Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2019, model de subiect

Rezultatul calculului \(18+18:6\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   18+18:6

   În expresie avem o adunare și o împărțire, fără paranteze. Regula spune că întâi se fac înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Deci prima operație este împărțirea \(18:6\), nu adunarea \(18+18\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   18:6=3

   Calculăm \(18:6\). Întrebăm: de câte ori încape 6 în 18? Încape de 3 ori, pentru că \(6\cdot 3=18\). Expresia devine \(18+3\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   18+3=21

   După împărțire a rămas doar o adunare: \(18+3\). Rezultatul este 21. Acesta este răspunsul din barem.

4. 4

   Verificarea și greșeala frecventă

   (18+18):6=6\neq 21

   Dacă am aduna întâi \(18+18=36\) și apoi am împărți la 6, am obține 6. Asta ar fi greșit, pentru că am ignora ordinea operațiilor. Corect este 21.

Răspuns: 21

Dacă \(\frac{x}{4}=\frac{5}{2}\), atunci numărul \(x\) este egal cu ….

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{x}{4}=\frac{5}{2}

   Egalitatea a două rapoarte se numește proporție. Termenii \(x\) și \(2\) sunt extremii, iar \(4\) și \(5\) sunt mezii. Ne ajută să știm asta, ca să aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor.

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală

   x\cdot 2=4\cdot 5

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Deci \(x\cdot 2\) este egal cu \(4\cdot 5\). Așa scăpăm de fracții și obținem o egalitate simplă.

3. 3

   Aflăm pe x

   2x=20 \Rightarrow x=20:2=10

   Dacă \(2\) înmulțit cu \(x\) dă \(20\), atunci \(x\) se află împărțind \(20\) la \(2\). Împărțirea este operația inversă înmulțirii.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \frac{10}{4}=\frac{5}{2}

   Punem \(x=10\) în fracția inițială și simplificăm cu \(2\): \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\). Egalitatea este adevărată, deci rezultatul este corect.

Răspuns: x = 10

Cel mai mare număr par din mulțimea \(M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) este egal cu …. (Subiectul I, itemul 3; se scrie doar rezultatul.)

Metoda: Numere pare în mulțime

1. 1

   Ce înseamnă număr par

   n = 2k

   Un număr natural este par dacă se împarte exact la 2, adică dacă ultima lui cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Folosim criteriul de divizibilitate cu 2. Avem nevoie de el ca să putem alege din mulțime doar numerele care ne interesează.

2. 2

   Alegem numerele pare din mulțime

   M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

   Verificăm pe rând fiecare element al mulțimii M. Numerele 2, 4 și 6 sunt pare, iar 1, 3, 5 și 7 sunt impare, pentru că se termină în cifre impare. Așadar numerele pare din M sunt 2, 4 și 6.

3. 3

   Alegem cel mai mare număr par

   \max\{2, 4, 6\} = 6

   Dintre numerele pare 2, 4 și 6, cel mai mare este 6. Atenție: 7 este cel mai mare element al mulțimii M, dar este impar, deci nu este răspunsul. Cerința are două condiții deodată: să fie par și să fie cel mai mare.

Răspuns: 6

Punctele \(D\), \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor triunghiului \(ABC\). Dacă \(AB = 6\text{ cm}\), \(BC = 8\text{ cm}\) și \(AC = 10\text{ cm}\), atunci perimetrul triunghiului \(DEF\) este egal cu … cm.

Metoda: Linia mijlocie în triunghi

1. 1

   Recunoaștem liniile mijlocii

   DE,\ EF,\ FD \text{ sunt linii mijlocii în } \triangle ABC

   Un segment care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. Laturile triunghiului \(DEF\) unesc mijloacele laturilor lui \(ABC\), deci toate cele trei sunt linii mijlocii. Contează acest lucru pentru că o linie mijlocie are o lungime ușor de aflat: jumătate din latura paralelă cu ea.

2. 2

   Calculăm lungimea fiecărei linii mijlocii

   DE=\frac{AC}{2}=5,\quad EF=\frac{AB}{2}=3,\quad DF=\frac{BC}{2}=4

   Fiecare linie mijlocie este jumătate din latura paralelă cu ea. Împărțim deci fiecare latură a triunghiului \(ABC\) la 2: \(10:2=5\), \(6:2=3\), \(8:2=4\). Notația exactă a laturilor lui \(DEF\) nu contează, important e că obținem jumătățile celor trei laturi.

3. 3

   Calculăm perimetrul triunghiului DEF

   P_{DEF}=DE+EF+DF=5+3+4=12\text{ cm}

   Perimetrul este suma lungimilor laturilor. Adunăm cele trei lungimi aflate: \(5+3+4=12\). Verificare: perimetrul lui \(ABC\) este \(6+8+10=24\), iar \(12\) este exact jumătate din el, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 12

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Măsura unghiului determinat de dreptele \(AD'\) și \(BB'\) este egală cu …°. (Item cu răspuns scurt, fără variante; figura arată cubul cu diagonala \(AD'\) a feței \(ADD'A'\) trasată punctat.)

Metoda: Unghiul a două drepte în spațiu

1. 1

   Găsim o paralelă potrivită

   BB' \parallel AA'

   Unghiul dintre două drepte necoplanare se află ducând o paralelă la una dintre ele printr-un punct de pe cealaltă. În cub, muchiile verticale sunt paralele între ele. Dreapta \(AA'\) este paralelă cu \(BB'\) și trece prin punctul \(A\), care se află pe dreapta \(AD'\).

2. 2

   Identificăm unghiul cerut

   \measuredangle(AD',BB')=\measuredangle(AD',AA')=\measuredangle D'AA'

   Cum \(BB' \parallel AA'\), unghiul dintre \(AD'\) și \(BB'\) este egal cu unghiul dintre \(AD'\) și \(AA'\), adică unghiul \(\measuredangle D'AA'\). Acest unghi se află în fața laterală \(ADD'A'\), care este un pătrat.

3. 3

   Calculăm măsura unghiului

   AA'=A'D',\ \measuredangle A'=90^\circ \Rightarrow \measuredangle D'AA'=45^\circ

   În pătratul \(ADD'A'\), \(AD'\) este diagonală. Triunghiul \(AA'D'\) este dreptunghic în \(A'\) și isoscel, deoarece \(AA'=A'D'\) (laturi ale pătratului). Într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiurile ascuțite sunt egale, iar suma lor este \(90^\circ\), deci fiecare are \(45^\circ\). Altfel spus, diagonala pătratului este bisectoarea unghiului drept.

Răspuns: 45

În tabelul următor sunt prezentate informații referitoare la țările reprezentate într-un proiect internațional și la numărul de participanți din fiecare țară. Țara: România 15, Italia 8, Franța 10, Olanda 5, Spania 3, Polonia 9. Conform tabelului, procentul reprezentat de numărul de participanți din Franța, din numărul total de participanți este …% .

Metoda: Procent dintr-un total

1. 1

   Aflăm numărul total de participanți

   15+8+10+5+3+9=50

   Procentul se calculează față de întreg. Întregul este numărul tuturor participanților, deci adunăm numerele de pe rândul al doilea al tabelului.

2. 2

   Scriem fracția participanților din Franța

   \frac{10}{50}

   Partea (participanții din Franța) se raportează la întreg (50). Fracția arată ce parte din total reprezintă Franța.

3. 3

   Transformăm fracția în procent

   \frac{10}{50}=\frac{20}{100}=20\%

   Procentul înseamnă „din 100”. Amplificăm fracția cu 2 ca să obținem numitorul 100: \(\frac{10\cdot 2}{50\cdot 2}=\frac{20}{100}\), adică 20%.

4. 4

   Verificare

   20\%\cdot 50=10

   Verificăm: 20% din 50 înseamnă \(\frac{20}{100}\cdot 50=10\), exact numărul participanților din Franța. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: 20

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf \(V\) și bază \(ABCD\).

Metoda: Desenarea piramidei patrulatere regulate

1. 1

   Ce înseamnă „piramidă patrulateră regulată”

   ABCD \text{ pătrat},\ VO \perp (ABCD)

   Piramida este patrulateră, deci baza are patru laturi. Este regulată, deci baza este un pătrat \(ABCD\), iar vârful \(V\) se află exact deasupra centrului pătratului. Centrul \(O\) este punctul în care se taie diagonalele \(AC\) și \(BD\). Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei. Toate muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\) sunt egale.

2. 2

   Desenăm baza în perspectivă

   ABCD

   În desenul în spațiu, pătratul se reprezintă ca un paralelogram. Desenăm \(AB\) orizontal în față, apoi \(AD\) înclinat în sus spre dreapta, apoi \(BC\) paralel și egal cu \(AD\), iar \(DC\) paralel cu \(AB\). Muchiile care nu se văd (cele din spate) le facem cu linie întreruptă. De obicei \(AD\) și \(DC\) sunt ascunse.

3. 3

   Găsim centrul bazei și vârful

   AC \cap BD = \{O\},\ VO \perp (ABCD)

   Tragem diagonalele \(AC\) și \(BD\) (cu linie întreruptă, pentru că sunt pe baza ascunsă) și notăm \(O\) intersecția lor. Din \(O\) ducem în sus un segment vertical și pe el alegem punctul \(V\). Segmentul \(VO\) este înălțimea piramidei. Dacă vrei, o desenezi punctat.

4. 4

   Unim vârful cu colțurile și notăm

   VA,\ VB,\ VC,\ VD

   Unim \(V\) cu \(A, B, C, D\) și obținem cele patru muchii laterale. Cele care se văd se fac cu linie continuă, iar cea ascunsă (\(VD\)) cu linie întreruptă. La final scriem pe desen toate literele: \(V, A, B, C, D\). Baremul dă 1 punct pentru această notare, deci nu o omite!

5. 5

   Verificăm desenul

   Verifică: baza \(ABCD\) este reprezentată ca pătrat (paralelogram în perspectivă), vârful \(V\) este deasupra centrului, are 4 muchii laterale, liniile ascunse sunt întrerupte, iar toate punctele sunt notate. Atunci desenul ia punctajul maxim: 4p + 1p.

Răspuns: Desenul: pătratul (în perspectivă) \(ABCD\) ca bază, \(O\) intersecția diagonalelor, vârful \(V\) deasupra lui \(O\) cu \(VO \perp (ABCD)\), muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\), toate notate corect.

Arătați că media aritmetică a numerelor \(a=(2+\sqrt{3})^2\) și \(b=7-\dfrac{12}{\sqrt{3}}\) este egală cu 7.

Metoda: Formule de calcul prescurtat și raționalizare

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=(2+\sqrt{3})^2=2^2+2\cdot 2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}

   Folosim formula \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), cu \(x=2\) și \(y=\sqrt{3}\). Avem \(2^2=4\), \(2\cdot2\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) și \((\sqrt{3})^2=3\). Apoi adunăm numerele fără radical: \(4+3=7\).

2. 2

   Calculăm numărul b

   \frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\;\Rightarrow\; b=7-4\sqrt{3}

   Amplificăm fracția cu \(\sqrt{3}\) ca să nu mai avem radical la numitor, deoarece \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\). Apoi simplificăm: \(12:3=4\). Rezultă \(b=7-4\sqrt{3}\).

3. 3

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}}{2}=\frac{14}{2}=7

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Termenii \(4\sqrt{3}\) și \(-4\sqrt{3}\) se reduc, rămâne \(7+7=14\), iar \(14:2=7\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Media aritmetică a numerelor a și b este 7.

Dacă elevii unei clase se așază câte trei în bancă, rămân patru bănci libere, iar dacă se așază câte doi în bancă, un elev rămâne singur în bancă și nu rămân bănci libere. Determinați numărul de bănci din această clasă.

Metoda: Ecuație din problemă (două moduri de așezare)

1. 1

   Alegem necunoscuta

   b = \text{numărul de bănci}

   Ne cere numărul de bănci, deci îl notăm cu b. Cu el putem exprima numărul de elevi în ambele situații.

2. 2

   Elevii când stau câte trei în bancă

   3 \cdot (b-4)

   Dacă patru bănci rămân libere, elevii ocupă doar b−4 bănci. În fiecare stau câte 3 elevi, deci sunt 3·(b−4) elevi.

3. 3

   Elevii când stau câte doi în bancă

   2 \cdot (b-1) + 1

   Nu rămân bănci libere, dar într-o bancă stă un singur elev. Deci b−1 bănci au câte 2 elevi, iar una are 1 elev: 2·(b−1)+1.

4. 4

   Scriem și rezolvăm ecuația

   3(b-4)=2(b-1)+1 \Rightarrow 3b-12=2b-1 \Rightarrow b=11

   Numărul elevilor e același, deci egalăm expresiile. Desfacem parantezele: 3b−12 = 2b−1. Mutăm 2b în stânga și 12 în dreapta: 3b−2b = 12−1, deci b = 11.

5. 5

   Verificare

   3\cdot 7 = 21 = 2\cdot 10 + 1

   Cu 11 bănci: în prima așezare 7 bănci ocupate, 21 elevi; în a doua, 10 bănci cu câte 2 și una cu 1, tot 21 elevi. Rezultatul convine.

Răspuns: Clasa are 11 bănci.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+6\), unde \(a\) este număr real nenul. a) Pentru \(a=-2\), reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Scriem funcția pentru a = -2

   f(x)=-2x+6

   Înlocuim \(a\) cu \(-2\) în formula funcției, ca să știm exact ce funcție reprezentăm.

2. 2

   Primul punct al graficului

   f(0)=-2\cdot 0+6=6 \Rightarrow A(0,6)

   Alegem \(x=0\) pentru că este cel mai ușor de calculat. Obținem punctul în care graficul taie axa Oy.

3. 3

   Al doilea punct al graficului

   f(3)=-2\cdot 3+6=0 \Rightarrow B(3,0)

   Alegem \(x=3\), pentru că rezultatul iese 0, deci punctul se află pe axa Ox. Sunt necesare două puncte distincte ca să trasăm dreapta.

4. 4

   Reprezentăm punctele și trasăm graficul

   G_f=\text{dreapta } AB

   Într-un sistem xOy marcăm \(A(0,6)\) și \(B(3,0)\). Printr-un punct trec dreapta și toate celelalte, dar prin două puncte distincte trece o dreaptă unică. Unim A cu B și prelungim dreapta în ambele sensuri, pentru că funcția este definită pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=-2x+6\) este dreapta care trece prin punctele \(A(0,6)\) și \(B(3,0)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+6\), unde \(a\) este număr real nenul. b) În sistemul de coordonate \(xOy\) se consideră \(A\) și \(B\), punctele de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axele \(Ox\), respectiv \(Oy\). Determinați numerele reale \(a\), știind că \(\operatorname{tg}(\angle OAB)=2\).

Metoda: Intersecții cu axele și tangenta

1. 1

   Aflăm coordonatele punctelor A și B

   B(0,6),\quad A\left(-\frac{6}{a},0\right)

   Punctul B este pe axa Oy, deci are abscisa \(x=0\). Atunci \(f(0)=a\cdot 0+6=6\), deci \(B(0,6)\). Punctul A este pe axa Ox, deci are ordonata \(0\). Rezolvăm \(ax+6=0\), de unde \(x=-\frac{6}{a}\) (se poate, pentru că \(a\neq 0\)). Deci \(A\left(-\frac{6}{a},0\right)\).

2. 2

   Calculăm lungimile OA și OB

   OA=\left|-\frac{6}{a}\right|=\frac{6}{|a|},\quad OB=6

   O este originea. Lungimea OA este distanța de la origine la A, adică modulul abscisei lui A. Lungimea OB este ordonata lui B, adică 6. Folosim modulul pentru că o lungime nu poate fi negativă, iar \(a\) poate fi și negativ.

3. 3

   Folosim tangenta în triunghiul AOB

   \operatorname{tg}(\angle OAB)=\frac{OB}{OA}=2 \Rightarrow \frac{6}{\frac{6}{|a|}}=2 \Rightarrow |a|=2

   Triunghiul AOB este dreptunghic în O, pentru că axele sunt perpendiculare. Față de unghiul A, cateta opusă este OB, iar cea alăturată este OA. Deci \(\operatorname{tg}(\angle OAB)=\frac{OB}{OA}\). Înlocuim: \(6:\frac{6}{|a|}=|a|\). Rezultă \(|a|=2\).

4. 4

   Determinăm numerele a

   |a|=2 \Rightarrow a=-2 \text{ sau } a=2

   Un număr cu modulul 2 este fie 2, fie -2 (ambele sunt la distanța 2 de 0 pe axă). Ambele sunt nenule, deci convin. Pentru \(a=2\), A este la stânga lui O, iar pentru \(a=-2\), A este la dreapta lui O; în ambele cazuri OA=3.

Răspuns: \(a=-2\) sau \(a=2\)

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+4x+3}-\dfrac{1}{9-x^2}\right):\dfrac{x+2}{x^2-9}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq-3\), \(x\neq-2\), \(x\neq-1\) și \(x\neq3\). Determinați numărul real \(m\), știind că \(E(m)=2m+1\).

Metoda: Fracții algebrice și descompuneri în factori

1. 1

   Descompunem numitorii și numărătorii în factori

   x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\; x^2+4x+3=(x+1)(x+3),\; 9-x^2=-(x-3)(x+3),\; x^2-9=(x-3)(x+3)

   Descompunem în factori ca să putem simplifica fracțiile și să găsim numitorul comun. Trinoamele se descompun căutând două numere cu suma egală cu coeficientul lui \(x\) și produsul egal cu termenul liber: pentru \(x^2+3x+2\) sunt 1 și 2, iar pentru \(x^2+4x+3\) sunt 1 și 3. Diferența de pătrate se descompune cu \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

2. 2

   Simplificăm și scriem la numitor comun

   E(x)=\left(\frac{x+1}{x-3}-\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+3)}\right)\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{x+2}

   Fracția a doua se simplifică prin \(x+1\) (permis, deoarece \(x\neq-1\)). Fracția \(\frac{1}{9-x^2}\) devine \(-\frac{1}{(x-3)(x+3)}\), iar cu minusul din față scăderea se transformă în adunare. Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa ei. Numitorul comun al parantezei este \((x-3)(x+3)\).

3. 3

   Efectuăm calculele din paranteză

   \frac{(x+1)(x+3)-(x+2)(x-3)+1}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+4x+3-(x^2-x-6)+1}{(x-3)(x+3)}=\frac{5x+10}{(x-3)(x+3)}

   Am adus fracțiile la numitorul \((x-3)(x+3)\). Primei fracții i-am amplificat numărătorul cu \(x+3\), iar celei de-a doua cu \(x-3\). Dezvoltăm: \((x+1)(x+3)=x^2+4x+3\) și \((x+2)(x-3)=x^2-x-6\). Scăderea dă \(5x+9\), la care adunăm 1 și obținem \(5x+10=5(x+2)\).

4. 4

   Obținem valoarea lui E(x)

   E(x)=\frac{5(x+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{x+2}=5

   Factorii \(x+2\) și \((x-3)(x+3)\) se simplifică, pentru că \(x\neq-2\), \(x\neq3\) și \(x\neq-3\). Rămâne \(E(x)=5\) pentru orice \(x\) din domeniul permis.

5. 5

   Rezolvăm ecuația E(m)=2m+1

   2m+1=5\Rightarrow 2m=4\Rightarrow m=2

   Deoarece \(E(m)=5\), ecuația \(E(m)=2m+1\) devine \(2m+1=5\). Scădem 1 din ambii membri și apoi împărțim la 2. Verificăm că \(m=2\) este permis: este diferit de \(-3\), \(-2\), \(-1\) și \(3\), deci convine.

Răspuns: m = 2

În figura 2 este reprezentat un trapez \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(BC = CD = AD = 6\) cm și \(AB = 12\) cm. Punctul \(E\) este simetricul punctului \(D\) față de dreapta \(AB\), iar \(F\) și \(G\) sunt punctele de intersecție ale dreptei \(CD\) cu dreptele \(EA\), respectiv \(EB\). a) Arătați că perimetrul trapezului \(ABCD\) este egal cu \(30\) cm.

Metoda: Perimetrul ca suma laturilor

1. 1

   Scriem formula perimetrului

   P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD

   Perimetrul este lungimea drumului pe care îl parcurgem mergând pe marginea figurii, adică suma tuturor laturilor. Trapezul are patru laturi, deci adunăm patru lungimi: \(AB\), \(BC\), \(CD\) și \(AD\).

2. 2

   Înlocuim lungimile și calculăm

   P_{ABCD} = 12 + 6 + 6 + 6 = 30 \text{ cm}

   Din enunț știm că \(AB = 12\) cm și că \(BC = CD = AD = 6\) cm. Punem aceste valori în formulă și adunăm: \(12+6=18\), \(18+6=24\), \(24+6=30\). Rezultă că perimetrul este \(30\) cm, exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul trapezului \(ABCD\) este \(P = 12 + 6 + 6 + 6 = 30\) cm.

În Figura 2 este reprezentat un trapez \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(BC = CD = AD = 6\) cm și \(AB = 12\) cm. Punctul \(E\) este simetricul punctului \(D\) față de dreapta \(AB\), iar \(F\) și \(G\) sunt punctele de intersecție a dreptei \(CD\) cu dreptele \(EA\), respectiv \(EB\). b) Demonstrați că triunghiul \(ADF\) este echilateral.

Metoda: Unghiuri și simetrie în trapez

1. 1

   Aflăm unghiul DAM

   AM=\frac{AB-CD}{2}=\frac{12-6}{2}=3,\quad \cos(\angle DAM)=\frac{AM}{AD}=\frac{3}{6}=\frac12

   Fie \(M\) intersecția dreptelor \(AB\) și \(DE\). Deoarece \(E\) este simetricul lui \(D\) față de \(AB\), dreapta \(DE\) este perpendiculară pe \(AB\), deci triunghiul \(AMD\) este dreptunghic în \(M\), cu \(AD = 6\) cm. Trapezul \(ABCD\) este isoscel (laturile neparalele \(AD = BC\)), deci \(AM = \frac{AB-CD}{2} = 3\) cm. Cateta \(AM\) este jumătate din ipotenuza \(AD\), deci unghiul opus ei are \(30^\circ\), iar \(\angle DAM = 60^\circ\). Acest ultim pas se poate obține și cu cosinusul, ca mai sus.

2. 2

   Folosim simetria punctului E

   \angle EAM=\angle DAM=60^\circ,\quad \angle DAF=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ

   Cum \(E\) este simetricul lui \(D\) față de \(AB\), unghiurile \(DAM\) și \(EAM\) sunt congruente, deci \(\angle EAM = 60^\circ\). Punctele \(E\), \(A\), \(F\) sunt coliniare, deci unghiul alungit \(FAE\) are \(180^\circ\). Atunci \(\angle DAF = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\).

3. 3

   Folosim paralelismul AB ∥ DC

   \angle ADF=\angle DAM=60^\circ

   Dreptele \(AB\) și \(DC\) sunt paralele, iar \(AD\) este secantă. Unghiurile \(ADF\) și \(DAM\) sunt alterne interne, deci sunt congruente: \(\angle ADF = 60^\circ\).

4. 4

   Concluzia

   \angle DAF=\angle ADF=60^\circ\Rightarrow \angle AFD=60^\circ

   În triunghiul \(ADF\) două unghiuri au \(60^\circ\), iar suma unghiurilor este \(180^\circ\). Deci și al treilea unghi are \(180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). Un triunghi cu toate unghiurile de \(60^\circ\) este echilateral.

Răspuns: Triunghiul ADF are toate unghiurile de 60°, deci este echilateral.

Subiectul III, 1. c): În Figura 2 este reprezentat un trapez \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(BC = CD = AD = 6\,\text{cm}\) și \(AB = 12\,\text{cm}\). Punctul \(E\) este simetricul punctului \(D\) față de dreapta \(AB\), iar \(F\) și \(G\) sunt punctele de intersecție a dreptei \(CD\) cu dreptele \(EA\), respectiv \(EB\). Demonstrați că dreptele \(EF\) și \(EG\) sunt perpendiculare.

Metoda: Unghiuri și simetrie în triunghi

1. 1

   Aflăm unghiul \(\angle ABD\)

   \angle BCD = 120^\circ \Rightarrow \angle CBD = \angle CDB = 30^\circ,\quad \angle ABD = \angle CDB = 30^\circ

   Din subpunctul b) avem \(\angle ADC = 120^\circ\) (deoarece \(\angle ADF = 60^\circ\) și \(F, D, C\) sunt pe aceeași dreaptă). Trapezul este isoscel, deci și \(\angle BCD = 120^\circ\). Triunghiul \(BCD\) este isoscel (\(CB = CD = 6\)), deci unghiurile de la bază sunt egale: \((180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\). Cum \(AB \parallel CD\), unghiurile \(\angle ABD\) și \(\angle CDB\) sunt alterne interne, deci egale: \(\angle ABD = 30^\circ\).

2. 2

   Aflăm unghiul \(\angle ABE\)

   \angle ABE = \angle ABD = 30^\circ

   \(E\) este simetricul lui \(D\) față de dreapta \(AB\). Simetria față de o dreaptă păstrează unghiurile, deci unghiul \(\angle ABE\) este egal cu \(\angle ABD\), adică \(30^\circ\).

3. 3

   Calculăm \(\angle AEB\) și concluzionăm

   \angle AEB = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \Rightarrow EF \perp EG

   În triunghiul \(AEB\) cunoaștem \(\angle EAB = 60^\circ\) (simetricul lui \(\angle DAB = 60^\circ\)) și \(\angle ABE = 30^\circ\). Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci \(\angle AEB = 90^\circ\). Punctele \(F\) și \(G\) sunt pe dreptele \(EA\), respectiv \(EB\), deci dreptele \(EF\) și \(EG\) formează unghiul de \(90^\circ\), adică sunt perpendiculare.

Răspuns: \(\angle AEB = 90^\circ\), deci dreptele \(EF\) și \(EG\) sunt perpendiculare.

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AB = 10\) cm și \(AA' = 12\) cm. Punctul \(M\) este situat pe muchia \(AA'\) astfel încât \(AM = 9\) cm, iar punctul \(P\) este mijlocul muchiei \(AA'\). a) Arătați că aria laterală a prismei \(ABCA'B'C'\) este egală cu \(360\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria laterală a prismei drepte

1. 1

   Formula ariei laterale

   \mathcal{A}_{lat} = P_{\Delta ABC} \cdot AA'

   Prisma este dreaptă, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri cu înălțimea \(AA'\). Baza fiecărui dreptunghi este o latură a triunghiului \(ABC\). Adunând ariile lor, \(AB\cdot AA' + BC\cdot AA' + CA\cdot AA'\), dăm factor comun \(AA'\) și obținem perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea.

2. 2

   Perimetrul bazei

   P_{\Delta ABC} = 3 \cdot AB = 3 \cdot 10 = 30

   Baza \(ABC\) este triunghi echilateral, deci toate laturile sunt egale cu \(AB = 10\) cm. Perimetrul este suma celor trei laturi, adică \(3\cdot10=30\) cm.

3. 3

   Calculul ariei laterale

   \mathcal{A}_{lat} = 30 \cdot 12 = 3\cdot 10\cdot 12 = 360\ \text{cm}^2

   Înlocuim perimetrul bazei (30 cm) și înălțimea prismei \(AA' = 12\) cm în formulă. Rezultatul este \(360\ \text{cm}^2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria laterală a prismei este \(\mathcal{A}_{lat} = 3\cdot10\cdot12 = 360\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AB=10\) cm și \(AA'=12\) cm. Punctul \(M\) este situat pe muchia \(AA'\) astfel încât \(AM=9\) cm, iar punctul \(P\) este mijlocul muchiei \(AA'\). b) Arătați că distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BC\) este egală cu \(2\sqrt{39}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Găsim perpendiculara din M pe BC

   MA\perp(ABC),\ MN\perp BC,\ N\in BC\ \Rightarrow\ AN\perp BC

   Prisma este dreaptă, deci muchia \(AA'\) este perpendiculară pe planul bazei \((ABC)\). Cum \(M\in AA'\), avem \(MA\perp(ABC)\). Ducem \(MN\perp BC\), cu \(N\in BC\). Atunci \(MN\) este distanța căutată. Conform teoremei celor trei perpendiculare, din \(MA\perp(ABC)\) și \(MN\perp BC\) rezultă \(AN\perp BC\), adică \(AN\) este înălțime în triunghiul \(ABC\).

2. 2

   Calculăm AN, înălțimea triunghiului echilateral

   AN=\frac{l\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral cu latura \(10\) cm. Înălțimea \(AN\) este și mediană, deci \(BN=5\). În triunghiul dreptunghic \(ANB\): \(AN^2=10^2-5^2=75\), deci \(AN=\sqrt{75}=5\sqrt3\) cm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul MAN

   MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{9^2+(5\sqrt3)^2}=\sqrt{81+75}=\sqrt{156}=2\sqrt{39}

   Triunghiul \(MAN\) este dreptunghic în \(A\), pentru că \(MA\perp(ABC)\) și deci \(MA\perp AN\). Cunoaștem catetele \(AM=9\) și \(AN=5\sqrt3\). Atunci \(MN^2=81+75=156\). Scoatem factorii de sub radical: \(156=4\cdot39\), deci \(MN=2\sqrt{39}\) cm. Am obținut exact valoarea cerută.

Răspuns: Distanța de la \(M\) la dreapta \(BC\) este \(MN=2\sqrt{39}\) cm.

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AB=10\) cm și \(AA'=12\) cm. Punctul \(M\) este situat pe muchia \(AA'\) astfel încât \(AM=9\) cm și punctul \(P\) este mijlocul muchiei \(AA'\). c) Demonstrați că dreapta \(PO\) este paralelă cu planul \((MBC)\), unde punctul \(O\) este centrul cercului circumscris triunghiului \(ABC\).

Metoda: Reciproca teoremei lui Thales

1. 1

   Aflăm lungimea lui AP

   AP=\frac{AA'}{2}=\frac{12}{2}=6

   P este mijlocul muchiei \(AA'\), deci \(AP\) este jumătate din \(AA'=12\) cm. Obținem \(AP=6\) cm. Avem nevoie de această valoare ca să putem compara \(AP\) cu \(AM\).

2. 2

   Raportul AP/AM

   \frac{AP}{AM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

   Știm \(AM=9\) cm și \(AP=6\) cm. Calculăm raportul lor și îl simplificăm cu 3. Obținem \(\frac{2}{3}\).

3. 3

   Raportul AO/AN

   \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}

   În triunghiul echilateral ABC, O este centrul cercului circumscris, adică centrul de greutate. Punctul N este mijlocul lui BC, deci AN este mediană și înălțime. Centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf, deci \(AO=\frac{2}{3}AN\).

4. 4

   Concluzia: PO paralelă cu planul (MBC)

   \frac{AP}{AM}=\frac{AO}{AN}\Rightarrow PO\parallel MN,\ MN\subset(MBC)\Rightarrow PO\parallel(MBC)

   Am obținut \(\frac{AP}{AM}=\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\). Punctele P, M sunt pe latura AM a triunghiului AMN, iar O, N pe latura AN. Din reciproca teoremei lui Thales rezultă \(PO\parallel MN\). Dreapta MN se află în planul (MBC), deoarece M și N aparțin acestui plan. O dreaptă paralelă cu o dreaptă din plan, care nu este ea însăși în plan, este paralelă cu planul. Deci \(PO\parallel(MBC)\).

Răspuns: Deoarece \(\frac{AP}{AM}=\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\), rezultă \(PO\parallel MN\), iar \(MN\subset(MBC)\), deci \(PO\parallel(MBC)\).