Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2020, model de subiect

Rezultatul calculului \(18\cdot 10-10:2\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   18\cdot 10-10:2

   În expresie nu avem paranteze. Atunci efectuăm mai întâi înmulțirea și împărțirea (de la stânga la dreapta), iar scăderea o facem la sfârșit. Facem așa pentru că înmulțirea și împărțirea au prioritate față de adunare și scădere.

2. 2

   Efectuăm înmulțirea și împărțirea

   18\cdot 10=180,\quad 10:2=5

   Calculăm separat cele două produse/câturi. \(18\cdot 10=180\) (adăugăm un zero la 18), iar \(10:2=5\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   180-5=175

   Acum, când au rămas doar numere legate prin scădere, scădem: \(180-5=175\).

Răspuns: 175

Dacă \(\frac{x}{4}=\frac{x+2}{8}\), atunci numărul \(x\) este egal cu ….

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{x}{4}=\frac{x+2}{8}\Rightarrow 8\cdot x=4\cdot(x+2)

   Într-o proporție \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \(a\cdot d=b\cdot c\). Așa scăpăm de fracții și obținem o ecuație obișnuită.

2. 2

   Desfacem paranteza și rezolvăm ecuația

   8x=4x+8\Rightarrow 8x-4x=8\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2

   Înmulțim pe 4 cu fiecare termen din paranteză: \(4(x+2)=4x+8\). Apoi mutăm termenii cu \(x\) în stânga: scădem \(4x\) din ambele părți. La final împărțim la 4, ca să rămână doar \(x\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

   Înlocuim \(x=2\) în proporția inițială. Stânga: \(\frac{2}{4}\). Dreapta: \(\frac{2+2}{8}=\frac{4}{8}\). Ambele fracții se simplifică la \(\frac{1}{2}\), deci sunt egale și \(x=2\) este corect.

Răspuns: x = 2

Cel mai mare număr impar din mulțimea \(M=\{x\in\mathbb{Z}\mid 3\le x\le 8\}\) este egal cu ….

Metoda: Scrierea elementelor mulțimii

1. 1

   Citim ce înseamnă mulțimea M

   M=\{x\in\mathbb{Z}\mid 3\le x\le 8\}

   Scrierea ne spune că x este număr întreg (\(x\in\mathbb{Z}\)) și că \(3\le x\le 8\). Semnul \(\le\) arată că 3 și 8 fac și ele parte din mulțime. Trebuie să înțelegem bine mulțimea, ca să nu uităm capetele.

2. 2

   Scriem toate elementele mulțimii

   M=\{3,4,5,6,7,8\}

   Enumerăm numerele întregi de la 3 la 8, unul după altul. Așa vedem clar toate elementele și putem alege dintre ele.

3. 3

   Alegem numerele impare

   \{3,5,7\}

   Un număr este impar dacă nu se împarte exact la 2 (se termină în 1, 3, 5, 7 sau 9). Dintre 3, 4, 5, 6, 7, 8 sunt impare doar 3, 5 și 7. Numerele 4, 6 și 8 sunt pare, deci nu ne interesează.

4. 4

   Alegem cel mai mare număr impar

   \max\{3,5,7\}=7

   Dintre 3, 5 și 7 cel mai mare este 7. Numărul 8 este mai mare, dar este par, deci nu e bun. Rezultatul coincide cu cel din barem: 7.

Răspuns: 7

Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(BC\) a triunghiului \(ABC\). Dacă aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(36\text{ cm}^2\), atunci aria triunghiului \(ABM\) este egală cu \(\ldots\text{ cm}^2\).

Metoda: Mediana împarte aria în două

1. 1

   Desenăm și observăm triunghiurile

   M \in BC,\quad BM = MC

   Punctul \(M\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(BM = MC\). Dacă unim \(A\) cu \(M\), triunghiul \(ABC\) se împarte în două triunghiuri: \(ABM\) și \(ACM\). Segmentul \(AM\) este mediană.

2. 2

   Aceeași înălțime, baze egale

   \mathcal{A}_{ABM}=\frac{BM\cdot h}{2},\quad \mathcal{A}_{ACM}=\frac{MC\cdot h}{2}

   Cele două triunghiuri au aceeași înălțime \(h\), dusă din \(A\) pe dreapta \(BC\). Bazele \(BM\) și \(MC\) sunt egale. Aria este bază înmulțită cu înălțime, împărțit la 2, deci cele două arii sunt egale.

3. 3

   Calculăm aria triunghiului ABM

   \mathcal{A}_{ABM}=\frac{\mathcal{A}_{ABC}}{2}=\frac{36}{2}=18

   Suma celor două arii egale este aria lui \(ABC\), adică \(36\text{ cm}^2\). Deci fiecare are jumătate din \(36\), adică \(18\text{ cm}^2\).

Răspuns: Aria triunghiului \(ABM\) este \(18\text{ cm}^2\).

Subiectul I, itemul 5. În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu latura bazei de \(3\text{ cm}\). Aria totală a acestui cub este egală cu \(\ldots\text{ cm}^2\). (Figura arată un cub cu vârfurile bazei A, B, C, D și vârfurile de sus A', B', C', D'.)

Metoda: Aria totală a cubului

1. 1

   Câte fețe are cubul și cum sunt ele

   \mathcal{A}_{\text{față}} = l \cdot l = l^2

   Cubul are 6 fețe, iar toate sunt pătrate egale, pentru că toate muchiile cubului sunt egale. Aici latura bazei este \(l = 3\text{ cm}\), deci fiecare față este un pătrat cu latura de \(3\text{ cm}\). Aria unui pătrat este latura înmulțită cu ea însăși.

2. 2

   Calculăm aria totală

   \mathcal{A}_t = 6 \cdot l^2 = 6 \cdot 9 = 54

   Cubul are 6 fețe identice, fiecare cu aria de \(9\text{ cm}^2\). Aria totală este suma ariilor celor 6 fețe, adică \(6\) înmulțit cu aria unei fețe.

Răspuns: Aria totală a cubului este \(54\text{ cm}^2\).

În tabelul următor sunt prezentate, pentru o pensiune, informații referitoare la numărul de camere și la numărul de paturi din fiecare tip de cameră. Număr de camere: 2, 4, 4, 2. Număr de paturi în cameră: 1, 2, 3, 4. Conform tabelului, numărul total de paturi din această pensiune este egal cu ….

Metoda: Calcul cu date din tabel

1. 1

   Citim tabelul

   2\text{ camere}\cdot 1,\; 4\cdot 2,\; 4\cdot 3,\; 2\cdot 4

   Tabelul ne spune că sunt 2 camere cu câte 1 pat, 4 camere cu câte 2 paturi, 4 camere cu câte 3 paturi și 2 camere cu câte 4 paturi. Trebuie să grupăm datele pe tipuri de cameră, pentru că fiecare tip are alt număr de paturi.

2. 2

   Adunăm paturile din toate tipurile de camere

   2\cdot 1+4\cdot 2+4\cdot 3+2\cdot 4=2+8+12+8

   Numărul total de paturi se obține adunând paturile de la toate tipurile de camere. De aceea adunăm cele patru rezultate: 2, 8, 12 și 8.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   30

   Verificăm: sunt \(2+4+4+2=12\) camere. Paturile pe cameră variază între 1 și 4, deci totalul trebuie să fie între \(12\cdot 1=12\) și \(12\cdot 4=48\). Numărul 30 se încadrează, deci este plauzibil.

Răspuns: Numărul total de paturi din pensiune este 30.

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față (un dreptunghi)

   ABB'A'

   Începem cu fața din față a paralelipipedului. Paralelipipedul dreptunghic are toate fețele dreptunghiuri, deci această față se desenează ca un dreptunghi. Alegem ca vârfuri jos \(A\) și \(B\), iar sus \(A'\) și \(B'\), cu laturile verticale \(AA'\) și \(BB'\).

2. 2

   Desenăm fața din spate, deplasată în sus și în dreapta

   DCC'D'

   Desenăm un al doilea dreptunghi, identic cu primul, deplasat puțin în sus și spre dreapta. El reprezintă fața din spate. Notăm vârfurile jos \(D\) și \(C\), iar sus \(D'\) și \(C'\), astfel încât \(D\) este în spatele lui \(A\), iar \(C\) în spatele lui \(B\). Deplasarea dă impresia de adâncime.

3. 3

   Unim vârfurile corespunzătoare și folosim linii punctate

   AD,\ BC,\ A'D',\ B'C'

   Unim fiecare vârf din față cu vârful corespunzător din spate: \(A\) cu \(D\), \(B\) cu \(C\), \(A'\) cu \(D'\), \(B'\) cu \(C'\). Muchiile care nu s-ar vedea într-o cutie opacă (\(AD\), \(DC\) și \(DD'\)) se desenează cu linie punctată. Așa desenul arată ca un corp în spațiu.

4. 4

   Notăm paralelipipedul

   ABCDA'B'C'D'

   La final scriem numele vârfurilor lângă desen: jos \(A, B, C, D\), iar deasupra lor \(A', B', C', D'\), în ordinea cerută. Baremul acordă 1 punct pentru notare, deci nu o uita. Verifică și că muchiile paralele sunt desenate paralele.

Răspuns: Desenul corect: două dreptunghiuri identice, unul deplasat în sus și în dreapta față de celălalt, cu vârfurile corespunzătoare unite, muchiile ascunse punctate și vârfurile notate \(ABCDA'B'C'D'\) (4p desen + 1p notare).

Determinați numărul natural de două cifre care este de cinci ori mai mare decât suma cifrelor sale.

Metoda: Scrierea numărului în baza 10

1. 1

   Scriem numărul cu ajutorul cifrelor

   \overline{ab}=10a+b,\quad a\neq 0

   Numărul de două cifre are cifra zecilor \(a\) și cifra unităților \(b\). Din scrierea în baza 10, valoarea lui este \(10a+b\). Cifra \(a\) nu poate fi 0, altfel numărul nu ar avea două cifre. Suma cifrelor este \(a+b\).

2. 2

   Scriem condiția din enunț

   10a+b=5(a+b)

   Numărul este de cinci ori mai mare decât suma cifrelor, deci numărul este egal cu \(5\) înmulțit cu suma cifrelor, adică \(5(a+b)\).

3. 3

   Simplificăm egalitatea

   10a+b=5a+5b \Rightarrow 5a=4b

   Scădem \(5a\) și \(b\) din ambele părți ale egalității: \(10a-5a=5b-b\), adică \(5a=4b\). Facem la fel în ambele părți ca să rămână egalitatea adevărată.

4. 4

   Aflăm cifrele

   5a=4b \Rightarrow a=4,\ b=5

   Din \(5a=4b\) rezultă că \(5a\) este multiplu de 4. Cum 5 și 4 nu au divizori comuni, \(a\) trebuie să fie multiplu de 4. Fiind cifră nenulă, \(a\) poate fi 4 sau 8. Dacă \(a=4\), atunci \(4b=20\), deci \(b=5\). Dacă \(a=8\), atunci \(4b=40\), deci \(b=10\), care nu este cifră. Deci \(a=4\) și \(b=5\), numărul este 45.

5. 5

   Verificăm rezultatul

   4+5=9,\quad 5\cdot 9=45

   Suma cifrelor lui 45 este \(4+5=9\). De cinci ori suma este \(5\cdot 9=45\), exact numărul nostru. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: Numărul căutat este 45.

Un corp de mobilă este format din trei părți. Prima parte cântărește \(5\text{ kg}\), a doua parte cântărește cât prima parte și jumătate din a treia parte împreună, iar a treia parte cântărește cât prima și a doua parte împreună. Determinați cât cântărește în total corpul de mobilă.

Metoda: Ecuații și sistem de două ecuații

1. 1

   Alegem necunoscutele

   x=\text{masa părții a doua},\quad y=\text{masa părții a treia}

   Prima parte o știm deja: 5 kg. Nu știm masa celorlalte două, așa că le notăm cu litere. Cu ele putem scrie ce ne spune enunțul.

2. 2

   Scriem cele două ecuații

   x=5+\frac{y}{2},\qquad y=5+x

   A doua parte cântărește cât prima (5 kg) și jumătate din a treia (y/2) împreună, deci x = 5 + y/2. A treia parte cântărește cât prima și a doua împreună, deci y = 5 + x.

3. 3

   Rezolvăm sistemul prin substituție

   x=5+\frac{5+x}{2}\Rightarrow 2x=10+5+x\Rightarrow x=15,\qquad y=5+15=20

   Înlocuim y din a doua ecuație în prima, ca să rămână o singură necunoscută. Înmulțim cu 2 ca să scăpăm de fracție: 2x = 10 + 5 + x, deci x = 15. Apoi y = 5 + 15 = 20.

4. 4

   Aflăm masa totală și verificăm

   5+15+20=40\text{ kg}

   Corpul de mobilă are cele trei părți: 5 kg, 15 kg și 20 kg. Le adunăm. Verificăm: a doua parte = 5 + 20/2 = 15, corect; a treia parte = 5 + 15 = 20, corect.

Răspuns: Corpul de mobilă cântărește în total 40 kg.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+m\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=-2x+m\), unde \(m\) este număr real nenul. a) Pentru \(m=-3\), reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Scriem funcția pentru m = −3

   f(x)=3x-3

   Înlocuim \(m\) cu \(-3\) în formula funcției \(f(x)=3x+m\). Așa obținem funcția concretă pe care o vom desena.

2. 2

   Găsim primul punct al graficului

   f(0)=3\cdot 0-3=-3 \Rightarrow A(0,-3)

   Alegem \(x=0\), pentru că este o valoare ușor de calculat. Obținem \(f(0)=-3\), deci punctul \(A(0,-3)\) aparține graficului (este intersecția cu axa Oy).

3. 3

   Găsim al doilea punct al graficului

   f(1)=3\cdot 1-3=0 \Rightarrow B(1,0)

   Alegem \(x=1\) și obținem \(f(1)=0\), deci punctul \(B(1,0)\) aparține graficului (este intersecția cu axa Ox). Avem acum două puncte distincte, suficiente pentru a trasa dreapta.

4. 4

   Trasăm graficul

   G_f=\text{dreapta } AB,\ A(0,-3),\ B(1,0)

   Reprezentăm în sistemul de axe \(xOy\) punctele \(A(0,-3)\) și \(B(1,0)\), apoi trasăm dreapta care trece prin ele. Deoarece \(f\) este definită pe \(\mathbb{R}\), graficul este întreaga dreaptă, nu doar un segment.

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=3x-3\) este dreapta care trece prin punctele \(A(0,-3)\) și \(B(1,0)\).

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+m\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=-2x+m\), unde \(m\) este număr real nenul. b) În sistemul de coordonate \(xOy\) se consideră \(A\) și \(B\), punctele de intersecție a graficului funcției \(f\), respectiv a graficului funcției \(g\), cu axa \(Ox\) și \(C\) punctul de intersecție a graficului funcției \(f\) cu graficul funcției \(g\). Determinați numerele reale nenule \(m\), știind că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu 15.

Metoda: Funcții liniare și aria triunghiului

1. 1

   Aflăm punctele A și B de pe axa Ox

   A\left(-\frac{m}{3},0\right),\ B\left(\frac{m}{2},0\right)

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0. Punctul A este pe graficul lui f, deci f(x)=0: \(3x+m=0\), deci \(x=-\frac{m}{3}\). Punctul B este pe graficul lui g, deci g(x)=0: \(-2x+m=0\), deci \(x=\frac{m}{2}\). Distanțele până la origine sunt \(OA=\frac{|m|}{3}\) și \(OB=\frac{|m|}{2}\).

2. 2

   Aflăm punctul C, intersecția graficelor

   3x+m=-2x+m \Rightarrow 5x=0 \Rightarrow x=0,\ y=m,\ C(0,m)

   Intersecția graficelor are loc când \(f(x)=g(x)\). Obținem \(3x+m=-2x+m\), deci \(5x=0\), \(x=0\). Atunci \(y=f(0)=m\), deci \(C(0,m)\) se află pe axa Oy, iar \(OC=|m|\).

3. 3

   Calculăm lungimea AB și aria triunghiului ABC

   AB=\frac{|m|}{3}+\frac{|m|}{2}=\frac{5|m|}{6},\quad \mathcal{A}=\frac{AB\cdot OC}{2}=\frac{5m^2}{12}

   A și B sunt de o parte și de alta a originii (abscisele \(-\frac{m}{3}\) și \(\frac{m}{2}\) au semne opuse), deci \(AB=AO+OB=\frac{|m|}{3}+\frac{|m|}{2}=\frac{5|m|}{6}\). Înălțimea din C pe AB este \(OC=|m|\), pentru că \(OC\perp AB\). Aria este \(\frac{1}{2}\cdot\frac{5|m|}{6}\cdot|m|=\frac{5m^2}{12}\).

4. 4

   Egalăm aria cu 15 și aflăm m

   \frac{5m^2}{12}=15 \Rightarrow m^2=36 \Rightarrow m=-6 \text{ sau } m=6

   Din \(\frac{5m^2}{12}=15\) obținem \(5m^2=180\), deci \(m^2=36\). Numerele al căror pătrat este 36 sunt 6 și \(-6\). Ambele sunt nenule, deci convin.

5. 5

   Verificare

   m=6:\ A(-2,0),\ B(3,0),\ C(0,6),\ \mathcal{A}=\frac{5\cdot6}{2}=15

   Pentru \(m=6\): \(AB=2+3=5\), \(OC=6\), aria \(=\frac{5\cdot 6}{2}=15\). Pentru \(m=-6\) lungimile sunt aceleași, deci aria este tot 15.

Răspuns: m = -6 sau m = 6

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x^2-x-2}{(x-2)^2}-\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+3x+2}\right):\dfrac{x}{(x-2)(x+2)}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 2\). Arătați că \(E(x)=4\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 2\).

Metoda: Fracții algebrice și descompuneri în factori

1. 1

   Descompunem în factori numărătorii și numitorii

   x^2-x-2=(x+1)(x-2),\quad x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2+2x+1=(x+1)^2,\quad x^2+3x+2=(x+1)(x+2)

   Ca să putem simplifica fracțiile, scriem fiecare expresie ca produs. Pentru \(x^2-4\) folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), pentru \(x^2+2x+1\) folosim \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Pentru \(x^2-x-2\) și \(x^2+3x+2\) căutăm două numere cu suma și produsul potrivite: \(-x=x-2x\), deci \(x^2+x-2x-2=x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-2)\); la fel \(x^2+3x+2=x^2+x+2x+2=(x+1)(x+2)\).

2. 2

   Simplificăm fracțiile din paranteză

   \dfrac{(x+1)(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x+1}{x-2},\qquad \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x+1}{x+2}

   Simplificăm cu factorii comuni, care sunt nenuli deoarece \(x\neq 2\), \(x\neq -1\), \(x\neq -2\). Prima fracție se simplifică cu \(x-2\), a treia cu \(x+1\). A doua fracție rămâne \(\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}\). Paranteza devine: \(\dfrac{x+1}{x-2}-\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{x+1}{x+2}\).

3. 3

   Aducem paranteza la numitorul comun

   \dfrac{(x+1)(x+2)-4-(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}

   Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\). Prima fracție se amplifică cu \(x+2\), a treia cu \(x-2\), iar a doua rămâne la fel. Calculăm numărătorul: \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\) și \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\). Deci numărătorul este \(x^2+3x+2-4-x^2+x+2=4x\). Paranteza este \(\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}\).

4. 4

   Efectuăm împărțirea și încheiem

   E(x)=\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}=\dfrac{4x}{x}=4

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa lui \(\dfrac{x}{(x-2)(x+2)}\) este \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}\). Factorii \((x-2)(x+2)\) se simplifică, rămâne \(\dfrac{4x}{x}=4\), pentru că \(x\neq0\). Deci \(E(x)=4\) pentru orice \(x\) din domeniu.

Răspuns: \(E(x)=4\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 0\), \(x\neq 2\).

În figură este reprezentat un cerc de diametru \(AB = 8\,\text{cm}\) și punctul \(T\), situat pe cerc, diferit de \(A\) și \(B\). Punctul \(C\) este intersecția tangentei în \(T\) cu tangenta în \(A\), iar \(D\) este intersecția tangentei în \(T\) cu tangenta în \(B\). Lungimea segmentului \(AC\) este \(2\,\text{cm}\). a) Arătați că lungimea cercului de diametru \(AB\) este egală cu \(8\pi\,\text{cm}\).

Metoda: Formula lungimii cercului

1. 1

   Scriem formula lungimii cercului

   L = 2\pi R

   Lungimea unui cerc de rază \(R\) se calculează cu formula \(L = 2\pi R\). O folosim pentru că cerința cere exact lungimea cercului. Ne trebuie deci raza \(R\).

2. 2

   Aflăm raza din diametru

   R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\,\text{cm}

   Raza este jumătate din diametru. Cum \(AB\) este diametru și \(AB = 8\,\text{cm}\), obținem \(R = 8 : 2 = 4\,\text{cm}\).

3. 3

   Calculăm lungimea cercului

   L = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\,\text{cm}

   Înlocuim \(R = 4\) în formulă: \(L = 2\cdot\pi\cdot 4\). Cum \(2\cdot 4 = 8\), obținem \(L = 8\pi\,\text{cm}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Lungimea cercului este \(L = 2\pi R = 8\pi\,\text{cm}\).

În Figura 2 este reprezentat un cerc de diametru \(AB = 8\text{ cm}\) și punctul \(T\), situat pe cerc, diferit de \(A\) și \(B\). Punctul \(C\) este intersecția tangentei la cerc în \(T\) cu tangenta la cerc în \(A\), iar punctul \(D\) este intersecția tangentei în \(T\) cu tangenta în \(B\). Lungimea segmentului \(AC\) este de \(2\text{ cm}\). b) Demonstrați că triunghiul \(ABD\) este isoscel.

Metoda: Tangente din același punct și Pitagora

1. 1

   Tangentele din C și din D sunt egale

   TC = AC,\quad TD = BD \Rightarrow CD = CT + TD = AC + BD

   Din punctul exterior \(C\) pornesc două tangente la cerc: \(CA\) și \(CT\). Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt egale, deci \(TC = AC\). La fel, din \(D\) pornesc tangentele \(DT\) și \(DB\), deci \(TD = BD\). Punctul \(T\) se află pe segmentul \(CD\), așa că \(CD = CT + TD = AC + BD\).

2. 2

   Construim triunghiul dreptunghic CED

   CE \perp BD,\ E \in BD \Rightarrow CD^2 = CE^2 + DE^2

   Ducem din \(C\) perpendiculara \(CE\) pe \(BD\), cu \(E\) pe \(BD\). Tangentele \(AC\) și \(BD\) sunt ambele perpendiculare pe diametrul \(AB\), deci \(AC \parallel BD\). Astfel \(ABEC\) este dreptunghi, de unde \(CE = AB = 8\) cm, \(BE = AC\) și \(DE = BD - BE = BD - AC\). În triunghiul dreptunghic \(CED\) aplicăm teorema lui Pitagora.

3. 3

   Scriem relația lui Pitagora și aflăm BD

   (BD+AC)^2 = 8^2 + (BD-AC)^2

   Înlocuim \(CD = BD + AC\), \(CE = 8\) și \(DE = BD - AC\) în \(CD^2 = CE^2 + DE^2\). Dezvoltăm: \((BD+AC)^2 - (BD-AC)^2 = 4\cdot BD\cdot AC\). Deci \(4\cdot BD \cdot AC = 64\). Cu \(AC = 2\) obținem \(8\cdot BD = 64\), deci \(BD = 8\) cm.

4. 4

   Concluzia: triunghiul ABD este isoscel

   AB = BD = 8\text{ cm} \Rightarrow \triangle ABD \text{ isoscel}

   Avem \(AB = 8\) cm (diametrul) și \(BD = 8\) cm. Două laturi ale triunghiului \(ABD\) sunt egale, deci triunghiul este isoscel, cu vârful în \(B\).

Răspuns: Am obținut \(BD = 8\) cm \(= AB\), deci triunghiul \(ABD\) este isoscel (\(AB = BD\)).

În Figura 2 este reprezentat un cerc de diametru \(AB = 8\text{ cm}\) și punctul \(T\), situat pe cerc, diferit de \(A\) și \(B\). Punctul \(C\) este intersecția tangentei la cerc în \(T\) cu tangenta la cerc în \(A\), iar punctul \(D\) este intersecția tangentei în \(T\) cu tangenta în \(B\). Lungimea segmentului \(AC\) este de \(2\text{ cm}\). c) Dreptele \(AT\) și \(OC\) se intersectează în punctul \(M\), iar dreptele \(BT\) și \(OD\) se intersectează în punctul \(N\). Demonstrați că aria patrulaterului \(MONT\) este egală cu \(6{,}4\text{ cm}^2\).

Metoda: Dreptunghi și teorema catetei

1. 1

   Unghiul \(ATB\) este drept

   AB \text{ diametru} \Rightarrow m(\angle ATB)=90^\circ

   Punctul \(T\) este pe cerc, iar \(AB\) este diametru. Un unghi înscris în cerc care subîntinde un diametru (adică jumătate de cerc) are \(90^\circ\). Deci unghiul \(ATB\) este drept, adică \(AT \perp BT\). Acest fapt ne va ajuta să demonstrăm că \(MONT\) are un unghi drept în \(T\).

2. 2

   Arătăm că \(MONT\) este dreptunghi

   AC=TC,\ OA=OT \Rightarrow OC \perp AT;\quad TD=BD,\ OB=OT \Rightarrow OD \perp BT

   Tangentele duse dintr-un punct exterior la cerc sunt egale: \(AC = TC\). Și \(OA = OT\) (raze). Deci punctele \(C\) și \(O\) sunt la distanțe egale de capetele segmentului \(AT\), adică se află pe mediatoarea lui \(AT\), deci \(OC \perp AT\). La fel, din \(TD = BD\) și \(OB = OT\) obținem \(OD \perp BT\). Așadar în patrulaterul \(MONT\) avem unghiurile \(M\), \(N\) și \(T\) drepte (\(AT\perp BT\) din pasul 1). Un patrulater cu trei unghiuri drepte este dreptunghi.

3. 3

   Calculăm \(OM\) cu teorema catetei

   OC^2 = OT^2 + TC^2 = 4^2+2^2 = 20,\quad OT^2 = OM\cdot OC \Rightarrow OM = \frac{16}{2\sqrt5}=\frac{8}{\sqrt5}

   Triunghiul \(TCO\) este dreptunghic în \(T\), deoarece raza \(OT\) este perpendiculară pe tangenta \(TC\). Cu teorema lui Pitagora: \(OC^2 = 4^2 + 2^2 = 20\), deci \(OC = 2\sqrt5\). În plus, \(TM \perp CO\), deci \(TM\) este înălțime, iar \(M\) este proiecția lui \(T\) pe ipotenuză. Teorema catetei: \(OT^2 = OM \cdot OC\), deci \(OM = \frac{16}{2\sqrt5} = \frac{8}{\sqrt5}\) cm.

4. 4

   Calculăm \(TM\) și aria

   TM=\frac{OT\cdot TC}{OC}=\frac{8}{2\sqrt5}=\frac{4}{\sqrt5},\quad \mathcal{A}_{MONT}=TM\cdot OM=\frac{4}{\sqrt5}\cdot\frac{8}{\sqrt5}=\frac{32}{5}=6{,}4

   Înălțimea din ipotenuză se calculează cu teorema înălțimii sau cu aria: \(TM = \frac{OT\cdot TC}{OC} = \frac{4\cdot 2}{2\sqrt5} = \frac{4}{\sqrt5}\) cm. Cum \(MONT\) este dreptunghi cu laturile \(TM\) și \(OM\), aria este produsul lor: \(\frac{4}{\sqrt5}\cdot\frac{8}{\sqrt5} = \frac{32}{5} = 6{,}4\ \text{cm}^2\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Aria patrulaterului \(MONT\) este \(\frac{32}{5} = 6{,}4\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este situat pe muchia \(CV\) astfel încât suma \(BM + DM\) are valoare minimă. a) Arătați că aria laterală a piramidei VABCD este egală cu \(144\sqrt{3}\) cm².

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Ce sunt fețele laterale?

   A_{lat} = 4 \cdot A_{\triangle VAB}

   Piramida patrulateră regulată are baza pătrat și 4 fețe laterale: VAB, VBC, VCD, VDA. Într-o piramidă regulată aceste 4 triunghiuri sunt congruente, deci au aceeași arie. Atunci aria laterală este de 4 ori aria unui triunghi, de exemplu \(\triangle VAB\).

2. 2

   Ce fel de triunghi este VAB?

   VA = VB = AB = 12 \text{ cm}

   Piramida este regulată, deci muchiile laterale sunt egale: \(VA = VB\). Din enunț \(VA = AB = 12\) cm. Deci triunghiul VAB are toate laturile egale cu 12 cm, adică este echilateral.

3. 3

   Aria triunghiului echilateral

   A_{\triangle VAB} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2

   Aria unui triunghi echilateral cu latura \(l\) este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Putem ajunge la ea și din înălțime: în triunghiul echilateral cu latura 12, înălțimea este \(\frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\), iar aria este \(\frac{12 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}\). Baremul folosește exact această scriere: baza 12, înălțimea \(6\sqrt{3}\).

4. 4

   Aria laterală și verificarea

   A_{lat} = 4 \cdot 36\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ cm}^2

   Înmulțim aria unui triunghi lateral cu 4, conform primului pas. Obținem \(4 \cdot 36\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\) cm², exact ce trebuia arătat. Același rezultat apare în barem: \(4 \cdot \frac{12 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 144\sqrt{3}\).

Răspuns: Aria laterală a piramidei VABCD este \(144\sqrt{3}\) cm².

Subiectul III, 2. b): În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul M este situat pe muchia CV astfel încât suma \(BM + DM\) are valoare minimă. Demonstrați că dreapta VA este paralelă cu planul (BMD). (Din figură: baza ABCD este pătrat cu centrul O, V este vârful piramidei, M se află pe CV.)

Metoda: Dreaptă paralelă cu un plan

1. 1

   Arătăm că BM = DM

   \Delta BCM \equiv \Delta DCM \Rightarrow BM = DM

   Triunghiurile BCM și DCM au BC = DC (laturi ale pătratului), CM comună și unghiurile \(\angle BCM = \angle DCM\) (fețele laterale VBC și VDC sunt triunghiuri echilaterale congruente, deci unghiul din C este de 60° în ambele). Din cazul LUL rezultă că sunt congruente, deci BM = DM. Ne trebuie asta ca să simplificăm suma BM + DM.

2. 2

   Găsim poziția lui M

   BM \perp CV \Rightarrow M \text{ este mijlocul lui } CV

   Suma BM + DM = 2BM este minimă când BM este minim. Distanța cea mai mică de la B la dreapta CV este perpendiculara BM ⊥ CV. Triunghiul VBC este echilateral (VB = VC = BC = 12), iar în triunghiul echilateral perpendiculara din B pe CV este și mediană, deci M este mijlocul lui CV.

3. 3

   Linia mijlocie OM

   OM \text{ linie mijlocie în } \Delta ACV \Rightarrow OM \parallel VA

   Diagonalele pătratului se taie în O, deci O este mijlocul lui AC. M este mijlocul lui CV. Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului ACV este linie mijlocie și este paralel cu a treia latură, VA. Deci OM ∥ VA.

4. 4

   Concluzia

   OM \subset (BMD),\; OM \parallel VA \Rightarrow VA \parallel (BMD)

   Punctele O și M aparțin planului (BMD): O este pe diagonala BD, iar M este în plan. Deci dreapta OM este inclusă în plan. Cum VA este paralelă cu o dreaptă din plan (și VA nu este în plan), VA este paralelă cu planul (BMD).

Răspuns: Am arătat că M este mijlocul lui CV, că OM ∥ VA și că OM ⊂ (BMD), deci VA ∥ (BMD).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este situat pe muchia \(CV\) astfel încât suma \(BM + DM\) are valoare minimă. Itemul 2. c): Demonstrați că distanța de la punctul \(A\) la planul \((BMD)\) este egală cu 6 cm.

Metoda: Perpendicularitate și distanța la un plan

1. 1

   Ce știm din punctul b)

   VBC \text{ echilateral},\ BM \perp CV,\ M \text{ mijlocul lui } CV

   Triunghiul VBC are VB = VC = BC = 12 cm, deci este echilateral. Suma BM + DM este minimă când M este piciorul înălțimii din B pe CV, iar într-un triunghi echilateral înălțimea este și mediană. Deci M este mijlocul lui CV. Din asta rezultă \(VM = 12 : 2 = 6\) cm. De asemenea, OM este linie mijlocie în triunghiul ACV, deci OM ∥ VA, iar VA ∥ (BMD).

2. 2

   CV este perpendiculară pe planul (BMD)

   CV \perp BM,\ CV \perp DM,\ BM \cap DM = \{M\} \Rightarrow CV \perp (BMD)

   BM ⊥ CV deoarece BM este înălțime în triunghiul echilateral VBC. La fel, triunghiurile BCM și DCM sunt congruente (BC = DC, CM comună, ∢BCM = ∢DCM = 60°), iar DM este și ea înălțime în triunghiul echilateral VDC, deci DM ⊥ CV. Dreapta CV este perpendiculară pe două drepte concurente din planul (BMD), deci este perpendiculară pe plan.

3. 3

   Mutăm distanța de la A la planul (BMD)

   VA \parallel (BMD) \Rightarrow d(A,(BMD)) = d(V,(BMD))

   Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, toate punctele ei sunt la aceeași distanță de plan. Punctele A și V sunt pe dreapta VA, care este paralelă cu (BMD) (am arătat la b)). Deci distanța de la A la plan este egală cu distanța de la V la plan.

4. 4

   Calculăm distanța de la V la plan

   d(V,(BMD)) = VM = 6 \text{ cm}

   Cum CV ⊥ (BMD) și M ∈ (BMD), segmentul VM se află pe perpendiculara din V pe plan, deci VM este chiar distanța de la V la plan. Deoarece VM = 6 cm, obținem \(d(A,(BMD)) = d(V,(BMD)) = VM = 6\) cm.

Răspuns: Distanța de la A la planul (BMD) este 6 cm.