produsul catetelor împărțit la ipotenuză: \(OF=\frac{2\sqrt{2}\cdot4}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\).

4. 4

   Calculăm sinusul în triunghiul EOF

   \sin\angle AEO=\frac{OF}{OE}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}

   \(E\) este mijlocul lui \(AD'\) (centrul dreptunghiului \(ADD'A'\)), iar \(EO\) este linie mijlocie în triunghiul \(AD'C\)... în orice caz, \(OE=\frac{D'C}{2}=\sqrt{6}\). În triunghiul dreptunghic \(EOF\) (unghi drept în \(F\)), sinusul este cateta opusă supra ipotenuză: \(\sin=\frac{OF}{OE}=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Aceasta este exact valoarea cerută.

Răspuns: \(\sin\angle(BC',EO)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)