Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2021, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 02)

Cel mai mare număr natural de două cifre, multiplu al numărului \(20\), este egal cu: a) \(20\); b) \(80\); c) \(99\); d) \(100\).

Metoda: Multiplii unui număr

1. 1

   Scriem multiplii lui 20

   20\cdot 0=0,\ 20\cdot 1=20,\ 20\cdot 2=40,\ 20\cdot 3=60,\ 20\cdot 4=80,\ 20\cdot 5=100

   Multiplii lui \(20\) se obțin înmulțind \(20\) cu numerele naturale \(0, 1, 2, 3, \dots\). Îi scriem ca să vedem care dintre ei au două cifre.

2. 2

   Alegem multiplii cu două cifre

   20,\ 40,\ 60,\ 80

   Numerele de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Dintre multiplii lui \(20\), \(0\) are o singură cifră, iar \(100\) are trei cifre, deci nu merg. Rămân \(20, 40, 60, 80\).

3. 3

   Alegem cel mai mare și verificăm

   80=20\cdot 4

   Dintre \(20, 40, 60, 80\), cel mai mare este \(80\). Este multiplu al lui \(20\) pentru că \(80=20\cdot 4\). Varianta a) \(20\) este multiplu, dar nu cel mai mare. Varianta c) \(99\) nu se împarte exact la \(20\) (\(20\cdot 4=80\), \(20\cdot 5=100\), deci \(99\) e între ele). Varianta d) \(100\) este multiplu, dar are trei cifre.

Răspuns: Răspunsul corect este b) \(80\).

Dacă \(\frac{x}{4}=\frac{5}{2}\), atunci \(x\) este egal cu: a) 2; b) 5; c) 10; d) 20.

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția și scriem regula

   \frac{x}{4}=\frac{5}{2}\Rightarrow x\cdot 2=4\cdot 5

   Egalitatea a două rapoarte este o proporție. Proprietatea fundamentală spune că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Extremii sunt \(x\) și \(2\), iar mezii sunt \(4\) și \(5\). Folosim regula ca să scăpăm de fracții.

2. 2

   Aflăm necunoscuta x

   2x=20\Rightarrow x=20:2=10

   Avem \(2x=20\). Ca să aflăm \(x\), împărțim 20 la 2, pentru că \(x\) înmulțit cu 2 dă 20.

3. 3

   Verificăm și alegem varianta

   \frac{10}{4}=\frac{5}{2}

   Simplificăm \(\frac{10}{4}\) prin 2 și obținem \(\frac{5}{2}\), deci proporția e adevărată. Varianta corectă este c) 10. Celelalte nu merg: pentru \(x=2\) avem \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\neq\frac{5}{2}\); pentru \(x=5\) avem \(\frac{5}{4}\neq\frac{5}{2}\); pentru \(x=20\) avem \(\frac{20}{4}=5\neq\frac{5}{2}\).

Răspuns: c) 10

Rezultatul calculului \(8+2\cdot 4\) este egal cu: a) 40; b) 16; c) 14; d) 0.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ce operație se face prima

   8+2\cdot 4

   În calcule fără paranteze, înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii. Aici nu avem paranteze, deci mai întâi calculăm \(2\cdot 4\), nu \(8+2\).

2. 2

   Calculăm înmulțirea și apoi adunarea

   8+2\cdot 4=8+8=16

   După ce am înlocuit \(2\cdot 4\) cu 8, rămâne doar adunarea \(8+8\), care dă 16.

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm celelalte

   8+2\cdot 4=16

   Rezultatul 16 corespunde variantei b). Varianta a) 40 s-ar obține dacă am aduna întâi \(8+2=10\) și apoi am înmulți \(10\cdot 4=40\), adică ordine greșită a operațiilor. Variantele c) 14 și d) 0 nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Varianta corectă este b) 16.

Într-o școală, \(400\) de elevi au ales culoarea favorită, prin intermediul unui chestionar. Opțiunile tuturor elevilor au fost înregistrate, în raport procentual din numărul total, în tabelul: albastru \(25\%\), roșu \(35\%\), galben \(14\%\), verde \(x\%\), altele \(20\%\). Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor care au ales culoarea verde este egal cu: a) \(6\); b) \(16\); c) \(24\); d) \(80\).

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Aflăm procentul elevilor care au ales verde

   x = 100 - (25+35+14+20)

   Toți elevii au ales o culoare, deci totalul procentelor este \(100\%\). Adunăm procentele cunoscute și le scădem din \(100\). Ce rămâne este procentul pentru verde.

2. 2

   Calculăm \(6\%\) din \(400\)

   \frac{6}{100}\cdot 400 = 6\cdot 4 = 24

   Verdele reprezintă \(6\%\) din cei \(400\) de elevi. \(6\%\) înseamnă \(\frac{6}{100}\), deci înmulțim \(400\) cu \(\frac{6}{100}\). Cum \(400:100=4\), obținem \(6\cdot 4=24\).

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   24 \text{ elevi} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Am obținut \(24\) de elevi, deci varianta c) este corectă. Varianta a) \(6\) este chiar procentul, nu numărul de elevi. Varianta b) \(16\) și d) \(80\) nu rezultă din calcul (\(80\) ar fi \(20\%\) din \(400\), adică \(altele\)). Verificare: \(25\%\) din \(400\) este \(100\), \(35\%\) este \(140\), \(14\%\) este \(56\), \(20\%\) este \(80\); \(100+140+56+80+24=400\).

Răspuns: c) 24 de elevi

Patru elevi, Alina, Bianca, George și Iosif, adună numărul \(a = 3 + 5\sqrt{2}\) cu numărul \(b = 5 - 5\sqrt{2}\) și obțin următoarele rezultate: Alina: \(8 - 10\sqrt{2}\); Bianca: \(4\); George: \(8\); Iosif: \(8 + 10\sqrt{2}\). Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect adunarea este: a) Alina; b) Bianca; c) George; d) Iosif.

Metoda: Operații cu numere reale

1. 1

   Scriem suma \(a+b\)

   a+b=(3+5\sqrt{2})+(5-5\sqrt{2})

   Elevii adună numerele \(a\) și \(b\), deci prima dată scriem suma exact așa cum cere problema. Punem fiecare număr în paranteză ca să nu greșim semnele.

2. 2

   Grupăm termenii asemenea

   a+b=(3+5)+(5\sqrt{2}-5\sqrt{2})

   Termenii fără radical (3 și 5) se adună între ei, iar termenii cu \(\sqrt{2}\) se adună între ei, pentru că sunt termeni asemenea. Putem grupa așa deoarece adunarea are proprietatea de comutativitate și asociativitate.

3. 3

   Calculăm rezultatul

   a+b=8+0\cdot\sqrt{2}=8

   Termenii cu \(\sqrt{2}\) se reduc: \(5\sqrt{2}-5\sqrt{2}=0\). Rămâne doar \(8\). Deci rezultatul corect este 8.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   a+b=8\Rightarrow \text{George}

   Rezultatul 8 apare la George, deci varianta corectă este c). Alina (\(8-10\sqrt{2}\)) și Iosif (\(8+10\sqrt{2}\)) au uitat că \(5\sqrt{2}\) și \(-5\sqrt{2}\) se anulează; au adunat sau au scăzut \(5\sqrt{2}\) de două ori. Bianca a obținut 4, dar \(3+5=8\), nu 4.

Răspuns: George a efectuat corect adunarea, deoarece \(a+b=8\). Răspuns: c).

Se consideră intervalul de numere reale \(I=(3,4]\). Mircea afirmă că: „Numărul \(3\sqrt{2}\) aparține intervalului \(I\).”. Afirmația lui Mircea este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Compararea numerelor reale

1. 1

   Ce înseamnă că un număr aparține intervalului

   I=(3,4]\iff 3<x\le 4

   Intervalul \(I=(3,4]\) conține toate numerele reale mai mari decât 3 (3 nu face parte din interval, paranteza este rotundă) și mai mici sau egale cu 4 (4 face parte din interval, paranteza este dreaptă). Deci trebuie să verificăm dacă \(3<3\sqrt{2}\le 4\).

2. 2

   Introducem factorul 3 sub radical

   3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}

   Ca să comparăm \(3\sqrt{2}\) cu numere naturale, îl scriem ca o singură radical. Folosim \(3=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}\), deci \(3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}\).

3. 3

   Comparăm \(\sqrt{18}\) cu 4

   4=\sqrt{16},\quad 16<18\Rightarrow 4<\sqrt{18}

   Scriem și 4 ca radical: \(4=\sqrt{16}\). Dintre două radicale, este mai mare cel cu numărul mai mare sub radical. Cum \(16<18\), obținem \(\sqrt{16}<\sqrt{18}\), adică \(4<3\sqrt{2}\).

4. 4

   Concluzia

   3\sqrt{2}>4\Rightarrow 3\sqrt{2}\notin(3,4]

   Am obținut \(3\sqrt{2}>4\), deci numărul depășește capătul din dreapta al intervalului. Prin urmare nu aparține lui \(I\) și afirmația lui Mircea este falsă. Varianta a) nu merge, pentru că numărul nu este între 3 și 4. (Se vede și din \(3\sqrt{2}\approx 3\cdot1{,}41=4{,}23\).)

Răspuns: Varianta b) falsă, pentru că \(3\sqrt{2}=\sqrt{18}>\sqrt{16}=4\), deci \(3\sqrt{2}\notin(3,4]\).

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare \(A, B, C\) și \(D\), în această ordine, astfel încât \(AC = 4\) cm și \(BD = 8\) cm. Punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\). Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu: a) 4 cm; b) 6 cm; c) 10 cm; d) 12 cm.

Metoda: Mijlocul unui segment și adunarea segmentelor

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului BC

   BC=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}

   Punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\), deci îl împarte în două segmente congruente: \(AB = BC\). Fiecare are jumătate din lungimea lui \(AC\). Așadar \(BC = 4 : 2 = 2\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea segmentului CD

   BD=BC+CD \Rightarrow CD=BD-BC=8-2=6\text{ cm}

   Punctele sunt în ordinea B, C, D, deci \(C\) se află între \(B\) și \(D\). Atunci \(BD = BC + CD\). Segmentul întreg BD are 8 cm, iar partea BC are 2 cm. Partea rămasă este \(CD = 8 - 2 = 6\) cm. Deci varianta corectă este b) 6 cm. Celelalte nu merg: 4 cm ar fi dacă am scădea 4 în loc de 2, iar 10 și 12 sunt mai mari decât tot segmentul BD, imposibil pentru o parte din el.

Răspuns: Lungimea segmentului CD este 6 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), cu măsura unghiului \(B\) de \(45^\circ\). Punctele \(A\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare în această ordine. Dreptele \(EC\) și \(AB\) sunt paralele și măsura unghiului \(ECD\) este egală cu \(135^\circ\). Măsura unghiului \(ACB\) este egală cu: a) \(45^\circ\); b) \(80^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(100^\circ\).

Metoda: Unghiuri între paralele și suma în triunghi

1. 1

   Aflăm unghiul A din paralele

   \angle ECD=\angle BAC=135^\circ

   Dreptele EC și AB sunt paralele, iar AD este secantă. Unghiurile ECD și CAB sunt unghiuri corespondente, deci congruente. Atenție: A, C, D sunt coliniare, iar E și B sunt de aceeași parte a dreptei AD? Din figură, E este în stânga, B în dreapta, deci unghiul ECD și unghiul BAC sunt alterne externe, tot congruente... dar valoarea 135° nu convine cu suma triunghiului, deci le tratăm corect: unghiul ECA este suplementul lui ECD.

2. 2

   Folosim paralelismul: unghiul A

   \angle BAC=\angle ECA=45^\circ

   EC este paralelă cu AB, iar AC este secantă. Unghiurile ECA și BAC sunt alterne interne (E și B sunt de o parte și de alta a secantei AC), deci sunt congruente. Așadar unghiul A al triunghiului are 45°.

3. 3

   Suma unghiurilor în triunghiul ABC

   \angle ACB=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°. Cunoaștem unghiul A = 45° și unghiul B = 45°, deci unghiul C = 180° − 90° = 90°. Varianta corectă este c). Celelalte nu merg: 45° ar face suma 135°, iar 80° și 100° nu dau 180° împreună cu 45° + 45°.

Răspuns: c) 90°

Subiectul II, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\). Măsura unghiului \(BAC\) este egală cu \(120^\circ\) și \(AC = 6\) cm. Lungimea laturii \(BC\) este egală cu: a) \(3\sqrt{3}\) cm; b) \(3\) cm; c) \(6\) cm; d) \(6\sqrt{3}\) cm. (Din figură: triunghiul \(ABC\) are unghiul obtuz în \(A\), iar \(AB = AC = 6\) cm.)

Metoda: Teorema lui Pitagora, triunghi isoscel

1. 1

   Aflăm unghiurile de la bază

   \angle B=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ

   Triunghiul este isoscel cu vârful în A (din figură și din faptul că unghiul de 120° nu poate fi la bază), deci \(AB=AC\) și unghiurile de la bază sunt congruente. Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci cele două unghiuri de la bază împart \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\) în mod egal.

2. 2

   Ducem înălțimea din A

   AD\perp BC,\ D\in BC

   Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană și bisectoare. Deci \(D\) este mijlocul lui \(BC\), iar \(\angle BAD = 120^\circ:2=60^\circ\). Obținem triunghiul \(ADC\), dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AC=6\) cm și unghiul \(C=30^\circ\).

3. 3

   Aflăm AD și DC

   AD=\frac{AC}{2}=3\text{ cm},\quad DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic \(ADC\), cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(AD=6:2=3\) cm. Apoi aplicăm teorema lui Pitagora pentru \(DC\): \(DC^2=AC^2-AD^2=36-9=27\), deci \(DC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) cm.

4. 4

   Calculăm BC și alegem varianta

   BC=2\cdot DC=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{ cm}

   Deoarece \(D\) este mijlocul lui \(BC\), avem \(BC=2\cdot DC=6\sqrt{3}\) cm. Aceasta este varianta d). Variantele a) și b) sunt prea mici: \(BC\) este latura opusă unghiului celui mai mare (120°), deci trebuie să fie mai mare decât \(AC=6\), iar \(3\sqrt{3}\approx 5{,}2\) și \(3\) sunt mai mici decât 6. Varianta c) ar însemna triunghi echilateral, dar el nu are unghi de 120°.

Răspuns: Lungimea laturii BC este \(6\sqrt{3}\) cm, deci varianta corectă este d).

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu \(AD = 3\) cm, în care punctul \(E\) se află pe latura \(DC\) astfel încât \(AE\) este bisectoarea unghiului \(DAB\) și \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\). Perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este egal cu: a) 18 cm; b) 15 cm; c) 12 cm; d) 9 cm.

Metoda: Bisectoare și triunghi isoscel

1. 1

   Triunghiul ADE este isoscel

   \angle DAE=\angle EAB=\angle DEA \Rightarrow DE=AD=3

   Fiindcă \(AE\) este bisectoare, \(\angle DAE=\angle EAB\). Latura \(DC\) este paralelă cu \(AB\), iar \(AE\) este secantă, deci \(\angle DEA=\angle EAB\) (unghiuri alterne interne). Rezultă \(\angle DAE=\angle DEA\), deci triunghiul \(ADE\) are două unghiuri egale și este isoscel, cu \(DE=AD\). Așadar \(DE=3\) cm.

2. 2

   Triunghiul BCE este isoscel

   \angle CBE=\angle EBA=\angle CEB \Rightarrow CE=BC=3

   La fel, \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), deci \(\angle CBE=\angle EBA\). Din \(DC\parallel AB\) avem \(\angle CEB=\angle EBA\) (alterne interne). Deci triunghiul \(BCE\) este isoscel cu \(CE=BC\). În paralelogram laturile opuse sunt egale, deci \(BC=AD=3\) cm și \(CE=3\) cm.

3. 3

   Lungimea laturii DC și perimetrul

   DC=DE+EC=3+3=6;\quad P=2(AD+DC)=2(3+6)=18

   Punctul \(E\) este pe latura \(DC\), deci \(DC=DE+EC=6\) cm. Perimetrul unui paralelogram este dublul sumei a două laturi alăturate: \(P=2\cdot(3+6)=18\) cm. Varianta corectă este a) 18 cm.

4. 4

   De ce nu merg celelalte variante

   15,\ 12,\ 9\ne 18

   Variantele 15, 12 și 9 apar dacă uităm că \(DC=6\) cm sau dacă nu dublăm suma laturilor. De exemplu, \(3+3+3+3=12\) ar fi corect doar dacă \(DC\) ar fi 3 cm, dar \(DC=DE+EC=6\) cm. Doar 18 cm se potrivește cu laturile 3, 6, 3, 6.

Răspuns: Perimetrul paralelogramului este 18 cm, deci varianta corectă este a).

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt situate pe cercul de centru \(O\), astfel încât arcele mici \(AB\), \(BC\) și \(CA\) sunt congruente. Măsura unghiului \(BOC\) este egală cu: a) \(120^\circ\) b) \(90^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(30^\circ\). (Figura arată un cerc de centru \(O\), cu punctele \(A\), \(B\), \(C\) pe cerc și unghiul la centru \(BOC\) marcat.)

Metoda: Unghi la centru și arce congruente

1. 1

   Ce măsură are întregul cerc?

   360^\circ

   Cele trei arce \(AB\), \(BC\) și \(CA\) acoperă împreună tot cercul, fără să se suprapună. Măsura unui cerc complet este \(360^\circ\), deci suma măsurilor celor trei arce este \(360^\circ\).

2. 2

   Măsura unui arc mic

   \widehat{BC}=360^\circ:3=120^\circ

   Arcele sunt congruente, deci au aceeași măsură. Împărțim \(360^\circ\) în 3 părți egale și obținem măsura arcului \(BC\).

3. 3

   Unghiul la centru \(BOC\)

   \angle BOC=\widehat{BC}=120^\circ

   Unghiul \(BOC\) are vârful în centrul cercului, deci este unghi la centru. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale, adică arcul mic \(BC\). Deci \(\angle BOC=120^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Răspuns: a) }120^\circ

   Varianta a) este corectă pentru că \(120^\circ\) este rezultatul obținut. Varianta b) \(90^\circ\) ar însemna 4 arce egale, varianta c) \(60^\circ\) ar însemna 6 arce egale, iar d) \(30^\circ\) ar însemna 12 arce egale. Noi avem doar 3 arce, deci nu merg.

Răspuns: Măsura unghiului \(BOC\) este \(120^\circ\), deci varianta corectă este a).

În figura alăturată este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu \(120\text{ cm}\). Aria totală a cubului este egală cu: a) \(100\text{ cm}^2\); b) \(400\text{ cm}^2\); c) \(600\text{ cm}^2\); d) \(1000\text{ cm}^2\).

Metoda: Muchia și aria totală a cubului

1. 1

   Aflăm lungimea unei muchii

   l=\frac{120}{12}=10\text{ cm}

   Un cub are 12 muchii, toate de aceeași lungime \(l\). Suma lor este \(12\cdot l=120\), deci \(l=120:12=10\) cm.

2. 2

   Calculăm aria unei fețe

   A_{fata}=l^2=10^2=100\text{ cm}^2

   Fiecare față a cubului este un pătrat cu latura \(l=10\) cm. Aria unui pătrat este latura la puterea a doua.

3. 3

   Calculăm aria totală

   A_t=6\cdot l^2=6\cdot 100=600\text{ cm}^2

   Cubul are 6 fețe pătrate egale, deci aria totală este de 6 ori aria unei fețe. Rezultă \(600\text{ cm}^2\), varianta c). Varianta a) \(100\) este aria unei singure fețe; b) \(400\) ar veni din 4 fețe (doar fețele laterale); d) \(1000\) este volumul \(10^3\), nu aria.

Răspuns: Aria totală a cubului este \(600\text{ cm}^2\), deci varianta corectă este c).

Un automobil a parcurs distanța dintre două orașe în trei zile. În prima zi a parcurs \(\frac{3}{10}\) din distanță și încă 13 km. În a doua zi a parcurs \(\frac{2}{5}\) din distanța rămasă după prima zi. În a treia zi a parcurs restul distanței, adică 93 km. a) (2p) Este posibil ca distanța parcursă a doua zi să fie egală cu 60 km? Justifică răspunsul dat. b) (3p) Determină distanța dintre cele două orașe.

Metoda: Fracții dintr-o cantitate și ecuație

1. 1

   Ce parte din drumul rămas se parcurge în ziua a treia

   1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}

   După prima zi rămâne o distanță. Din ea, în a doua zi se parcurg \(\frac{2}{5}\), deci în a treia zi se parcurge restul: \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) din distanța rămasă după prima zi.

2. 2

   a) Aflăm distanța parcursă în ziua a doua

   \frac{3}{5}\cdot d=93 \Rightarrow d=155 ;\quad \frac{2}{5}\cdot 155=62

   Cei 93 km din ziua a treia reprezintă \(\frac{3}{5}\) din distanța rămasă după prima zi. Dacă \(\frac{3}{5}\) înseamnă 93 km, atunci un cincime înseamnă \(93:3=31\) km, deci distanța rămasă este \(5\cdot 31=155\) km. În a doua zi s-au parcurs \(2\cdot 31=62\) km. (Baremul spune la fel: \(\frac{2}{3}\) din 93 km = 62 km.) Cum 62 ≠ 60, nu este posibil ca în a doua zi să se fi parcurs 60 km.

3. 3

   b) Distanța rămasă după prima zi și prima zi

   155+\frac{3}{10}x+13=x

   Notăm cu \(x\) distanța dintre orașe. După prima zi au rămas 155 km, deci în prima zi s-a parcurs \(x-155\) km. Dar în prima zi s-a parcurs \(\frac{3}{10}x+13\). Deci \(\frac{3}{10}x+13+155=x\), adică \(\frac{3}{10}x+168=x\).

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   x-\frac{3}{10}x=168 \Rightarrow \frac{7}{10}x=168 \Rightarrow x=240

   Mutăm termenii cu \(x\) de o parte: \(x-\frac{3}{10}x=\frac{7}{10}x\). Deci \(\frac{7}{10}x=168\), iar \(x=168:\frac{7}{10}=168\cdot\frac{10}{7}=24\cdot 10=240\) km.

5. 5

   Verificare

   72+13=85;\ 155-85\ldots

   Prima zi: \(\frac{3}{10}\cdot 240+13=72+13=85\) km. Rămân \(240-85=155\) km. A doua zi: \(\frac{2}{5}\cdot155=62\) km. A treia zi: \(155-62=93\) km. Se potrivește cu enunțul.

Răspuns: a) Nu este posibil: în a doua zi s-au parcurs 62 km, nu 60 km. b) Distanța dintre cele două orașe este 240 km.

Se consideră expresia \(E(x)=(x+4)^2+(x-1)^2-(\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2}x-3)\), unde \(x\) este număr real. (2p) a) Demonstrează că \(E(x)=6x+26\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Calculează \(A-B\), unde \(A=E(1)+E(3)+\ldots+E(11)\) și \(B=E(2)+E(4)+\ldots+E(10)\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   a) Desfacem parantezele cu formulele de calcul prescurtat

   E(x)=(x^2+8x+16)+(x^2-2x+1)-(2x^2-9)

   Folosim \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) pentru \((x+4)^2=x^2+8x+16\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) pentru \((x-1)^2=x^2-2x+1\) și \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) pentru ultimul produs: \((\sqrt{2}x)^2-3^2=2x^2-9\). Facem asta ca să scăpăm de puteri și de radicali și să rămână doar termeni pe care îi putem aduna.

2. 2

   a) Reducem termenii asemenea

   E(x)=x^2+8x+16+x^2-2x+1-2x^2+9=6x+26

   Scoatem paranteza din fața minusului, schimbând semnele: \(-(2x^2-9)=-2x^2+9\). Apoi adunăm separat termenii cu \(x^2\): \(x^2+x^2-2x^2=0\); termenii cu \(x\): \(8x-2x=6x\); numerele: \(16+1+9=26\). Rezultă \(E(x)=6x+26\), pentru orice \(x\) real, deci am demonstrat.

3. 3

   b) Grupăm termenii în perechi

   A-B=(E(1)-E(2))+(E(3)-E(4))+\ldots+(E(9)-E(10))+E(11)

   În \(A\) sunt termenii \(E(1),E(3),\ldots,E(11)\), adică 6 termeni, iar în \(B\) sunt \(E(2),E(4),\ldots,E(10)\), adică 5 termeni. Împerechem fiecare termen din \(A\) cu următorul din \(B\); rămâne în plus \(E(11)\). Avem 5 perechi.

4. 4

   b) Calculăm diferența dintr-o pereche

   E(k)-E(k+1)=(6k+26)-(6(k+1)+26)=-6

   Folosim formula de la a). Diferența oricăror doi termeni consecutivi este \(6k+26-6k-6-26=-6\). Deci fiecare dintre cele 5 perechi dă \(-6\).

5. 5

   b) Calculăm \(E(11)\) și rezultatul final

   A-B=(-6)\cdot5+E(11)=-30+(6\cdot11+26)=-30+92=62

   Avem 5 perechi, fiecare egală cu \(-6\), deci \(5\cdot(-6)=-30\). Termenul rămas este \(E(11)=6\cdot11+26=92\). Adunând: \(-30+92=62\).

Răspuns: a) \(E(x)=6x+26\) pentru orice \(x\) real; b) \(A-B=62\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=-3x+5\). a) Arată că \(f(3)+f(0)=1\). b) În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A\) și \(B\) situate pe reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\). Știind că punctul \(A\) are abscisa 3 și punctul \(B\) are ordonata 5, determină distanța dintre punctele \(A\) și \(B\). (Figura arată graficul funcției, o dreaptă care coboară, ce taie axa Oy deasupra lui O.)

Metoda: Valoarea funcției și distanța în plan

1. 1

   a) Calculăm f(3)

   f(3)=-3\cdot 3+5=-9+5=-4

   Pentru a afla \(f(3)\), înlocuim peste tot x cu 3 în formula funcției. Înmulțim întâi \(-3\cdot 3=-9\), apoi adunăm 5.

2. 2

   a) Calculăm f(0) și suma

   f(0)=-3\cdot 0+5=5,\quad f(3)+f(0)=-4+5=1

   Înlocuim x cu 0: \(-3\cdot 0=0\), deci \(f(0)=5\). Adunăm cele două valori și obținem 1, exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Găsim punctul A

   A(3,f(3))=A(3,-4)

   Un punct de pe graficul funcției are coordonatele \((x,f(x))\). Abscisa lui A este 3, deci ordonata este \(f(3)=-4\), calculată la a).

4. 4

   b) Găsim punctul B

   f(x)=5\Rightarrow -3x+5=5\Rightarrow -3x=0\Rightarrow x=0,\ B(0,5)

   Ordonata lui B este 5, deci \(f(x)=5\). Scădem 5 din ambii membri și obținem \(-3x=0\), deci \(x=0\). Rezultă \(B(0,5)\), punctul în care graficul taie axa Oy.

5. 5

   b) Calculăm distanța AB

   AB=\sqrt{(3-0)^2+(-4-5)^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}

   Diferența pe orizontală este \(3-0=3\), iar pe verticală \(-4-5=-9\). Împreună cu segmentul AB formează un triunghi dreptunghic, deci aplicăm teorema lui Pitagora: \(AB^2=3^2+9^2=90\). Apoi \(\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}\).

Răspuns: a) \(f(3)+f(0)=-4+5=1\). b) \(A(3,-4)\), \(B(0,5)\), \(AB=3\sqrt{10}\).

Se consideră trapezul \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(AB = 15\) cm, \(CD = 5\) cm, \(BC = 8\) cm și \(AD = 6\) cm. Dreptele \(AD\) și \(BC\) se intersectează în punctul \(P\). (2p) a) Arată că lungimea segmentului \(PD\) este egală cu \(3\) cm. (3p) b) Determină cât la sută reprezintă aria triunghiului \(PCD\) din aria trapezului \(ABCD\). Figura: baza mare \(AB\) este jos, baza mică \(DC\) este sus, iar laturile neparalele \(AD\) și \(BC\) se prelungesc până se întâlnesc în \(P\), deasupra lui \(DC\).

Metoda: Asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Arătăm că triunghiurile PDC și PAB sunt asemenea

   \Delta PDC \sim \Delta PAB \Rightarrow \frac{PD}{PA}=\frac{DC}{AB}

   Deoarece \(DC \parallel AB\), după teorema fundamentală a asemănării triunghiul \(PDC\) este asemenea cu triunghiul \(PAB\). Latura \(PD\) corespunde lui \(PA\), iar \(DC\) corespunde lui \(AB\). La triunghiuri asemenea, rapoartele laturilor corespondente sunt egale.

2. 2

   a) Calculăm PD

   \frac{PD}{PD+6}=\frac{1}{3} \Rightarrow 3\cdot PD = PD+6 \Rightarrow PD=3

   Avem \(PA = PD + DA = PD + 6\). Înlocuim în raportul \(\frac{PD}{PA}=\frac13\) și folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor: \(3\cdot PD = PD + 6\), deci \(2\cdot PD = 6\), adică \(PD = 3\) cm.

3. 3

   b) Raportul ariilor celor două triunghiuri

   \frac{\mathcal{A}_{PDC}}{\mathcal{A}_{PAB}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}

   La triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare. Raportul de asemănare este \(\frac13\), deci raportul ariilor este \(\frac19\). Altfel spus, aria triunghiului \(PAB\) are \(9\) părți egale, din care \(PDC\) are \(1\) parte.

4. 4

   b) Aria trapezului și procentul

   \mathcal{A}_{ABCD}=8\cdot \mathcal{A}_{PDC} \Rightarrow \frac{p}{100}=\frac{1}{8} \Rightarrow p=12{,}5

   Trapezul \(ABCD\) este triunghiul \(PAB\) din care scoatem triunghiul \(PDC\), deci aria lui are \(9-1=8\) părți. Atunci \(\mathcal{A}_{PDC}\) este \(\frac18\) din aria trapezului. Transformăm în procent: \(\frac{1}{8}=\frac{p}{100}\), deci \(p = \frac{100}{8} = 12{,}5\).

Răspuns: a) \(PD = 3\) cm; b) aria triunghiului \(PCD\) reprezintă \(12{,}5\%\) din aria trapezului \(ABCD\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC = 40\) cm. Dreptele \(AD\) și \(BC\) sunt perpendiculare, punctul \(D\) aparține dreptei \(BC\) și \(\frac{CD}{AD} = \frac{3}{4}\). (2p) a) Arată că \(AD = 32\) cm. (3p) b) Calculează perimetrul triunghiului \(ABC\). (Figură: \(AD\) este înălțimea din \(A\) pe ipotenuza \(BC\), iar \(D\) se află între \(B\) și \(C\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora și teorema catetei

1. 1

   Notăm lungimile cu o parte comună \(k\)

   AD = 4k,\quad CD = 3k

   Din \(\frac{CD}{AD} = \frac{3}{4}\) știm că \(CD\) are 3 părți egale, iar \(AD\) are 4 părți egale. Notăm o parte cu \(k\), număr real pozitiv. Astfel, \(AD = 4k\) și \(CD = 3k\).

2. 2

   a) Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \(ADC\)

   AD^2 + CD^2 = AC^2 \Rightarrow 16k^2 + 9k^2 = 1600 \Rightarrow k^2 = 64 \Rightarrow k = 8

   Triunghiul \(ADC\) este dreptunghic în \(D\), pentru că \(AD \perp BC\). Ipotenuza este \(AC = 40\). Teorema lui Pitagora dă \(25k^2 = 1600\), deci \(k^2 = 64\) și \(k = 8\). Atunci \(AD = 4 \cdot 8 = 32\) cm, iar \(CD = 3 \cdot 8 = 24\) cm.

3. 3

   b) Calculăm \(BD\) cu teorema înălțimii

   AD^2 = CD \cdot BD \Rightarrow BD = \frac{32^2}{24} = \frac{128}{3}\text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), \(AD\) este înălțimea pe ipotenuză, deci \(AD^2 = BD \cdot CD\). Obținem \(1024 = 24 \cdot BD\), deci \(BD = \frac{128}{3}\) cm. Apoi \(BC = BD + CD = \frac{128}{3} + 24 = \frac{200}{3}\) cm.

4. 4

   Calculăm \(AB\) cu teorema catetei

   AB^2 = BD \cdot BC = \frac{128}{3} \cdot \frac{200}{3} = \frac{25600}{9} \Rightarrow AB = \frac{160}{3}\text{ cm}

   Teorema catetei spune că pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Proiecția lui \(AB\) este \(BD\), deci \(AB^2 = BD \cdot BC\). Rezultă \(AB^2 = \frac{25600}{9}\), deci \(AB = \frac{160}{3}\) cm.

5. 5

   Calculăm perimetrul triunghiului \(ABC\)

   P = AC + AB + BC = 40 + \frac{160}{3} + \frac{200}{3} = 40 + 120 = 160\text{ cm}

   Perimetrul este suma celor trei laturi. Fracțiile au același numitor, deci \(\frac{160}{3} + \frac{200}{3} = \frac{360}{3} = 120\). Rezultă \(P = 40 + 120 = 160\) cm.

Răspuns: a) \(AD = 32\) cm; b) perimetrul triunghiului \(ABC\) este \(160\) cm.

Se consideră paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 6\sqrt{2}\) cm, \(BC = 6\) cm și măsura unghiului \(D'CA'\) egală cu \(30^\circ\). (2p) a) Arată că \(DD' = 6\) cm. (3p) b) Calculează distanța de la punctul \(A\) la planul \((A'D'C)\). (În figură: \(A'D'C\) este triunghiul format de punctele \(A'\), \(D'\) și \(C\) ale paralelipipedului.)

Metoda: Teorema lui Pitagora și perpendiculara pe plan

1. 1

   a) Triunghiul A'D'C este dreptunghic în D'

   A'D' \perp (C'D'D),\ D'C \subset (C'D'D) \Rightarrow A'D' \perp D'C

   Muchia \(A'D'\) este perpendiculară pe fața \(C'D'D\) (în paralelipiped dreptunghic muchiile sunt perpendiculare pe fețele laterale vecine). Deci \(A'D'\) este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan, inclusiv pe \(D'C\). Așadar triunghiul \(A'D'C\) are unghi drept în \(D'\).

2. 2

   a) Aflăm A'C cu unghiul de 30°

   \angle A'CD' = 30^\circ \Rightarrow A'C = 2\cdot A'D' = 2\cdot 6 = 12 \text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic \(A'D'C\), cateta \(A'D'\) se opune unghiului de \(30^\circ\), deci este jumătate din ipotenuză. Cum \(A'D' = BC = 6\) cm (muchii opuse egale în paralelipiped), ipotenuza este \(A'C = 12\) cm.

3. 3

   a) Aflăm D'C și DD'

   D'C = 6\sqrt{3}\text{ cm},\quad DD' = \sqrt{12^2-(6\sqrt{3})^2} = 6 \text{ cm}

   În același triunghi, cu Pitagora: \(D'C^2 = 12^2-6^2 = 108\), deci \(D'C = 6\sqrt{3}\). Apoi \(D'C\) este diagonala dreptunghiului \(CDD'C'\), deci \(D'C\) este ipotenuza în triunghiul \(D'DC\). Baremul calculează \(DD'\) din \(A'C=12\) și \(D'C=6\sqrt{3}\), iar rezultatul este \(6\) cm; el poate fi verificat și direct: \(DD'^2 = D'C^2 - DC^2 = 108-72 = 36\), cu \(DC=AB=6\sqrt{2}\).

4. 4

   b) Construim perpendiculara din A pe plan

   AM \perp A'B,\ M \in A'B \Rightarrow AM \perp (A'D'C) \Rightarrow d(A,(A'D'C)) = AM

   Arătăm întâi că \(D'A' \perp (A'AB)\), pentru că \(D'A'\) este perpendiculară pe \(A'B'\) și pe \(AA'\), două drepte concurente din planul \(A'AB\). Ducem \(AM \perp A'B\). Cum \(A'D' \perp (A'AB)\), avem și \(A'D' \perp AM\). Astfel \(AM\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((A'D'C)\) (\(A'B\) și \(A'D'\)), deci \(AM \perp (A'D'C)\) și \(AM\) este distanța cerută.

5. 5

   b) Calculăm AM în triunghiul A'AB

   A'B = \sqrt{6^2+(6\sqrt{2})^2}=6\sqrt{3},\quad AM=\frac{AA'\cdot AB}{A'B}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=2\sqrt{6}\text{ cm}

   Triunghiul \(A'AB\) este dreptunghic în \(A\), cu \(AA'=6\) și \(AB=6\sqrt{2}\). Cu Pitagora: \(A'B^2 = 36+72 = 108\), deci \(A'B = 6\sqrt{3}\). \(AM\) este înălțimea pe ipotenuză: \(AM = \frac{AA' \cdot AB}{A'B}\) (din două formule pentru aria triunghiului). Rezultă \(AM = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}\).

Răspuns: a) \(DD' = 6\) cm; b) distanța de la \(A\) la planul \((A'D'C)\) este \(2\sqrt{6}\) cm.