Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2020, sesiunea specială (varianta 04)

Rezultatul calculului \(20-20:4\) este egal cu \(\ldots\).

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem operația care se face prima

   20-20:4

   Într-un calcul fără paranteze, împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și a scăderii. De aceea nu scădem primul \(20-20\), ci începem cu împărțirea \(20:4\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   20:4=5

   Calculăm \(20:4\). Verificăm: \(4\cdot 5=20\), deci rezultatul este \(5\). Acum calculul devine \(20-5\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   20-5=15

   După ce am făcut împărțirea, rămâne doar scăderea \(20-5\). Rezultatul este \(15\), la fel ca în barem.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   20-20:4=20-5=15

   Dacă am fi scăzut primul \(20-20=0\) și apoi \(0:4=0\), am fi greșit, pentru că nu am respectat ordinea operațiilor. Rezultatul corect este \(15\).

Răspuns: 15

Dacă \(\frac{x}{6}=\frac{7}{3}\), atunci numărul real \(x\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{x}{6}=\frac{7}{3}

   Egalitatea a două rapoarte se numește proporție. Pentru ea avem o regulă: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Extremii sunt \(x\) și \(3\), iar mezii sunt \(6\) și \(7\).

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală

   x\cdot 3=6\cdot 7

   Înmulțim pe diagonală: \(x\cdot 3=6\cdot 7\). Facem asta pentru că proprietatea fundamentală a proporțiilor ne permite să scăpăm de fracții.

3. 3

   Aflăm pe x

   3x=42 \Rightarrow x=42:3=14

   Dacă \(3x=42\), atunci \(x\) este numărul care înmulțit cu 3 dă 42. Îl aflăm prin împărțire: \(42:3=14\).

4. 4

   Verificare

   \frac{14}{6}=\frac{7}{3}

   Simplificăm \(\frac{14}{6}\) prin 2 și obținem \(\frac{7}{3}\). Deci \(x=14\) este corect.

Răspuns: x = 14

Dacă \(A=\{0,2,4,6,8\}\), \(B=\{0,3,6\}\) și \(A\cap B=\{0,n\}\), atunci \(n\) este egal cu ...

Metoda: Intersecția a două mulțimi

1. 1

   Ce înseamnă intersecția

   A\cap B=\{x \mid x\in A \text{ și } x\in B\}

   Intersecția \(A\cap B\) este mulțimea elementelor comune lui \(A\) și \(B\). Un număr intră în intersecție doar dacă apare și în \(A\), și în \(B\).

2. 2

   Căutăm elementele comune

   A=\{0,2,4,6,8\},\; B=\{0,3,6\}

   Verificăm fiecare element al lui \(B\): 0 este în \(A\), da. 3 nu este în \(A\), nu. 6 este în \(A\), da. Deci elementele comune sunt 0 și 6.

3. 3

   Aflăm n

   A\cap B=\{0,6\}=\{0,n\}\Rightarrow n=6

   Am obținut \(A\cap B=\{0,6\}\). Cum mulțimea este dată ca \(\{0,n\}\), iar 0 este deja primul element, rezultă că \(n=6\).

Răspuns: n = 6

Aria pătratului \(ABCD\) este egală cu \(36\,\text{cm}^2\). Lungimea laturii acestui pătrat este egală cu \(\ldots\) cm.

Metoda: Aria pătratului și rădăcina pătrată

1. 1

   Scriem formula ariei pătratului

   \mathcal{A}_{ABCD}=AB^2

   Aria unui pătrat se obține înmulțind latura cu ea însăși, adică ridicând latura la pătrat. Notăm latura cu \(AB\) și știm că \(\mathcal{A}=36\,\text{cm}^2\). Deci \(AB^2=36\).

2. 2

   Aflăm latura din \(AB^2=36\)

   AB=\sqrt{36}=6

   Latura este un număr pozitiv (e o lungime) al cărui pătrat este 36. Acesta este rădăcina pătrată a lui 36. Cum \(6\cdot 6=36\), obținem \(AB=6\) cm.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   6^2=36

   Verificăm: dacă latura are 6 cm, aria este \(6\cdot 6=36\,\text{cm}^2\), exact cât ni se dă în enunț. Deci rezultatul este corect. Nu alegem \(-6\) pentru că o lungime nu poate fi negativă.

Răspuns: Lungimea laturii pătratului este 6 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Unghiul dreptelor \(AD'\) și \(BC\) are măsura de \(\ldots^\circ\). (În figură: cubul are baza \(ABCD\), fața de sus \(A'B'C'D'\); se desenează diagonala \(AD'\) a feței \(ADD'A'\).)

Metoda: Unghiul a două drepte în spațiu

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu BC

   BC \parallel AD

   Unghiul a două drepte oarecare din spațiu este unghiul dintre una dintre ele și o paralelă la cealaltă dusă printr-un punct al primei. Fața ABCD este un pătrat, deci laturile opuse BC și AD sunt paralele. Astfel unghiul dreptelor AD' și BC este egal cu unghiul dreptelor AD' și AD, adică \(\angle DAD'\).

2. 2

   Privim triunghiul ADD'

   AD = DD' ,\quad DD' \perp AD

   Fața ADD'A' este un pătrat, pentru că toate fețele cubului sunt pătrate. Deci \(AD = DD'\) și unghiul \(\angle ADD'\) este drept. Triunghiul ADD' este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza AD'.

3. 3

   Calculăm unghiul

   \angle DAD' = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ

   Într-un triunghi suma unghiurilor este \(180^\circ\). Unghiul drept are \(90^\circ\), iar celelalte două unghiuri sunt egale, fiindcă triunghiul este isoscel. Rămân \(90^\circ\) pentru ele, deci fiecare are \(45^\circ\). Așadar unghiul dreptelor AD' și BC are \(45^\circ\).

Răspuns: 45

În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi ai unei școli, care participă la olimpiada de matematică. Clasa a V-a: 50 de elevi; clasa a VI-a: 24 de elevi; clasa a VII-a: 16 elevi; clasa a VIII-a: 10 elevi. Conform informațiilor din tabel, procentul din numărul total de participanți la olimpiada de matematică, reprezentat de numărul elevilor de clasa a V-a este ... %.

Metoda: Procent dintr-un total

1. 1

   Aflăm numărul total de participanți

   50+24+16+10=100

   Procentul se calculează din întregul grup, deci avem nevoie de numărul tuturor participanților. Adunăm elevii din toate cele patru clase din tabel.

2. 2

   Scriem raportul elevilor de clasa a V-a la total

   \frac{50}{100}

   Procentul arată câte părți din 100 reprezintă un număr din total. Elevii de clasa a V-a sunt 50 din 100 de participanți, deci avem fracția \(\frac{50}{100}\).

3. 3

   Transformăm fracția în procent

   \frac{50}{100}=50\%

   Procentul înseamnă „la sută”, adică fracție cu numitorul 100. Fracția are deja numitorul 100, deci procentul este chiar numărătorul: 50%.

Răspuns: 50

Subiectul al II-lea, itemul 1: Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenul unui paralelipiped dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față (un dreptunghi)

   Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe, toate dreptunghiuri. Începem cu o față, pe care o desenăm ca dreptunghi. Alegem fața din față, apoi vom desena încă una identică, mutată puțin în spate și în sus. Facem un dreptunghi orizontal, cu laturile vizibile trasate cu linie continuă.

2. 2

   Desenăm a doua față, mutată în spate și în sus

   Desenăm încă un dreptunghi identic cu primul, deplasat în sus și spre dreapta, astfel încât să se suprapună parțial cu primul. Apoi unim cele patru vârfuri corespunzătoare cu segmente paralele. Muchiile care ar fi ascunse (nu se văd din față) se desenează cu linie punctată: trei muchii, cele care pornesc din vârful din spate-jos-stânga. Astfel desenul pare în spațiu, nu plat.

3. 3

   Notăm vârfurile cu \(ABCDEFGH\)

   ABCDEFGH

   Cerința spune "paralelipiped dreptunghic \(ABCDEFGH\)", deci trebuie să punem literele în dreptul vârfurilor (1 punct). Alegem o ordine firească: baza \(ABCD\) parcurgem într-un sens, apoi deasupra lui \(A\) punem \(E\), deasupra lui \(B\) punem \(F\), deasupra lui \(C\) punem \(G\), iar deasupra lui \(D\) punem \(H\). Astfel muchiile laterale sunt \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\). Verifică la final că ai 8 vârfuri notate, fiecare cu litera ei, și 12 muchii.

Răspuns: Se desenează două dreptunghiuri identice, deplasate, ale căror vârfuri corespunzătoare se unesc prin muchii paralele (cele ascunse cu linie punctată), iar vârfurile se notează \(A,B,C,D,E,F,G,H\). Punctaj: 4p desen + 1p notare.

Se consideră numerele reale \(a=\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{10}\) și \(b=2^2\cdot\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)\). Arătați că \(b=4a\).

Metoda: Calcul cu fracții ordinare

1. 1

   Calculăm paranteza din a

   \frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}

   Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, le aducem la numitor comun. Cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 2 este 10. Amplificăm \(\frac{3}{5}\) cu 2 și \(\frac{1}{2}\) cu 5, deci obținem \(\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}\).

2. 2

   Calculăm a

   a=\frac{1}{10}:\frac{1}{10}=1

   Împărțim \(\frac{1}{10}\) la \(\frac{1}{10}\). Orice număr nenul împărțit la el însuși dă 1, deci \(a=1\).

3. 3

   Calculăm paranteza din b

   \frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{10}{6}-\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1

   Numitorul comun al lui 3, 2 și 6 este 6. Amplificăm \(\frac{5}{3}\) cu 2 și \(\frac{1}{2}\) cu 3. Obținem \(\frac{10-3-1}{6}=\frac{6}{6}=1\).

4. 4

   Calculăm b și comparăm cu a

   b=2^2\cdot 1=4=4\cdot 1=4a

   Avem \(2^2=4\), iar paranteza este 1, deci \(b=4\cdot 1=4\). Cum \(a=1\), obținem \(b=4\cdot 1=4a\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut a = 1 și b = 4, deci b = 4a.

Vlad a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi, Vlad a parcurs un sfert din lungimea traseului, în a doua zi, Vlad a parcurs dublul distanței parcurse în prima zi, iar în a treia zi restul de \(10\,\text{km}\). Determinați lungimea traseului parcurs de Vlad.

Metoda: Ecuație cu o necunoscută

1. 1

   Notăm necunoscuta

   x = \text{lungimea traseului (în km)}

   Ne cere lungimea traseului, deci aceasta este necunoscuta. O notăm cu \(x\) ca să putem exprima distanțele din fiecare zi în funcție de ea.

2. 2

   Distanța din fiecare zi

   \frac{x}{4},\quad 2\cdot\frac{x}{4},\quad 10

   În prima zi a parcurs un sfert din traseu, adică \(\frac{x}{4}\). În a doua zi a parcurs dublul acestei distanțe, adică \(2\cdot\frac{x}{4}\). În a treia zi a parcurs restul, care este \(10\) km.

3. 3

   Scriem ecuația

   \frac{x}{4}+2\cdot\frac{x}{4}+10=x

   Cele trei distanțe adunate dau lungimea întregului traseu \(x\). De aceea suma lor este egală cu \(x\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   \frac{x}{4}+\frac{2x}{4}+10=x \Rightarrow \frac{3x}{4}+10=x \Rightarrow 10=\frac{x}{4} \Rightarrow x=40

   Adunăm fracțiile cu același numitor: \(\frac{x}{4}+\frac{2x}{4}=\frac{3x}{4}\). Apoi scădem \(\frac{3x}{4}\) din ambii membri, ca să rămână \(10=x-\frac{3x}{4}=\frac{x}{4}\). Dacă un sfert din traseu este \(10\), traseul are \(4\cdot 10=40\) km.

5. 5

   Verificăm rezultatul

   10+20+10=40

   Cu \(x=40\): prima zi \(40:4=10\) km, a doua zi \(2\cdot10=20\) km, a treia zi \(10\) km. Suma este \(40\) km, deci rezultatul este corect.

Răspuns: Lungimea traseului este de \(40\) km.

Se consideră numărul real \(x = 10\sqrt{2} - 3\sqrt{18}\). a) Arătați că \(x = \sqrt{2}\).

Metoda: Scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Descompunem numărul de sub al doilea radical

   \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}

   Vrem să apară \(\sqrt{2}\) și în al doilea termen. Pentru asta scriem 18 ca produs între un pătrat perfect (9) și 2. Alegem 9 pentru că este pătrat perfect: \(9=3^2\), deci rădăcina lui se poate calcula.

2. 2

   Scoatem factorul de sub radical

   3\sqrt{9\cdot 2}=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}

   Cum \(\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), numărul 3 iese de sub radical. Mai avem coeficientul 3 din față, deci \(3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   x=10\sqrt{2}-9\sqrt{2}=(10-9)\sqrt{2}=\sqrt{2}

   Acum ambii termeni conțin \(\sqrt{2}\), deci sunt termeni asemenea. Îi reducem scăzând coeficienții: \(10-9=1\). Obținem \(1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am arătat că \(x=10\sqrt{2}-9\sqrt{2}=\sqrt{2}\).

Se consideră numerele reale \(x=10\sqrt{2}-3\sqrt{18}\) și \(y=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\dfrac{2}{\sqrt{20}}-\dfrac{7}{\sqrt{125}}\right):\dfrac{8}{5\sqrt{5}}\). b) Calculați \(\left(y-x^2\right)^{2020}\).

Metoda: Scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Scoatem factorii de sub radicali

   \sqrt{20}=2\sqrt{5},\quad \sqrt{125}=5\sqrt{5}

   Descompunem numerele de sub radical într-un produs cu un pătrat perfect: \(20=4\cdot 5\), deci \(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\). Iar \(125=25\cdot 5\), deci \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\). Facem asta ca toți numitorii să conțină același radical \(\sqrt{5}\).

2. 2

   Aducem fracțiile la același numitor

   y=\left(\frac{2}{\sqrt5}+\frac{2}{2\sqrt5}-\frac{7}{5\sqrt5}\right):\frac{8}{5\sqrt5}=\frac{10+5-7}{5\sqrt5}:\frac{8}{5\sqrt5}

   Numitorul comun este \(5\sqrt{5}\). Amplificăm prima fracție cu 5: \(\frac{2}{\sqrt5}=\frac{10}{5\sqrt5}\). A doua fracție, \(\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}\), se amplifică tot cu 5 și devine \(\frac{5}{5\sqrt5}\). A treia are deja numitorul bun. Adunăm și scădem numărătorii: \(10+5-7=8\).

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   y=\frac{8}{5\sqrt5}:\frac{8}{5\sqrt5}=1

   După pasul anterior, paranteza este egală cu \(\frac{8}{5\sqrt5}\), adică exact cu împărțitorul. Un număr nenul împărțit la el însuși dă 1. Deci \(y=1\). (Putem și înmulți cu inversa: \(\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{5\sqrt5}{8}=1\).)

4. 4

   Calculăm \(y-x^2\) și puterea 2020

   \left(y-x^2\right)^{2020}=\left(1-\sqrt{2}^{\,2}\right)^{2020}=(1-2)^{2020}=(-1)^{2020}=1

   Din punctul a) știm că \(x=\sqrt{2}\), deci \(x^2=2\). Atunci \(y-x^2=1-2=-1\). Puterea \((-1)^{2020}\) este 1, pentru că exponentul 2020 este par: minus 1 la o putere pară dă plus 1.

Răspuns: \(\left(y-x^2\right)^{2020}=1\)

Se consideră expresia \(E(x)=(2x+1)^2+(2x-1)(4x+2)+(2x-1)^2\), unde \(x\) este număr real. Determinați numerele reale \(x\), știind că media aritmetică a numerelor \(E(x)\) și \(E(-x)\) este egală cu media geometrică a numerelor \(E(1)\) și \(E(-1)\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Observăm structura expresiei E(x)

   4x+2=2(2x+1)

   Al doilea termen conține factorul \(4x+2\), pe care îl putem scrie ca \(2(2x+1)\). Astfel, termenul din mijloc devine \(2(2x-1)(2x+1)\). Acum cei trei termeni arată ca \(a^2+2ab+b^2\), cu \(a=2x+1\) și \(b=2x-1\).

2. 2

   Aplicăm formula pătratului sumei și simplificăm

   E(x)=\big((2x+1)+(2x-1)\big)^2=(4x)^2=16x^2

   Folosim \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) cu \(a=2x+1\) și \(b=2x-1\). Suma lor este \((2x+1)+(2x-1)=4x\), deci \(E(x)=(4x)^2=16x^2\), pentru orice număr real \(x\).

3. 3

   Calculăm E(-x), E(1) și E(-1)

   E(-x)=16(-x)^2=16x^2,\quad E(1)=16,\quad E(-1)=16

   Din \(E(x)=16x^2\) înlocuim. Pentru \(-x\): \((-x)^2=x^2\), deci \(E(-x)=16x^2\). Pentru \(x=1\) și \(x=-1\) obținem \(16\cdot 1=16\) în ambele cazuri.

4. 4

   Scriem și rezolvăm egalitatea mediilor

   \frac{16x^2+16x^2}{2}=\sqrt{16\cdot16}\Rightarrow 16x^2=16\Rightarrow x^2=1

   Media aritmetică a lui \(E(x)\) și \(E(-x)\) este \(\frac{16x^2+16x^2}{2}=16x^2\). Media geometrică a lui \(E(1)\) și \(E(-1)\) este \(\sqrt{16\cdot16}=16\). Din egalitate rezultă \(16x^2=16\), deci \(x^2=1\). Numerele al căror pătrat este 1 sunt \(x=1\) și \(x=-1\).

Răspuns: x = -1 sau x = 1

În Figura 2 este reprezentat un pătrat \(ABCD\) cu \(AB = 12\text{ cm}\). Punctul \(E\) aparține dreptei \(AB\) astfel încât \(B \in (AE)\) și \(BE = 4\text{ cm}\), iar punctul \(F\) este situat pe latura \(AD\) astfel încât \(AD = 3DF\). a) Arătați că \(DF = 4\text{ cm}\).

Metoda: Calcul cu lungimi de segmente

1. 1

   Aflăm lungimea laturii AD

   AD = AB = 12\text{ cm}

   ABCD este pătrat, iar un pătrat are toate laturile egale. Deci latura \(AD\) are aceeași lungime ca latura \(AB\), adică \(12\text{ cm}\).

2. 2

   Folosim relația AD = 3·DF

   DF = \frac{AD}{3}

   Din \(AD = 3DF\) rezultă că \(DF\) este a treia parte din \(AD\). Ca să aflăm un factor dintr-un produs, împărțim produsul la celălalt factor: \(DF = AD : 3\).

3. 3

   Calculăm DF

   DF = \frac{12}{3} = 4\text{ cm}

   Înlocuim \(AD = 12\text{ cm}\) și împărțim la 3. Obținem \(DF = 4\text{ cm}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(DF = 4\text{ cm}\)

În Figura 2 este reprezentat un pătrat \(ABCD\) cu \(AB=12\text{ cm}\). Punctul \(E\) aparține dreptei \(AB\) astfel încât \(B\in(AE)\) și \(BE=4\text{ cm}\), iar punctul \(F\) este situat pe latura \(AD\) astfel încât \(AD=3DF\). b) Arătați că aria patrulaterului \(AECF\) este egală cu \(144\text{ cm}^2\).

Metoda: Triunghiuri congruente și arii

1. 1

   Triunghiurile DCF și BCE sunt congruente

   DC=BC,\quad DF=BE=4,\quad \angle D=\angle B=90^\circ \Rightarrow \Delta DCF\equiv\Delta BCE

   Din punctul a) avem \(DF=4\text{ cm}\), iar \(BE=4\text{ cm}\) din enunț, deci \(DF=BE\). Latura pătratului ne dă \(DC=BC=12\text{ cm}\). Triunghiurile \(DCF\) și \(BCE\) sunt dreptunghice (în \(D\) și în \(B\), unghiurile pătratului). Au catetele respectiv egale, deci sunt congruente după criteriul catetă-catetă (CC). Triunghiurile congruente au arii egale.

2. 2

   Ariile celor două triunghiuri sunt egale

   \mathcal{A}_{\Delta DCF}=\mathcal{A}_{\Delta BCE}

   Fiind congruente, triunghiurile \(DCF\) și \(BCE\) se pot suprapune, deci au aceeași arie. Putem verifica: fiecare are aria \(\frac{12\cdot4}{2}=24\text{ cm}^2\).

3. 3

   Aria patrulaterului AECF

   \mathcal{A}_{AECF}=\mathcal{A}_{ABCD}-\mathcal{A}_{\Delta DCF}+\mathcal{A}_{\Delta BCE}=\mathcal{A}_{ABCD}=AB^2=144\text{ cm}^2

   Patrulaterul \(AECF\) se obține din pătratul \(ABCD\) dacă scoatem triunghiul \(DCF\) și adăugăm triunghiul \(BCE\). Cele două arii sunt egale, deci se anulează și rămâne aria pătratului: \(12^2=144\text{ cm}^2\). Verificăm și numeric: \(144-24+24=144\).

Răspuns: Aria patrulaterului \(AECF\) este \(144\text{ cm}^2\).

Subiectul III, 1. c): În Figura 2 este un pătrat \(ABCD\) cu \(AB=12\) cm. Punctul \(E\) aparține dreptei \(AB\) astfel încât \(B\in(AE)\) și \(BE=4\) cm, iar punctul \(F\) este pe latura \(AD\) astfel încât \(AD=3DF\). Perpendiculara din \(C\) pe dreapta \(EF\) intersectează dreapta \(AB\) în \(M\). Demonstrați că punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Triunghi isoscel și asemănare

1. 1

   Aflăm lungimile din figură

   AE=12+4=16,\; AF=12-4=8,\; EF=\sqrt{16^2+8^2}=8\sqrt5

   Din punctul a) știm că \(DF=4\) cm, deci \(AF=AD-DF=12-4=8\) cm. Cum \(B\) este între \(A\) și \(E\), \(AE=AB+BE=16\) cm. Triunghiul \(EAF\) este dreptunghic în \(A\), deci aplicăm teorema lui Pitagora: \(EF^2=16^2+8^2=320\), deci \(EF=\sqrt{320}=8\sqrt5\) cm.

2. 2

   Arătăm că triunghiul CFE este isoscel

   \Delta DCF\equiv\Delta BCE \Rightarrow CF=CE

   Triunghiurile \(DCF\) și \(BCE\) sunt dreptunghice (în \(D\), respectiv \(B\)). Au \(DC=BC=12\) cm (laturile pătratului) și \(DF=BE=4\) cm. Prin cazul catetă-catetă (CC) sunt congruente, deci ipotenuzele sunt egale: \(CF=CE\). Așadar \(\Delta CFE\) este isoscel cu baza \(EF\).

3. 3

   Aflăm EN

   EN=\frac{EF}{2}=4\sqrt5

   Fie \(N\) punctul în care \(CM\) taie \(EF\). Cum \(CM\perp EF\), \(CN\) este înălțime în triunghiul isoscel \(CFE\). Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană, deci \(N\) este mijlocul lui \(EF\). Rezultă \(EN=8\sqrt5:2=4\sqrt5\) cm.

4. 4

   Triunghiuri asemenea și aflarea lui EM

   \Delta EMN\sim\Delta EFA \Rightarrow \frac{EM}{EF}=\frac{EN}{EA}\Rightarrow EM=\frac{8\sqrt5\cdot 4\sqrt5}{16}=10

   Triunghiurile \(EMN\) și \(EFA\) sunt dreptunghice (în \(N\), respectiv \(A\)) și au unghiul \(E\) comun. Deci sunt asemenea (criteriul UU). Din asemănare, \(\frac{EM}{EF}=\frac{EN}{EA}\). Înlocuim: \(EM=\frac{EF\cdot EN}{EA}=\frac{8\sqrt5\cdot4\sqrt5}{16}=\frac{8\cdot4\cdot5}{16}=\frac{160}{16}=10\) cm.

5. 5

   Concluzia: M este mijlocul lui AB

   MB=EM-EB=10-4=6=\frac{AB}{2}

   Punctul \(B\) se află între \(E\) și \(M\), deci \(MB=EM-EB=10-4=6\) cm. Cum \(AB=12\) cm, avem \(MB=\frac{AB}{2}\). Punctul \(M\) este pe dreapta \(AB\), de aceeași parte a lui \(B\) ca \(A\), la distanța 6 de \(B\), deci \(M\) este mijlocul lui \(AB\).

Răspuns: Am obținut \(MB=6\) cm \(=\frac{AB}{2}\), deci punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră \(VABCD\) cu \(VB=3\sqrt{5}\) cm și baza pătratul \(ABCD\), \(AB=6\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(VO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\), punctul \(G\) este situat pe segmentul \(VO\) astfel încât \(VG=2GO\) și punctul \(N\) este intersecția dreptelor \(VB\) și \(DG\). a) Arătați că perimetrul pătratului \(ABCD\) este egal cu \(24\) cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Alegem formula perimetrului pătratului

   P_{ABCD}=4\cdot AB

   Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pătratul are 4 laturi egale, deci perimetrul este de 4 ori lungimea unei laturi. Baremul scrie exact această formulă.

2. 2

   Înlocuim latura și calculăm

   P_{ABCD}=4\cdot 6=24\text{ cm}

   Din enunț știm că \(AB=6\) cm. Înlocuim în formulă și înmulțim. Obținem \(24\) cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul pătratului \(ABCD\) este \(P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 6=24\) cm.

Subiectul III, 2. b): În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră \(VABCD\) cu \(VB = 3\sqrt{5}\) cm și baza pătratul \(ABCD\), \(AB = 6\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(VO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\), punctul \(G\) este situat pe segmentul \(VO\) astfel încât \(VG = 2GO\) și punctul \(N\) este intersecția dreptelor \(VB\) și \(DG\). Demonstrați că dreapta \(MN\) este paralelă cu planul \((ABC)\).

Metoda: Centrul de greutate și linia mijlocie

1. 1

   Găsim cine este punctul G în triunghiul VBD

   VG = 2GO,\ G \in VO \Rightarrow G \text{ centrul de greutate al } \triangle VBD

   Piramida este regulată, deci O, intersecția diagonalelor pătratului, este mijlocul lui BD. Atunci VO este mediană în triunghiul VBD. Pe mediană, punctul G cu VG = 2GO se află la două treimi de vârf, adică la două treimi de la V spre mijlocul laturii opuse. Exact așa este centrul de greutate al unui triunghi. Deci G este centrul de greutate al triunghiului VBD.

2. 2

   Aflăm că N este mijlocul lui VB

   DG \text{ mediană în } \triangle VBD \Rightarrow N \text{ mijlocul lui } VB

   Prin G, centrul de greutate, trec toate medianele triunghiului VBD. Dreapta DG este deci mediana din D. Ea taie latura opusă VB în mijlocul ei. Cum N este intersecția dreptelor VB și DG, N este mijlocul segmentului VB.

3. 3

   MN este linie mijlocie în triunghiul VAB

   M \text{ mijlocul } VA,\ N \text{ mijlocul } VB \Rightarrow MN \parallel AB

   M este mijlocul lui VA (din enunț), iar N este mijlocul lui VB (pasul anterior). Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este linie mijlocie și este paralelă cu a treia latură. Deci MN este paralelă cu AB.

4. 4

   Concluzia: MN este paralelă cu planul (ABC)

   MN \parallel AB,\ AB \subset (ABC) \Rightarrow MN \parallel (ABC)

   Dreapta AB se află în planul (ABC), iar MN este paralelă cu AB. Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă conținută într-un plan, atunci ea este paralelă cu planul (MN nu stă în planul bazei, pentru că M și N sunt pe muchii laterale, deasupra bazei). Deci MN este paralelă cu planul (ABC).

Răspuns: MN este linie mijlocie în triunghiul VAB, deci MN ∥ AB, iar cum AB ⊂ (ABC), rezultă MN ∥ (ABC).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră \(VABCD\) cu \(VB = 3\sqrt{5}\) cm și baza pătratul \(ABCD\), \(AB = 6\) cm. Punctul \(O\) este intersecția dreptelor \(AC\) și \(BD\), iar dreapta \(VO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\), punctul \(G\) este situat pe segmentul \(VO\) astfel încât \(VG = 2GO\) și punctul \(N\) este intersecția dreptelor \(VB\) și \(DG\). Cerința c): Demonstrați că distanța de la punctul \(M\) la planul \((ABC)\) este egală cu \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) cm.

Metoda: Linie mijlocie și Teorema lui Pitagora

1. 1

   Mutăm distanța de la M la N

   d(M,(ABC)) = d(N,(ABC)) = NP

   De la punctul b) știm că \(N\) este mijlocul lui \(VB\) și că \(MN \parallel (ABC)\). Toate punctele unei drepte paralele cu un plan sunt la aceeași distanță de plan. Deci \(M\) și \(N\) au aceeași distanță față de \((ABC)\). Ducem \(NP \perp BO\), cu \(P \in BO\). Cum \(VO \parallel NP\) și \(VO \perp (ABC)\), rezultă \(NP \perp (ABC)\), deci \(NP\) este chiar distanța de la \(N\) la plan.

2. 2

   Calculăm BO, jumătate din diagonala pătratului

   BD = 6\sqrt{2},\quad BO = \frac{BD}{2} = 3\sqrt{2}

   Baza \(ABCD\) este pătrat cu latura 6 cm, deci diagonala este \(BD = 6\sqrt{2}\) cm. Punctul \(O\) este mijlocul diagonalei, deci \(BO = 3\sqrt{2}\) cm. Avem nevoie de \(BO\) ca să folosim Pitagora în triunghiul \(VOB\).

3. 3

   Aflăm înălțimea VO cu Teorema lui Pitagora

   VO = \sqrt{VB^2 - BO^2} = \sqrt{45 - 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

   Triunghiul \(VOB\) este dreptunghic în \(O\), pentru că \(VO \perp (ABC)\). Ipotenuza este \(VB = 3\sqrt{5}\), deci \(VB^2 = 45\). Catetele sunt \(VO\) și \(BO\), cu \(BO^2 = 18\). Atunci \(VO^2 = 45 - 18 = 27\), deci \(VO = 3\sqrt{3}\) cm.

4. 4

   NP este linie mijlocie în triunghiul VBO

   NP = \frac{VO}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

   \(N\) este mijlocul lui \(VB\) și \(NP \parallel VO\), deci \(NP\) este linie mijlocie în triunghiul \(VBO\). Linia mijlocie este jumătate din latura paralelă cu ea, adică \(NP = \frac{VO}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) cm. Cum \(d(M,(ABC)) = NP\), am demonstrat cerința.

Răspuns: Distanța de la \(M\) la planul \((ABC)\) este \(NP = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) cm.