Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2021, sesiunea iunie–iulie (varianta 03)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\), așezate în această ordine pe o dreaptă. Punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\) și punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AD\). Valoarea raportului \(\frac{BD}{AB}\) este egală cu: a) \(3\); b) \(2\); c) \(0{,}75\); d) \(0{,}50\).

Metoda: Segmente și mijlocul unui segment

1. 1

   Folosim faptul că B este mijlocul lui AC

   AB = BC

   Dacă \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\), atunci \(B\) împarte segmentul în două părți egale. Notăm \(AB = a\), deci și \(BC = a\).

2. 2

   Folosim faptul că C este mijlocul lui AD

   CD = AC = 2a

   Punctul \(C\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(AC = CD\). Cum \(AC = 2a\), rezultă \(CD = 2a\).

3. 3

   Calculăm raportul BD/AB

   \frac{BD}{AB} = \frac{3a}{a} = 3

   Înlocuim \(BD = 3a\) și \(AB = a\). Simplificăm cu \(a\) și obținem \(3\). Deci răspunsul corect este a). Celelalte variante nu merg: \(BD\) este mai lung decât \(AB\), deci raportul este mai mare decât \(1\); valorile \(0{,}75\) și \(0{,}50\) sunt subunitare, iar \(2\) ar însemna \(BD = 2a\), dar \(BD = 3a\).

Răspuns: Raportul \(\frac{BD}{AB}\) este egal cu \(3\), deci varianta corectă este a).

Subiectul al II-lea, itemul 2: În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile \(AOB\) și \(BOC\), adiacente suplementare, semidreapta \(OD\) este bisectoarea unghiului \(AOB\) și măsura unghiului \(BOC\) este de \(40^\circ\). Măsura unghiului \(BOD\) este egală cu: a) \(70^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(40^\circ\); d) \(30^\circ\). (Figura: punctele A, O, C sunt pe aceeași dreaptă, O între A și C; semidreptele OB și OD sunt de aceeași parte a dreptei AC, iar OD se află în interiorul unghiului AOB.)

Metoda: Unghiuri suplementare și bisectoare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului AOB

   m(\angle AOB)=180^\circ-40^\circ=140^\circ

   Unghiurile \(AOB\) și \(BOC\) sunt adiacente și suplementare. Asta înseamnă că au latura comună OB, iar laturile necomune OA și OC formează o dreaptă (unghi alungit). Două unghiuri suplementare au suma măsurilor \(180^\circ\). De aceea scădem din \(180^\circ\) măsura cunoscută, \(40^\circ\).

2. 2

   Folosim bisectoarea pentru unghiul BOD

   m(\angle BOD)=\frac{m(\angle AOB)}{2}=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ

   Semidreapta OD este bisectoarea unghiului \(AOB\), deci îl împarte în două unghiuri congruente: \(\angle AOD\) și \(\angle BOD\). Fiecare are jumătate din \(140^\circ\), adică \(70^\circ\).

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   m(\angle BOD)=70^\circ

   Rezultatul \(70^\circ\) corespunde variantei a). Verificare: \(70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ\), adică \(\angle AOD+\angle DOB+\angle BOC\) formează unghiul alungit. Celelalte variante nu merg: \(60^\circ\) ar da \(60+60+40=160\), \(40^\circ\) ar da \(120\), iar \(30^\circ\) ar da \(100\), niciuna nu face \(180\).

Răspuns: Varianta a) \(70^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 4\) cm și \(AC = 6\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AC\). Lungimea segmentului \(BM\) este egală cu: a) 3 cm; b) 4 cm; c) 5 cm; d) 6 cm. (În figură: \(M\) se află pe \(AC\), iar \(BM\) este segmentul care unește vârful \(B\) cu \(M\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm lungimea lui AM

   AM=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}

   Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AC\), deci împarte latura în două părți egale. De aceea \(AM\) este jumătate din \(AC\).

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic ABM

   \triangle ABM,\ \angle A=90^\circ,\ AB=4,\ AM=3

   Unghiul \(A\) al triunghiului \(ABC\) este drept. Punctul \(M\) este pe \(AC\), deci și în triunghiul \(ABM\) unghiul \(A\) este drept. Catetele sunt \(AB=4\) cm și \(AM=3\) cm, iar ipotenuza este \(BM\).

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   BM^2=AB^2+AM^2=4^2+3^2=16+9=25

   În triunghiul dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Așa obținem \(BM^2\).

4. 4

   Aflăm BM și alegem varianta corectă

   BM=\sqrt{25}=5\text{ cm}

   Căutăm numărul pozitiv al cărui pătrat este 25, adică 5. Deci \(BM=5\) cm, varianta c). Varianta a) (3 cm) este chiar \(AM\), iar b) (4 cm) este \(AB\), nu \(BM\). Varianta d) (6 cm) nu merge, pentru că \(6^2=36\), nu 25.

Răspuns: BM = 5 cm, varianta c).

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AB = 6\) cm și \(BC = 3\) cm. Bisectoarea unghiului \(BAD\) intersectează latura \(DC\) în punctul \(P\). Măsura unghiului \(APB\) este egală cu: a) \(135^\circ\); b) \(90^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(45^\circ\).

Metoda: Unghiuri și triunghi isoscel

1. 1

   Aflăm unghiul \(DAP\) din bisectoare

   \angle DAP = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ

   Într-un dreptunghi toate unghiurile sunt drepte, deci \(\angle BAD = 90^\circ\). Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale, deci \(\angle DAP = \angle PAB = 45^\circ\).

2. 2

   Folosim paralelismul \(AB \parallel DC\)

   \angle APD = \angle PAB = 45^\circ

   Într-un dreptunghi laturile opuse sunt paralele: \(AB \parallel DC\). Dreapta \(AP\) este secantă, iar unghiurile \(PAB\) și \(APD\) sunt alterne interne, deci sunt congruente. Așadar \(\angle DPA = 45^\circ\).

3. 3

   Unghiul \(APB\) din unghiul alungit în \(P\)

   \angle APB = 180^\circ - \angle APD - \angle BPC

   Triunghiul \(ADP\) este dreptunghic în \(D\) și are \(\angle DAP = 45^\circ\), deci este isoscel: \(DP = AD = 3\) cm. Atunci \(PC = 6 - 3 = 3\) cm \(= BC\), deci triunghiul \(PCB\) este dreptunghic isoscel în \(C\) și \(\angle BPC = 45^\circ\). Punctele \(D, P, C\) sunt coliniare, deci unghiurile din \(P\) însumează \(180^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle APB = 90^\circ

   Rezultatul \(90^\circ\) corespunde variantei b). Variantele \(135^\circ\), \(60^\circ\) și \(45^\circ\) nu se obțin: unghiurile de lângă \(P\) sunt \(45^\circ\), \(90^\circ\), \(45^\circ\), deci nu apare niciuna dintre ele ca unghi \(APB\) (\(45^\circ\) este doar \(\angle APD\)).

Răspuns: b) \(90^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și raza de \(2\) cm, unde \(AB\) și \(CD\) sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul \(C\) la dreapta \(AD\) este egală cu: a) \(2\) cm; b) \(2\sqrt{2}\) cm; c) \(2\sqrt{3}\) cm; d) \(4\) cm. (Figură: cerc cu centrul O, diametrele AB orizontal și CD vertical, C sus, D jos, segmentul AD desenat.)

Metoda: Distanța de la punct la dreaptă

1. 1

   Aflăm lungimile diametrelor și segmentelor din figură

   CD = 2R = 4 \text{ cm}, \quad OA = OD = 2 \text{ cm}

   Raza cercului este \(2\) cm, deci diametrul \(CD\) are \(2\cdot 2 = 4\) cm. Diametrele \(AB\) și \(CD\) sunt perpendiculare și se intersectează în centrul \(O\), deci \(OA = OC = OD = 2\) cm (toate sunt raze).

2. 2

   Găsim perpendiculara din C pe AD

   \angle CAD = 90^\circ \Rightarrow CA \perp AD

   Unghiul \(CAD\) este înscris în cerc și se sprijină pe diametrul \(CD\), deci are \(90^\circ\). Altfel: în triunghiul \(ACD\), mediana \(AO\) este egală cu \(OC = OD\), adică jumătate din \(CD\), deci triunghiul este dreptunghic în \(A\) (reciproca teoremei medianei corespunzătoare ipotenuzei). Rezultă că \(CA\) este perpendiculară pe \(AD\), deci distanța de la \(C\) la dreapta \(AD\) este lungimea segmentului \(CA\).

3. 3

   Calculăm CA cu teorema lui Pitagora

   CA^2 = OA^2 + OC^2 = 2^2 + 2^2 = 8 \Rightarrow CA = 2\sqrt{2} \text{ cm}

   Triunghiul \(AOC\) este dreptunghic în \(O\), pentru că diametrele \(AB\) și \(CD\) sunt perpendiculare. Catetele sunt \(OA = OC = 2\) cm. Din teorema lui Pitagora, \(CA^2 = 4 + 4 = 8\), deci \(CA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) cm.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   d(C, AD) = CA = 2\sqrt{2} \text{ cm}

   Distanța cerută este \(2\sqrt{2}\) cm, deci varianta corectă este b). Varianta a) \(2\) cm ar fi lungimea razei, nu a lui \(CA\). Varianta c) \(2\sqrt{3}\) nu rezultă din niciun calcul. Varianta d) \(4\) cm este diametrul \(CD\), care este ipotenuza, mai lungă decât cateta \(CA\).

Răspuns: b) \(2\sqrt{2}\) cm

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\), cu baza \(ABCD\) și \(VA = AB = 4\) cm. Aria laterală a piramidei \(VABCD\) este egală cu: a) \(16\ \text{cm}^2\); b) \(16\sqrt{2}\ \text{cm}^2\); c) \(16\sqrt{3}\ \text{cm}^2\); d) \(32\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Ce fel de triunghiuri sunt fețele laterale?

   VA=VB=VC=VD=AB=BC=CD=DA=4\text{ cm}

   Piramida este regulată, deci baza \(ABCD\) este pătrat și muchiile laterale sunt egale: \(VA=VB=VC=VD\). Cum \(VA=AB=4\) cm, toate muchiile sunt de 4 cm. Deci fiecare față laterală, de exemplu \(VAB\), are toate laturile egale cu 4 cm: este triunghi echilateral.

2. 2

   Aria unei fețe laterale

   \mathcal{A}_{VAB}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Pentru un triunghi echilateral cu latura \(l\), aria este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Aici \(l=4\), deci aria este \(\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\) cm².

3. 3

   Aria laterală a piramidei

   \mathcal{A}_l=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Piramida are 4 fețe laterale egale, deci aria laterală este de 4 ori aria unei fețe: \(4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\) cm². Este varianta c). Celelalte nu merg: \(16\) sau \(32\) ar însemna ariile fără \(\sqrt{3}\), iar \(16\sqrt{2}\) ar apărea la alt tip de triunghi (dreptunghic isoscel), nu la echilateral.

Răspuns: Aria laterală este \(16\sqrt{3}\ \text{cm}^2\), deci varianta corectă este c).

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu \(6\text{ km}\) mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi \(50\%\) din distanța parcursă în primele două zile. a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte \(50\%\) din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi \(9\text{ km}\), determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

Metoda: Procente și ecuație liniară

1. 1

   a) Presupunem că primele două zile sunt 50% din traseu

   50\% \text{ din } 50\% = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=25\%

   Presupunem că primele două zile reprezintă \(50\%\) din întregul traseu. În a treia zi turistul parcurge \(50\%\) din distanța primelor două zile, deci \(50\%\) din \(50\%\) din traseu. Asta înseamnă jumătate din jumătate, adică un sfert din traseu.

2. 2

   a) Tragem concluzia

   50\% + 25\% = 75\% \neq 100\%

   Dacă primele două zile ar fi \(50\%\), iar a treia zi \(25\%\), traseul întreg ar avea doar \(75\%\) din lungimea lui, ceea ce este imposibil: cele trei zile trebuie să dea \(100\%\). Deci nu este posibil.

3. 3

   b) Distanța din primele două zile

   \text{primele două zile} = 2\cdot 9 = 18\text{ km}

   În a treia zi a parcurs \(50\%\), adică jumătate din distanța primelor două zile. Deci primele două zile înseamnă dublul lui 9 km.

4. 4

   b) Scriem ecuația

   x+(x-6)=18

   Notăm cu \(x\) distanța din prima zi. În a doua zi a parcurs \(x-6\) km. Suma lor este 18 km, deci obținem ecuația de mai sus.

5. 5

   b) Rezolvăm ecuația

   2x-6=18 \Rightarrow 2x=24 \Rightarrow x=12

   Reducem termenii: \(2x-6=18\). Adunăm 6 la ambii membri și obținem \(2x=24\), apoi împărțim la 2. Verificare: prima zi 12 km, a doua zi 6 km, împreună 18 km, iar jumătate din 18 este 9 km, cât în a treia zi.

Răspuns: a) Nu, pentru că atunci ar rezulta \(50\%+25\%=75\%\) din traseu, nu \(100\%\). b) În prima zi a parcurs \(12\text{ km}\).

Se consideră expresia \(E(x)=(2x-1)^2-(2x-4)(x+2)+(x+3)^2\), unde \(x\) este număr real. a) (2p) Arată că \(E(x)=3x^2+2x+18\), pentru orice număr real \(x\). b) (3p) Demonstrează că numărul natural \(A=E(n)+n\) este multiplu de 6, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   a) Desfacem pătratele cu formula de calcul prescurtat

   (2x-1)^2=4x^2-4x+1,\quad (x+3)^2=x^2+6x+9

   Folosim formula \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\). Pentru \((2x-1)^2\) avem \(a=2x\), \(b=1\), deci \(4x^2-4x+1\). Pentru \((x+3)^2\) avem \(a=x\), \(b=3\), deci \(x^2+6x+9\). Facem asta ca să scăpăm de puteri și să putem aduna termenii asemenea.

2. 2

   a) Desfacem produsul din mijloc

   (2x-4)(x+2)=2x^2+4x-4x-8=2x^2-8

   Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: \(2x\cdot x=2x^2\), \(2x\cdot 2=4x\), \(-4\cdot x=-4x\), \(-4\cdot 2=-8\). Termenii \(4x\) și \(-4x\) se reduc. Atenție: acest produs se scade în expresie, deci pune-l între paranteze cu minus în față.

3. 3

   a) Adunăm și reducem termenii asemenea

   E(x)=4x^2-4x+1-(2x^2-8)+x^2+6x+9=3x^2+2x+18

   Scoatem paranteza cu minus în față, deci schimbăm semnele: \(-2x^2+8\). Apoi adunăm separat termenii cu \(x^2\): \(4-2+1=3\); termenii cu \(x\): \(-4+6=2\); numerele: \(1+8+9=18\). Așa obținem exact \(3x^2+2x+18\), deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice \(x\).

4. 4

   b) Calculăm A

   A=E(n)+n=3n^2+2n+18+n=3n^2+3n+18

   Înlocuim \(x\) cu \(n\) în rezultatul de la a) și adunăm \(n\). Termenii \(2n\) și \(n\) dau \(3n\). Obținem o sumă în care toți coeficienții se împart la 3, ceea ce ne va permite să dăm factor comun.

5. 5

   b) Dăm factor comun 3

   A=3(n^2+n+6)

   Scoatem 3 factor comun: \(3n^2=3\cdot n^2\), \(3n=3\cdot n\), \(18=3\cdot 6\). Deci \(A\) este multiplu de 3. Mai rămâne să arătăm că paranteza este număr par, pentru că atunci \(A\) se împarte și la 2, iar 2 și 3 dau 6.

6. 6

   b) Arătăm că paranteza este număr par

   n^2+n+6=n(n+1)+6

   Scriem \(n^2+n=n(n+1)\). Produsul a două numere naturale consecutive este mereu par, pentru că unul dintre ele este par. Dacă \(n\) e par, produsul e par; dacă \(n\) e impar, atunci \(n+1\) e par. Adunând 6 (număr par), suma rămâne pară. Deci \(n^2+n+6\) este multiplu de 2, iar \(A=3\cdot(\text{număr par})\) se împarte la 3 și la 2, adică este multiplu de 6.

Răspuns: a) \(E(x)=3x^2+2x+18\) pentru orice \(x\) real; b) \(A=3(n^2+n+6)\), iar \(n^2+n+6\) este par, deci \(A\) este multiplu de 6.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-2\). a) Arată că \(f(3)-f(-3)=6\). b) În sistemul de axe ortogonale \(xOy\), determină distanța de la punctul \(C(-2,0)\) la reprezentarea grafică a funcției \(f\). (Figura arată o dreaptă care taie axa Ox la dreapta lui O și axa Oy sub O.)

Metoda: Funcții liniare și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(3) și f(-3)

   f(3)=3-2=1,\quad f(-3)=-3-2=-5

   Pentru a afla \(f(3)\), înlocuim pe \(x\) cu 3 în formula \(f(x)=x-2\). La fel procedăm pentru \(-3\). Obținem \(f(3)=1\) și \(f(-3)=-5\).

2. 2

   a) Efectuăm diferența

   f(3)-f(-3)=1-(-5)=1+5=6

   Scădem cele două valori. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea opusului său: \(1-(-5)=1+5=6\). Am arătat egalitatea cerută.

3. 3

   b) Punctele în care graficul taie axele

   y=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2,\; A(2,0);\quad x=0\Rightarrow y=-2,\; B(0,-2)

   Graficul este o dreaptă, deci îi trebuie două puncte. Intersecția cu Ox are \(y=0\), deci \(x=2\), adică \(A(2,0)\). Intersecția cu Oy are \(x=0\), deci \(f(0)=-2\), adică \(B(0,-2)\).

4. 4

   b) Triunghiul ABC și aria lui

   AC=OB\cdot ... \Rightarrow \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AC\cdot OB}{2}=\frac{d(C,AB)\cdot AB}{2}

   Punctul \(C(-2,0)\) este pe axa Ox, ca și \(A\). Deci \(AC=2-(-2)=4\), iar \(OB=2\) este înălțimea din B pe AC, pentru că \(OB\perp AC\). Aria se poate scrie în două moduri: cu baza AC și înălțimea OB, sau cu baza AB și înălțimea \(d(C,AB)\), adică exact distanța căutată.

5. 5

   b) Lungimea AB și distanța

   AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2};\quad d(C,AB)=\frac{4\cdot 2}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}

   Triunghiul AOB este dreptunghic în O cu \(OA=OB=2\), deci după teorema lui Pitagora \(AB=\sqrt{8}=2\sqrt2\). Din egalitatea ariilor, \(d(C,AB)\cdot 2\sqrt2=4\cdot2\), deci \(d=\frac{8}{2\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2\) (raționalizăm numitorul: \(\frac{4\sqrt2}{2}\)).

Răspuns: a) \(f(3)-f(-3)=1-(-5)=6\). b) Distanța de la C la graficul lui f este \(2\sqrt{2}\) cm (unități).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\), cu \(AB = 3\) cm și înălțimea \(AD\), unde punctul \(D\) se află pe latura \(BC\). Punctul \(M\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(AM = 1\) cm. Paralela prin punctul \(M\) la dreapta \(AC\) intersectează dreapta \(AD\) în punctul \(Q\) și dreapta \(BC\) în punctul \(P\). a) Arată că perimetrul triunghiului \(BMP\) este egal cu \(6\) cm. b) Determină lungimea segmentului \(PQ\).

Metoda: Triunghi echilateral și unghiuri

1. 1

   a) Triunghiul BMP este echilateral

   MP \parallel AC \Rightarrow \angle BMP = \angle BAC = 60^\circ,\ \angle BPM = \angle BCA = 60^\circ

   Deoarece \(MP \parallel AC\), unghiurile corespondente sunt congruente: \(\angle BMP = \angle BAC = 60^\circ\) și \(\angle BPM = \angle BCA = 60^\circ\), pentru că triunghiul \(ABC\) este echilateral. Unghiul \(B\) are tot \(60^\circ\), deci triunghiul \(BMP\) are toate unghiurile de \(60^\circ\) și este echilateral.

2. 2

   a) Calculăm perimetrul

   BM = AB - AM = 3 - 1 = 2,\quad P_{BMP} = 3\cdot BM = 6

   Avem \(BM = AB - AM = 3 - 1 = 2\) cm. Triunghiul \(BMP\) este echilateral, deci toate laturile sunt de \(2\) cm, iar perimetrul este \(3 \cdot 2 = 6\) cm.

3. 3

   b) Aflăm BD

   BD = \frac{BC}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5

   În triunghiul echilateral \(ABC\), înălțimea \(AD\) este și mediană, deci \(D\) este mijlocul lui \(BC\). Așadar \(BD = 3 : 2 = 1{,}5\) cm.

4. 4

   b) Triunghiul DPQ

   DP = BD - BP\ \text{(sau } BP - BD\text{)} = 2 - 1{,}5 = 0{,}5,\quad \angle PQD = 30^\circ \Rightarrow PQ = 2\cdot DP

   Triunghiul \(BMP\) este echilateral, deci \(BP = 2\) cm. Cum \(BD = 1{,}5\) cm, rezultă \(DP = BP - BD = 0{,}5\) cm. Triunghiul \(DPQ\) este dreptunghic în \(D\), deoarece \(AD \perp BC\). Unghiul \(\angle PQD = \angle CAD = 30^\circ\) (corespondente, \(PQ \parallel AC\)), pentru că \(AD\) este și bisectoare, deci \(\angle CAD = 60^\circ : 2 = 30^\circ\). Cateta \(DP\) este opusă unghiului de \(30^\circ\), deci este jumătate din ipotenuza \(PQ\): \(PQ = 2 \cdot DP\).

5. 5

   b) Calculăm PQ

   PQ = 2\cdot 0{,}5 = 1

   Din \(PQ = 2 \cdot DP\) și \(DP = 0{,}5\) cm obținem \(PQ = 2 \cdot 0{,}5 = 1\) cm.

Răspuns: a) Perimetrul triunghiului \(BMP\) este \(6\) cm. b) \(PQ = 1\) cm.

Se consideră trapezul isoscel \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), măsura unghiului \(ADC\) egală cu \(120^\circ\) și \(AD = DC = 6\) cm. Dreapta \(MP\) este mediatoarea segmentului \(BC\), unde punctul \(M\) aparține dreptei \(AB\) și punctul \(P\) aparține dreptei \(BC\). a) (2p) Arată că \(AB = 12\) cm. b) (3p) Demonstrează că dreptele \(DM\) și \(MP\) sunt perpendiculare.

Metoda: Trapez isoscel și triunghi echilateral

1. 1

   a) Ducem înălțimile trapezului

   DE \perp AB,\ CF \perp AB \Rightarrow AE = BF = 3

   Ducem \(DE \perp AB\) cu \(E \in AB\) și \(CF \perp AB\) cu \(F \in AB\). Unghiul \(ADC = 120^\circ\) și \(AB \parallel CD\), deci unghiul \(DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) (unghiuri interioare de aceeași parte a secantei). Triunghiul \(AED\) este dreptunghic cu unghiul \(A = 60^\circ\), deci unghiul \(ADE = 30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză: \(AE = AD : 2 = 3\) cm. Trapezul fiind isoscel, la fel \(BF = 3\) cm.

2. 2

   a) Aflăm AB

   AB = AE + EF + FB = 3 + 6 + 3 = 12

   Patrulaterul \(DCFE\) are trei unghiuri drepte (în \(E\), \(F\) și, fiindcă \(DE \parallel CF\) și \(DC \parallel EF\), este dreptunghi). Deci \(EF = DC = 6\) cm. Adunăm segmentele: \(AB = 3 + 6 + 3 = 12\) cm.

3. 3

   b) Triunghiul MBC este echilateral

   MB = MC,\ \angle MBC = 60^\circ \Rightarrow \triangle MBC \text{ echilateral}

   Punctul \(M\) este pe mediatoarea lui \(BC\), deci \(MB = MC\) (proprietatea punctelor de pe mediatoare), deci triunghiul \(MBC\) este isoscel. Unghiul \(MBC = ABC = 60^\circ\) (trapez isoscel, unghiurile de la baza mare sunt egale cu \(60^\circ\)). Un triunghi isoscel cu un unghi de \(60^\circ\) este echilateral. Deci \(MB = BC = 6\) cm. Mediatoarea este și bisectoare în triunghiul echilateral, deci \(\angle BMP = 30^\circ\).

4. 4

   b) Triunghiul AMD este echilateral

   AM = AB - MB = 12 - 6 = 6 = AD,\ \angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle AMD = 60^\circ

   Cum \(MB = 6\) și \(AB = 12\), obținem \(AM = 6\) cm, deci \(AM = AD\). Triunghiul \(AMD\) este isoscel cu unghiul \(A = 60^\circ\), deci este echilateral și unghiul \(AMD = 60^\circ\).

5. 5

   b) Concluzia: DM ⊥ MP

   \angle DMP = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ

   Punctele \(A\), \(M\), \(B\) sunt coliniare, deci unghiurile \(AMD\), \(DMP\) și \(PMB\) formează împreună un unghi alungit de \(180^\circ\). Deci \(\angle DMP = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ\). Prin urmare \(DM \perp MP\).

Răspuns: a) \(AB = 12\) cm. b) \(\angle DMP = 90^\circ\), deci \(DM \perp MP\).

Se consideră cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 6\sqrt{2}\) cm. a) Arată că volumul cubului \(ABCDA'B'C'D'\) este egal cu \(432\sqrt{2}\) cm³. b) Determină distanța de la punctul \(O\) la planul \((BDD')\), unde \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AD'\) și \(A'D\).

Metoda: Volumul cubului și distanța la plan

1. 1

   a) Formula volumului cubului

   V = AB^3 = (6\sqrt{2})^3

   Cubul are toate muchiile egale, deci volumul este muchia la puterea a treia. Aici muchia este \(AB = 6\sqrt{2}\) cm, așa că \(V = (6\sqrt{2})^3\).

2. 2

   a) Calculul volumului

   (6\sqrt{2})^3 = 6^3\cdot(\sqrt{2})^3 = 216\cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}

   Ridicăm la puterea a treia fiecare factor: \(6^3 = 216\). Apoi \((\sqrt{2})^3 = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\). Rezultă \(216\cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}\) cm³, exact cât trebuia arătat.

3. 3

   b) Punctul M și paralelismul OM ∥ AQ

   \{Q\} = AC\cap BD,\quad OM \parallel AQ

   Fie Q intersecția diagonalelor bazei, \(AC\cap BD\). Dreptele AD' și A'D sunt diagonalele pătratului \(ADD'A'\), deci O este mijlocul lui AD'. Fie M mijlocul lui DD'. În triunghiul \(D'AD\), segmentul OM unește mijloacele laturilor \(AD'\) și \(DD'\), așadar este linie mijlocie. În textul baremului apare M ca mijloc al lui \(D'Q\), cu aceeași idee de linie mijlocie. În toate variantele concluzia este \(OM\parallel AQ\) și \(OM = \frac{AQ}{2}\).

4. 4

   b) OM este perpendiculară pe planul (BDD')

   AQ\perp BD,\ AQ\perp DD' \Rightarrow AQ\perp (BDD') \Rightarrow OM\perp (BDD')

   În pătratul ABCD diagonalele sunt perpendiculare, deci \(AQ\perp BD\). Muchia \(DD'\) este perpendiculară pe planul bazei, deci \(AQ\perp DD'\). Dreptele BD și DD' sunt concurente în D și sunt în planul (BDD'), deci \(AQ\perp(BDD')\). Cum \(OM\parallel AQ\), rezultă \(OM\perp(BDD')\). Așadar distanța de la O la plan este chiar \(OM\).

5. 5

   b) Calculul lungimii OM

   OM = \frac{AQ}{2} = \frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4} = 3 \text{ cm}

   AQ este jumătate din diagonala pătratului de latură \(6\sqrt{2}\). Diagonala este \(6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 12\), deci \(AQ = 6\). Atunci \(OM = \frac{AQ}{2} = 3\) cm.

Răspuns: a) \(V = 432\sqrt{2}\) cm³; b) distanța de la O la planul (BDD') este \(3\) cm.