Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2020, sesiunea iunie–iulie

Rezultatul calculului \(60-20:2\) este egal cu ... .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem prima operație

   60-20:2

   În calcul avem două operații: scăderea și împărțirea. Regula spune că împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și scăderii, deoarece sunt operații de ordin superior. Nu avem paranteze, deci nu există alte reguli. Prima operație este \(20:2\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   60-20:2=60-10

   Calculăm \(20:2=10\) și înlocuim această parte în exercițiu. Astfel rămâne doar o scădere simplă, pe care o putem face mai departe fără probleme.

3. 3

   Efectuăm scăderea și verificăm

   60-10=50

   Acum facem scăderea: \(60-10=50\). Rezultatul este 50. Atenție la greșeala frecventă: dacă am face întâi \(60-20=40\) și apoi \(40:2=20\), am obține 20, ceea ce este greșit, pentru că am ignorat ordinea operațiilor.

Răspuns: 50

Numărul care reprezintă \(\frac{1}{4}\) din 120 este egal cu ….

Metoda: Fracție dintr-un număr

1. 1

   Ce înseamnă „\(\frac{1}{4}\) din 120”

   \frac{1}{4}\text{ din }120 = \frac{1}{4}\cdot 120

   Atunci când vrem să aflăm o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu acel număr. Cuvântul „din” înseamnă, în astfel de probleme, înmulțire. Fracția \(\frac{1}{4}\) arată că împărțim 120 în 4 părți egale și luăm o singură parte.

2. 2

   Calculăm

   \frac{1}{4}\cdot 120 = 120 : 4 = 30

   Înmulțirea cu \(\frac{1}{4}\) este același lucru cu împărțirea la 4. Calculăm \(120 : 4 = 30\), pentru că \(4\cdot 30 = 120\).

3. 3

   Verificare

   4\cdot 30 = 120

   Dacă \(\frac{1}{4}\) din 120 este 30, atunci patru astfel de părți trebuie să refacă numărul întreg. Într-adevăr, \(4\cdot 30 = 120\), deci rezultatul este corect.

Răspuns: 30

Cel mai mic număr natural din intervalul \(I=[10,20]\) este egal cu …

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [10, 20]

   I=[10,20]=\{x\in\mathbb{R}\mid 10\le x\le 20\}

   Parantezele pătrate arată că și capetele intervalului aparțin lui. Deci intervalul conține toate numerele reale de la 10 până la 20, inclusiv 10 și 20.

2. 2

   Alegem cel mai mic număr natural

   10\in\mathbb{N},\ 10\in I,\ x\ge 10\ \text{pentru orice}\ x\in I

   Toate numerele din interval sunt mai mari sau egale cu 10. Numărul 10 este natural și aparține intervalului, deci nu există un număr natural mai mic în interval. Așadar cel mai mic număr natural din \(I\) este 10.

Răspuns: 10

Pătratul \(MNPQ\) are latura de \(5\,\text{cm}\). Aria pătratului \(MNPQ\) este egală cu \(\ldots\,\text{cm}^2\).

Metoda: Aria pătratului

1. 1

   Alegem formula pentru aria pătratului

   \mathcal{A} = \ell \cdot \ell = \ell^2

   Pătratul este un dreptunghi cu toate laturile egale. Aria unui dreptunghi este lungimea înmulțită cu lățimea. La pătrat, lungimea și lățimea sunt egale cu latura \(\ell\), deci aria este \(\ell \cdot \ell = \ell^2\). Aici \(\ell = 5\,\text{cm}\).

2. 2

   Calculăm aria

   \mathcal{A}_{MNPQ} = 5 \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2

   Înlocuim latura cu \(5\,\text{cm}\) în formulă: \(5 \cdot 5 = 25\). Unitatea de măsură pentru arie este centimetrul pătrat, \(\text{cm}^2\), pentru că am înmulțit centimetri cu centimetri.

Răspuns: Aria pătratului \(MNPQ\) este \(25\,\text{cm}^2\).

În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\). Unghiul dreptelor \(BC\) și \(DD'\) are măsura de \(\ldots^\circ\). (Din figură: baza de jos este \(ABCD\), baza de sus este \(A'B'C'D'\), iar \(DD'\) este muchie laterală.)

Metoda: Unghiul a două drepte în spațiu

1. 1

   Identificăm cele două drepte

   BC \text{ și } DD'

   Dreapta \(BC\) este o muchie a bazei de jos \(ABCD\). Dreapta \(DD'\) este o muchie laterală, care urcă de la baza de jos la baza de sus. Ele nu se întâlnesc: \(BC\) este în planul bazei de jos, iar \(DD'\) o înțeapă doar în punctul \(D\), care nu se află pe \(BC\). Deci dreptele sunt necoplanare și trebuie să folosim definiția unghiului a două drepte în spațiu.

2. 2

   Mutăm una dintre drepte paralel cu ea însăși

   DD' \parallel CC'

   Unghiul a două drepte necoplanare se definește ca unghiul format de două drepte concurente, paralele cu cele date. Într-un paralelipiped dreptunghic muchiile laterale sunt paralele între ele, deci \(DD' \parallel CC'\). Dreapta \(CC'\) trece prin \(C\), care se află pe \(BC\). Astfel unghiul dintre \(BC\) și \(DD'\) este egal cu unghiul dintre \(BC\) și \(CC'\), adică \(\angle BCC'\).

3. 3

   Măsurăm unghiul obținut

   \angle BCC' = 90^\circ

   Fața \(BCC'B'\) a paralelipipedului dreptunghic este un dreptunghi. Într-un dreptunghi toate unghiurile sunt drepte, deci \(\angle BCC' = 90^\circ\). Prin urmare, unghiul dreptelor \(BC\) și \(DD'\) are măsura de \(90^\circ\), adică dreptele sunt perpendiculare.

Răspuns: 90

Într-un depozit sunt în total \(100\text{ kg}\) de fructe. Repartiția procentuală a tipurilor de fructe din depozit este reprezentată în diagrama de mai jos (diagramă cu bare: mere 35%, pere 15%, prune 30%, gutui 20%). Conform informațiilor din diagramă, cantitatea de gutui din acest depozit este de … kg.

Metoda: Citirea diagramei și procent dintr-un număr

1. 1

   Citim din diagramă procentul de gutui

   \text{gutui} = 20\%

   Pe axa din stânga sunt scrise procentele, iar sub fiecare bară este numele fructului. Căutăm bara de sub „gutui” și vedem până la ce valoare urcă. Bara de gutui ajunge la linia de 20%, deci gutuile reprezintă 20% din cantitatea totală de fructe.

2. 2

   Calculăm 20% din 100 kg

   20\% \cdot 100 = \frac{20}{100}\cdot 100 = 20

   Procentul înseamnă „la sută”, adică 20% = \(\frac{20}{100}\). Pentru a afla o parte dintr-un număr, înmulțim fracția cu acel număr. Totalul este 100 kg, deci gutuile sunt \(\frac{20}{100}\cdot 100 = 20\) kg.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   35\%+15\%+30\%+20\% = 100\%

   Verificăm dacă am citit bine diagrama: procentele tuturor fructelor trebuie să dea împreună 100%. Merele, perele, prunele și gutuile adunate dau exact 100%, deci am citit corect valorile. Prin urmare, cantitatea de gutui este 20 kg.

Răspuns: 20 kg

Desenați, pe foaia de examen, un cub \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenarea unui cub în perspectivă

1. 1

   Desenăm baza din față (un pătrat)

   ABFE

   Cubul are toate fețele pătrate. Începem cu fața din față, pe care o desenăm ca pe un pătrat obișnuit, cu laturile drepte, cu rigla. Alegem să fie fața \(ABFE\), cu \(A\) jos-stânga, \(B\) jos-dreapta, \(F\) sus-dreapta și \(E\) sus-stânga.

2. 2

   Desenăm a doua față (pătratul din spate)

   DCGH

   Desenăm un al doilea pătrat, identic cu primul, deplasat în sus și spre dreapta. El reprezintă fața din spate. Deplasarea dă efectul de adâncime (perspectivă), iar cele două pătrate se suprapun parțial.

3. 3

   Unim vârfurile corespunzătoare

   AD,\ BC,\ FG,\ EH

   Unim fiecare vârf al pătratului din față cu vârful corespunzător al pătratului din spate. Obținem cele 4 muchii care leagă fețele. Muchiile care nu se văd (cele din spatele cubului) se trasează cu linie punctată, pentru a respecta convențiile de desen.

4. 4

   Notăm vârfurile \(ABCDEFGH\)

   ABCDEFGH

   Ultimul punct din barem este pentru notare. Notăm cele 8 vârfuri cu literele \(A, B, C, D, E, F, G, H\), în ordine, ca să se vadă că sunt cele cerute: de exemplu \(ABCD\) pentru o bază și \(EFGH\) pentru cealaltă, astfel încât \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) să fie muchiile laterale.

Răspuns: Desenul unui cub cu 12 muchii (cele ascunse punctate) și vârfurile notate \(ABCDEFGH\). Baremul: 4 puncte pentru desen și 1 punct pentru notare.

Arătați că media aritmetică a numerelor raționale \(a=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{12}\) și \(b=3\cdot\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\) este egală cu 2.

Metoda: Calcul cu fracții și media aritmetică

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{12}=\frac{3-2}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot\frac{12}{1}=3

   Începem cu paranteza. Fracțiile \(\frac{3}{4}\) și \(\frac{1}{2}\) se scad după ce le aducem la același numitor: \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\), deci \(\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\). Apoi împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa ei: \(\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot 12=3\).

2. 2

   Calculăm numărul b

   b=3\cdot\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)=3\cdot\frac{4-3+1}{6}=3\cdot\frac{2}{6}=1

   Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6: \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\), \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\). Obținem \(\frac{4-3+1}{6}=\frac{2}{6}\). Apoi \(3\cdot\frac{2}{6}=\frac{6}{6}=1\).

3. 3

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Cu a = 3 și b = 1 obținem \(\frac{3+1}{2}=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Media aritmetică a numerelor a = 3 și b = 1 este \(\frac{3+1}{2}=2\).

Ana și Mihai au economisit, împreună, 140 de lei. Determinați suma economisită de Ana, știind că \(30\%\) din suma economisită de ea reprezintă două cincimi din suma economisită de Mihai.

Metoda: Ecuație cu procente și fracții

1. 1

   Alegem necunoscuta

   x = \text{suma Anei},\quad 140 - x = \text{suma lui Mihai}

   Ne întreabă suma Anei, deci o notăm cu x. Împreună au 140 de lei, deci Mihai are ce rămâne după ce scădem suma Anei din 140.

2. 2

   Scriem ecuația

   \frac{30}{100}\cdot x = \frac{2}{5}\cdot (140 - x)

   Textul spune că 30% din suma Anei este egal cu două cincimi din suma lui Mihai. Procentul \(30\%\) se scrie \(\frac{30}{100}\), iar „din” înseamnă înmulțire.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{3x}{10} = \frac{2(140-x)}{5} \;\Rightarrow\; 3x = 4(140-x) = 560 - 4x \;\Rightarrow\; 7x = 560 \;\Rightarrow\; x = 80

   Înmulțim ecuația cu 10 ca să scăpăm de numitori: în stânga rămâne \(3x\), în dreapta \(\frac{2}{5}\cdot 10=4\), deci \(4(140-x)=560-4x\). Apoi adunăm \(4x\) la ambii membri și împărțim la 7.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   30\%\cdot 80 = 24,\quad \frac{2}{5}\cdot 60 = 24

   Dacă Ana are 80 de lei, Mihai are \(140-80=60\) de lei. Calculăm cele două cantități din enunț și vedem că sunt egale, deci rezultatul este corect.

Răspuns: Ana a economisit 80 de lei.

Se consideră numerele reale \(x = 3^{47} : 3^{45} - 2^{40} : 2^{38}\) și \(y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5} + \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) : \frac{1}{3\sqrt{3}}\). a) Arătați că \(x = 5\).

Metoda: Reguli de calcul cu puteri

1. 1

   Împărțim puterile cu aceeași bază

   3^{47}:3^{45}=3^{47-45}=3^2 \quad ; \quad 2^{40}:2^{38}=2^{40-38}=2^2

   Când împărțim două puteri care au aceeași bază, păstrăm baza și scădem exponenții: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Putem folosi regula pentru că \(3^{47}\) și \(3^{45}\) au baza 3, iar \(2^{40}\) și \(2^{38}\) au baza 2. Așa obținem \(x = 3^2 - 2^2\).

2. 2

   Calculăm pătratele

   3^2=9 \quad ; \quad 2^2=4

   Acum calculăm puterile rămase. Pătratul unui număr este numărul înmulțit cu el însuși: \(3^2 = 3\cdot 3 = 9\) și \(2^2 = 2\cdot 2 = 4\). Astfel \(x = 9 - 4\).

3. 3

   Efectuăm scăderea și tragem concluzia

   x=9-4=5

   Scădem cele două rezultate: \(9 - 4 = 5\). Am obținut exact valoarea cerută, deci \(x = 5\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(x = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\), deci \(x = 5\).

Se consideră numerele reale \(x = 3^{47} : 3^{45} - 2^{40} : 2^{38}\) și \(y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5} + \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) : \frac{1}{3\sqrt{3}}\). b) Se consideră numărul natural \(N = y - \frac{x+1}{2}\). Determinați cel mai mic număr natural de două cifre care este divizibil cu \(N\). (De la punctul a) se știe că \(x = 5\).)

Metoda: Calcul cu radicali și divizibilitate

1. 1

   Calculăm primul termen din y

   \left(\frac{1}{\sqrt{5}}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=1+5=6

   Înmulțim pe \(\sqrt{5}\) cu fiecare termen din paranteză (distributivitatea). Avem \(\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}=1\) și \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\), deoarece \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\).

2. 2

   Calculăm al doilea termen din y

   \left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right):\frac{1}{3\sqrt{3}}=\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3\sqrt{3}=9-3=6

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, adică cu \(3\sqrt{3}\). Apoi distribuim: \(\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=3\cdot 3=9\), iar \(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3\sqrt{3}=3\).

3. 3

   Aflăm valoarea lui y

   y=6+6=12

   Adunăm cele două rezultate obținute: primul termen este 6, iar al doilea este tot 6.

4. 4

   Calculăm N

   N=y-\frac{x+1}{2}=12-\frac{5+1}{2}=12-3=9

   Din punctul a) știm că \(x=5\). Atunci \(\frac{x+1}{2}=\frac{6}{2}=3\), iar \(N=12-3=9\), număr natural, cum cere problema.

5. 5

   Cel mai mic număr de două cifre divizibil cu 9

   9\cdot 1=9,\quad 9\cdot 2=18

   Căutăm multipli ai lui 9. Numărul 9 are o singură cifră, deci nu convine. Următorul multiplu este 18, care are două cifre. Deci 18 este cel mai mic număr cerut. Verificăm și cu criteriul de divizibilitate cu 9: 1+8=9, deci 18 se împarte la 9.

Răspuns: N = 9, iar cel mai mic număr natural de două cifre divizibil cu N este 18.

Se consideră expresia \(E(x)=(2x+1)^2-3(x-1)^2-(x-1)(x+1)-6(x+1)\), unde \(x\) este număr real. Determinați numerele naturale \(n\) pentru care \(E(n)\le -1\).

Metoda: Calcul algebric și inecuații

1. 1

   Dezvoltăm primul pătrat

   (2x+1)^2=4x^2+4x+1

   Folosim formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cu \(a=2x\) și \(b=1\). Obținem \((2x)^2+2\cdot 2x\cdot 1+1^2=4x^2+4x+1\).

2. 2

   Dezvoltăm celelalte părți

   3(x-1)^2=3x^2-6x+3,\quad (x-1)(x+1)=x^2-1,\quad 6(x+1)=6x+6

   Pentru \((x-1)^2=x^2-2x+1\) (formula pătratului diferenței), apoi înmulțim cu 3. Pentru \((x-1)(x+1)\) folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Iar \(6(x+1)\) se obține prin distributivitate.

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   E(x)=4x^2+4x+1-3x^2+6x-3-x^2+1-6x-6=4x-7

   Atenție la semne: scăderea parantezelor schimbă semnele din ele. Termenii cu \(x^2\): \(4-3-1=0\). Termenii cu \(x\): \(4+6-6=4\). Numerele: \(1-3+1-6=-7\). Deci \(E(x)=4x-7\), pentru orice \(x\) real.

4. 4

   Rezolvăm inecuația

   4n-7\le -1\iff 4n\le 6\iff n\le \frac{3}{2}

   Din \(E(n)\le -1\) obținem \(4n-7\le -1\). Adunăm 7 în ambii membri: \(4n\le 6\). Împărțim la 4 (număr pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă): \(n\le \frac{6}{4}=\frac{3}{2}\).

5. 5

   Alegem numerele naturale

   n\in\mathbb{N},\ n\le \frac{3}{2}=1{,}5\Rightarrow n\in\{0,1\}

   Numerele naturale mai mici sau egale cu 1,5 sunt 0 și 1. Verificare: \(E(0)=-7\le -1\) și \(E(1)=-3\le -1\); pentru \(n=2\) avem \(E(2)=1>-1\), deci nu merge.

Răspuns: E(x)=4x-7, iar n∈{0, 1}.

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram \(ABCD\) cu \(AB=13\,\text{cm}\), \(BC=10\,\text{cm}\) și \(m(\angle BAD)<90^\circ\). Se consideră punctul \(E\) astfel încât \(DE\parallel AC\), \(DE<AC\) și segmentele \(BC\) și \(CE\) sunt congruente. a) Arătați că perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este egal cu \(46\,\text{cm}\).

Metoda: Perimetrul paralelogramului

1. 1

   Folosim proprietatea laturilor opuse

   AB=CD,\quad AD=BC

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele și egale. Deci \(CD=AB=13\,\text{cm}\) și \(AD=BC=10\,\text{cm}\). Astfel cunoaștem lungimile tuturor celor patru laturi.

2. 2

   Scriem formula perimetrului

   P_{ABCD}=2\,(AB+BC)

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor: \(AB+BC+CD+DA\). Cum \(CD=AB\) și \(DA=BC\), suma devine \(2\cdot AB+2\cdot BC=2(AB+BC)\). Așa facem mai puține calcule.

3. 3

   Înlocuim și calculăm

   P_{ABCD}=2\,(13+10)=2\cdot 23=46\ \text{cm}

   Înlocuim \(AB=13\) cm și \(BC=10\) cm în formulă. Mai întâi calculăm paranteza (ordinea operațiilor), apoi înmulțim cu \(2\). Obținem exact \(46\) cm, adică ce trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este \(46\) cm.

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram \(ABCD\) cu \(AB=13\) cm, \(BC=10\) cm și \(m(\angle BAD)<90^\circ\). Se consideră punctul \(E\) astfel încât \(DE \parallel AC\), \(DE<AC\) și segmentele \(BC\) și \(CE\) sunt congruente. b) Demonstrați că segmentele \(AB\) și \(AE\) sunt congruente. (Figura: paralelogramul \(ABCD\) cu diagonala \(AC\); punctul \(E\) este deasupra laturii \(DC\), pe o paralelă prin \(D\) la \(AC\).)

Metoda: Trapez isoscel și laturi congruente

1. 1

   Arătăm că AD = CE

   AD=BC,\quad BC=CE \Rightarrow AD=CE

   În paralelogramul \(ABCD\) laturile opuse sunt congruente, deci \(AD=BC\). Din enunț știm că \(BC=CE\). Două segmente egale cu același segment \(BC\) sunt egale între ele, deci \(AD=CE\).

2. 2

   Arătăm că ACED este trapez isoscel

   DE\parallel AC,\ AD=CE \Rightarrow ACED \text{ trapez isoscel}

   Patrulaterul \(ACED\) are \(DE \parallel AC\), deci este trapez cu bazele \(DE\) și \(AC\). Cum \(DE<AC\), bazele sunt diferite, deci nu este paralelogram. Laturile neparalele sunt \(AD\) și \(CE\) și sunt congruente, deci trapezul este isoscel.

3. 3

   Folosim diagonalele trapezului isoscel

   ACED \text{ isoscel} \Rightarrow AE=CD

   Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente. Diagonalele trapezului \(ACED\) sunt \(AE\) și \(CD\), deci \(AE=CD\).

4. 4

   Încheiem demonstrația

   AB=CD,\quad CD=AE \Rightarrow AB=AE

   În paralelogramul \(ABCD\), laturile opuse \(AB\) și \(CD\) sunt congruente. Cum \(AE=CD\), obținem \(AB=AE\), adică exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(AB=CD\) și \(AE=CD\) (diagonală în trapezul isoscel \(ACED\)), deci \(AB=AE\).

Subiectul III, item 1. c): În Figura 2 este reprezentat un paralelogram \(ABCD\) cu \(AB=13\text{ cm}\), \(BC=10\text{ cm}\) și \(m(\angle BAD)<90^\circ\). Punctul \(E\) este astfel încât \(DE \parallel AC\), \(DE<AC\) și segmentele \(BC\) și \(CE\) sunt congruente. Demonstrați că, dacă măsura unghiului \(BCE\) este de \(60^\circ\), atunci aria patrulaterului \(ABCE\) este egală cu \((60+25\sqrt{3})\text{ cm}^2\).

Metoda: Descompunerea în două triunghiuri

1. 1

   Triunghiul BCE este echilateral

   CB=CE=10,\ \angle BCE=60^\circ \Rightarrow BE=10

   Triunghiul \(BCE\) este isoscel (\(BC=CE\)) și are un unghi de \(60^\circ\) la vârf. Celelalte două unghiuri sunt egale și au suma \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), deci fiecare are \(60^\circ\). Toate unghiurile sunt de \(60^\circ\), deci triunghiul este echilateral, cu latura de 10 cm.

2. 2

   Aria triunghiului echilateral BCE

   \mathcal{A}_{BCE}=\dfrac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}

   Aria unui triunghi echilateral cu latura \(l\) este \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Pentru \(l=10\) obținem \(\dfrac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\ \text{cm}^2\).

3. 3

   AC este mediatoarea lui BE

   AB=AE,\ CB=CE \Rightarrow AC \text{ mediatoarea lui } BE

   De la punctul b) știm \(AB=AE\), deci \(A\) este egal depărtat de capetele lui \(BE\). Din \(CB=CE\), la fel pentru \(C\). Două puncte egal depărtate de capetele unui segment determină mediatoarea lui, deci dreapta \(AC\) este mediatoarea lui \(BE\). Fie \(F\) intersecția dreptelor \(AC\) și \(BE\): \(F\) este mijlocul lui \(BE\) și \(AF\perp BE\), deci \(BF=5\) cm.

4. 4

   Aria triunghiului ABE

   AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{169-25}=12,\quad \mathcal{A}_{ABE}=\dfrac{BE\cdot AF}{2}=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60

   Triunghiul \(ABF\) este dreptunghic în \(F\), cu ipotenuza \(AB=13\) și cateta \(BF=5\). Din teorema lui Pitagora, \(AF=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\) cm. \(AF\) este înălțime în triunghiul \(ABE\), deci aria este \(\dfrac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2\).

5. 5

   Aria patrulaterului ABCE

   \mathcal{A}_{ABCE}=\mathcal{A}_{ABE}+\mathcal{A}_{BCE}=60+25\sqrt{3}

   Diagonala \(BE\) împarte patrulaterul în triunghiurile \(ABE\) și \(BCE\), așa că aria totală este suma ariilor lor: \(60+25\sqrt{3}\ \text{cm}^2\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABCE}=(60+25\sqrt{3})\text{ cm}^2\)

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 24\) cm și \(BC = 10\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(EO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(AD\), respectiv \(AE\). a) Arătați că aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu \(240\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria dreptunghiului

1. 1

   Alegem formula potrivită

   \mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC

   Aria unui dreptunghi se obține înmulțind lungimea cu lățimea. Aici lungimea este \(AB\), iar lățimea este \(BC\), două laturi alăturate ale dreptunghiului. Aria arată câte pătrățele cu latura de 1 cm încap în dreptunghi.

2. 2

   Înlocuim cu datele problemei și calculăm

   \mathcal{A}_{ABCD} = 24 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^2

   Înlocuim \(AB = 24\) cm și \(BC = 10\) cm în formulă. Înmulțim \(24 \cdot 10\): adăugăm un zero la 24 și obținem 240. Unitatea de măsură pentru arie este cm², pentru că am înmulțit cm cu cm. Am obținut exact valoarea cerută.

Răspuns: Aria dreptunghiului \(ABCD\) este \(24 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^2\), așa cum trebuia arătat.

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=24\,\text{cm}\) și \(BC=10\,\text{cm}\). Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(EO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(AD\), respectiv \(AE\). b) Demonstrați că planele \((MNP)\) și \((BDE)\) sunt paralele.

Metoda: Plane paralele prin drepte paralele

1. 1

   Găsim liniile mijlocii

   MN\ \text{linie mijlocie în}\ \triangle ABD,\quad MP\ \text{linie mijlocie în}\ \triangle ABE

   M este mijlocul lui AB și N este mijlocul lui AD, deci MN unește mijloacele a două laturi ale triunghiului ABD. Este linie mijlocie. La fel, M este mijlocul lui AB și P este mijlocul lui AE, deci MP este linie mijlocie în triunghiul ABE. Facem asta pentru că linia mijlocie ne dă paralelism cu a treia latură.

2. 2

   Deducem paralelismul dreptelor

   MN\parallel BD,\quad MP\parallel BE

   Din proprietatea liniei mijlocii, MN este paralelă cu BD, iar MP este paralelă cu BE. Astfel avem două perechi de drepte paralele.

3. 3

   Concluzia: planele sunt paralele

   MN\cap MP=\{M\},\ BD\cap BE=\{B\},\ MN\parallel BD,\ MP\parallel BE\Rightarrow (MNP)\parallel(BDE)

   Dreptele MN și MP se intersectează în M și sunt în planul (MNP). Dreptele BD și BE se intersectează în B și sunt în planul (BDE). Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan, cele două plane sunt paralele. Deci (MNP) este paralel cu (BDE).

Răspuns: Planele \((MNP)\) și \((BDE)\) sunt paralele, deoarece \(MN\parallel BD\), \(MP\parallel BE\), iar dreptele din fiecare plan sunt concurente.

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=24\) cm și \(BC=10\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(EO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(AD\), respectiv \(AE\). c) Arătați că distanța dintre planele \((MNP)\) și \((BDE)\) este egală cu \(\frac{60}{13}\) cm.

Metoda: Perpendiculară comună și linie mijlocie

1. 1

   Alegem o dreaptă perpendiculară pe planul (BDE)

   AT\perp BD,\ T\in BD,\quad EO\perp(ABC)\Rightarrow EO\perp AT

   Ducem din A perpendiculara AT pe diagonala BD (T pe BD). Cum EO este perpendiculară pe planul (ABC) și AT este în acest plan, rezultă EO ⊥ AT. Așadar AT este perpendiculară pe două drepte concurente din planul (BDE), anume BD și EO (se intersectează în O). Deci AT ⊥ (BDE).

2. 2

   Mutăm perpendiculara și pe planul (MNP)

   (MNP)\parallel(BDE),\ AT\perp(BDE)\Rightarrow AT\perp(MNP),\quad d\big((MNP),(BDE)\big)=TS

   Planele sunt paralele (de la b), deci o dreaptă perpendiculară pe unul este perpendiculară și pe celălalt. Fie S intersecția dreptelor MN și AT. Atunci S este în planul (MNP), T este în planul (BDE), iar TS este perpendiculară pe ambele plane. Deci distanța dintre plane este TS.

3. 3

   Arătăm că TS = AT/2

   NS\parallel BD,\ N\text{ mijlocul lui }AD\Rightarrow NS\text{ linie mijlocie în }\triangle ATD\Rightarrow TS=\frac{AT}{2}

   MN este linie mijlocie în triunghiul ABD, deci MN ∥ BD. Atunci NS ∥ BD. N este mijlocul lui AD, deci în triunghiul ATD, NS este linie mijlocie și S este mijlocul lui AT. Rezultă TS = AT/2.

4. 4

   Calculăm AT (înălțime în triunghiul dreptunghic ABD)

   BD=\sqrt{24^2+10^2}=26,\quad AT=\frac{AD\cdot AB}{BD}=\frac{10\cdot24}{26}=\frac{120}{13}

   În triunghiul dreptunghic ABD (unghi drept în A), AT este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei BD. Mai întâi aflăm BD cu teorema lui Pitagora: 576+100=676, deci BD=26. Aria triunghiului se exprimă în două feluri: AD·AB/2 = BD·AT/2, de unde AT = AD·AB/BD.

5. 5

   Calculăm distanța TS

   TS=\frac{AT}{2}=\frac{120}{13}:2=\frac{60}{13}\text{ cm}

   Înlocuim AT în relația TS = AT/2. Obținem 60/13 cm, adică exact rezultatul cerut în enunț.

Răspuns: Distanța dintre planele (MNP) și (BDE) este \(TS=\frac{60}{13}\) cm.