Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2022, model de subiect

În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) și \(E\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB = 1\) cm, \(BC = 2\) cm, \(CD = 3\) cm și \(DE = 6\) cm. Mijlocul segmentului \(AE\) este punctul: a) \(B\); b) \(C\); c) \(D\); d) \(E\).

Metoda: Lungimea și mijlocul segmentului

1. 1

   Calculăm lungimea segmentului AE

   AE = AB + BC + CD + DE

   Punctele sunt coliniare, în ordinea \(A, B, C, D, E\), deci segmentul \(AE\) este format din cele patru segmente puse cap la cap. Lungimea lui este suma lor: \(AE = 1 + 2 + 3 + 6 = 12\) cm.

2. 2

   Aflăm distanța de la A la mijloc

   AM = \frac{AE}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}

   Dacă \(M\) este mijlocul lui \(AE\), atunci \(AM = ME = AE : 2\). Deci mijlocul se află la \(12 : 2 = 6\) cm față de \(A\).

3. 3

   Găsim punctul aflat la 6 cm de A

   AC = AB + BC = 3 \text{ cm}, \quad AD = AC + CD = 6 \text{ cm}

   Calculăm distanțele de la \(A\) la punctele de pe segment: \(AB = 1\) cm, \(AC = 1 + 2 = 3\) cm, \(AD = 3 + 3 = 6\) cm. Punctul aflat la 6 cm de \(A\) este \(D\), deci \(D\) este mijlocul lui \(AE\). Verificare: \(DE = 6\) cm, deci \(AD = DE\). Celelalte variante nu merg: \(B\) și \(C\) sunt la 1 cm, respectiv 3 cm de \(A\), iar \(E\) este capătul segmentului, la 12 cm de \(A\).

Răspuns: Varianta corectă este c) \(D\), deoarece \(AD = DE = 6\) cm.

În figura alăturată, unghiurile \(MON\) și \(POQ\) sunt opuse la vârf, iar semidreptele \(OA\) și \(OB\) sunt bisectoarele lor. Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu: a) \(60^\circ\); b) \(90^\circ\); c) \(120^\circ\); d) \(180^\circ\). (În figură: dreptele MQ și NP se intersectează în O; punctele A, O, B sunt pe o aceeași dreaptă, A de partea lui M și N, B de partea lui P și Q.)

Metoda: Unghiuri opuse la vârf, bisectoare

1. 1

   Notăm măsurile unghiurilor

   \angle MON=\angle POQ=2x

   Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci au aceeași măsură. Notăm această măsură cu \(2x\), ca să obținem ușor jumătatea ei. Bisectoarea OA împarte unghiul MON în două unghiuri de câte \(x\), iar OB împarte unghiul POQ în două unghiuri de câte \(x\).

2. 2

   Folosim faptul că M, O, Q sunt coliniare

   \angle MON+\angle NOQ=180^\circ

   Punctele M, O, Q sunt pe aceeași dreaptă, deci unghiurile MON și NOQ sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)). Notăm \(\angle NOQ=y\). Atunci \(2x+y=180^\circ\). Același lucru se întâmplă cu unghiul MOP, care are tot măsura \(y\) (opus la vârf cu NOQ).

3. 3

   Calculăm unghiul AOB

   \angle AOB=\angle AON+\angle NOQ+\angle QOB=x+y+x=2x+y=180^\circ

   Mergem de la OA la OB prin interiorul unghiurilor: întâi \(\angle AON=x\), apoi \(\angle NOQ=y\), apoi \(\angle QOB=x\) (jumătate din unghiul POQ). Suma este \(2x+y=180^\circ\). Deci A, O, B sunt coliniare, iar unghiul AOB este alungit.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle AOB=180^\circ

   Răspunsul corect este d) \(180^\circ\). Variantele \(60^\circ\), \(90^\circ\) și \(120^\circ\) ar fi adevărate doar pentru anumite valori ale unghiurilor, dar rezultatul nostru nu depinde de x, deci este valabil mereu.

Răspuns: d) \(180^\circ\)

Subiectul al II-lea, itemul 3: În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\) de bază \(BC\). Unghiul \(A\) are măsura de \(30^\circ\) și \(AB = 4\) cm. Punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\). Distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AC\) este egală cu: a) \(0{,}5\) cm; b) \(1\) cm; c) \(1{,}5\) cm; d) \(2\) cm. (În figură, din \(D\) este dusă perpendiculara pe \(AC\), care întâlnește \(AC\) într-un punct, notat \(E\).)

Metoda: Înălțimea și mediana în isoscel

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic cu \(AD\)

   AD \perp BC

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel de bază \(BC\), iar \(D\) este mijlocul bazei. Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime, deci \(AD \perp BC\). De asemenea, este și bisectoare, deci \(\angle BAD = \angle DAC = 30^\circ : 2 = 15^\circ\).

2. 2

   Calculăm \(AD\)? Nu – folosim alt triunghi

   \angle DAC = 15^\circ

   Triunghiul \(ADC\) are unghi drept în \(D\) și unghiul de \(15^\circ\) în \(A\), iar unghiul \(C\) are \(75^\circ\). Unghiul de \(30^\circ\) nu apare direct aici, deci cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) nu se aplică în \(ADC\). Folosim în schimb triunghiul \(ABC\): \(\angle B = \angle C = (180^\circ - 30^\circ):2 = 75^\circ\).

3. 3

   Ducem înălțimea din \(B\) pe \(AC\) și folosim linia mijlocie

   BF \perp AC,\ BF = \frac{AB}{2} = 2

   Fie \(F\) piciorul perpendicularei din \(B\) pe \(AC\). În triunghiul dreptunghic \(ABF\) avem \(\angle A = 30^\circ\), deci cateta opusă \(BF\) este jumătate din ipotenuza \(AB\): \(BF = 4:2 = 2\) cm.

4. 4

   Distanța de la \(D\) la \(AC\)

   DE = \frac{BF}{2} = 1

   Dreptele \(DE\) și \(BF\) sunt amândouă perpendiculare pe \(AC\), deci sunt paralele. Cum \(D\) este mijlocul lui \(BC\), \(DE\) este linie mijlocie în triunghiul \(BFC\), deci \(DE = BF : 2 = 2 : 2 = 1\) cm. Deci distanța este \(1\) cm, varianta b). Celelalte valori nu rezultă din calcul: \(2\) cm este \(BF\), nu \(DE\).

Răspuns: Distanța de la \(D\) la dreapta \(AC\) este \(1\) cm, deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat rombul \(ABCD\) cu măsura unghiului \(BAD\) de \(60^\circ\) și lungimea segmentului \(BD\) egală cu \(4\) cm. Perimetrul rombului \(ABCD\) este egal cu: a) \(4\sqrt{3}\) cm; b) \(12\) cm; c) \(8\sqrt{3}\) cm; d) \(16\) cm.

Metoda: Triunghi isoscel cu unghi de 60°

1. 1

   Folosim proprietatea rombului

   AB=BC=CD=DA

   Rombul este un paralelogram cu toate laturile egale. De aceea, dacă aflăm lungimea laturii \(AB\), le știm pe toate, iar perimetrul va fi \(P=4\cdot AB\).

2. 2

   Arătăm că triunghiul ABD este echilateral

   AB=AD,\ \angle BAD=60^\circ \Rightarrow \angle ABD=\angle ADB=60^\circ

   Triunghiul \(ABD\) are \(AB=AD\) (laturi de romb), deci este isoscel cu baza \(BD\), iar unghiurile de la bază sunt egale. Suma unghiurilor este \(180^\circ\), deci fiecare unghi de la bază are \((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ\). Toate unghiurile fiind de \(60^\circ\), triunghiul este echilateral.

3. 3

   Aflăm latura rombului

   AB=AD=BD=4\text{ cm}

   Triunghiul \(ABD\) fiind echilateral, toate laturile lui sunt egale cu \(BD=4\) cm. Prin urmare latura rombului \(AB\) are \(4\) cm.

4. 4

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 4=16\text{ cm}

   Perimetrul rombului este suma celor patru laturi egale, adică \(4\cdot 4=16\) cm. Este varianta d). Variantele a) și c) conțin \(\sqrt3\), care ar apărea doar dacă am confunda latura cu înălțimea. Varianta b) ar însemna latura de \(3\) cm, care nu coincide cu \(AB=4\) cm.

Răspuns: Perimetrul rombului \(ABCD\) este \(16\) cm, deci răspunsul corect este d).

Punctele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază \(BC\), înscris în cercul de centru \(O\), iar măsura unghiului \(ABC\) este egală cu \(70^\circ\). Arcul mic \(BC\) are măsura egală cu: a) \(140^\circ\); b) \(80^\circ\); c) \(70^\circ\); d) \(40^\circ\). (Figură: cercul de centru \(O\), triunghiul \(ABC\) cu vârful \(A\) sus și baza \(BC\) jos.)

Metoda: Unghi înscris în cerc

1. 1

   Aflăm unghiul \(ACB\)

   \angle ACB=\angle ABC=70^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel de bază \(BC\), deci unghiurile de la bază sunt congruente: \(\angle ABC=\angle ACB\). Prin urmare \(\angle ACB=70^\circ\).

2. 2

   Aflăm unghiul de la vârf \(A\)

   \angle BAC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Scădem cele două unghiuri de la bază din \(180^\circ\). Unghiul \(BAC\) este unghi înscris în cerc, deoarece vârful \(A\) este pe cerc și laturile sale taie cercul în \(B\) și \(C\).

3. 3

   Aflăm arcul mic \(BC\)

   \widehat{BC}=2\cdot\angle BAC=2\cdot 40^\circ=80^\circ

   Un unghi înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale. Deci arcul \(BC\) este dublul unghiului \(BAC\): \(2\cdot 40^\circ=80^\circ\). Este arc mic, fiindcă este mai mic de \(180^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \widehat{BC}=80^\circ \Rightarrow \text{b)}

   Am obținut \(80^\circ\), deci varianta b) este corectă. Varianta a) (140°) ar apărea dacă am dubla greșit unghiul de \(70^\circ\), adică unghiul de la bază, care nu cuprinde arcul \(BC\). Varianta c) (70°) ar fi chiar unghiul \(ABC\), nu arcul. Varianta d) (40°) este unghiul \(BAC\), nu arcul.

Răspuns: Varianta b) \(80^\circ\)

Volumul paralelipipedului dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 5\) dm, \(BC = 6\) dm și înălțimea \(AA' = 4\) dm, este egal cu: a) \(30\ \text{dm}^3\) b) \(88\ \text{dm}^3\) c) \(120\ \text{dm}^3\) d) \(148\ \text{dm}^3\). (Figura arată un paralelipiped dreptunghic cu baza \(ABCD\) și muchia laterală \(AA'\).)

Metoda: Volumul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Identificăm dimensiunile

   L = AB = 5\ \text{dm},\quad l = BC = 6\ \text{dm},\quad h = AA' = 4\ \text{dm}

   Baza paralelipipedului este dreptunghiul \(ABCD\), cu laturile \(AB\) și \(BC\). Înălțimea este muchia laterală \(AA'\). Aceste trei lungimi sunt dimensiunile corpului.

2. 2

   Aplicăm formula volumului

   V = L \cdot l \cdot h = AB \cdot BC \cdot AA'

   Volumul spune câte cuburi mici de 1 dm³ încap în corp. Aria bazei \(L\cdot l\) arată câte cuburi încap pe primul strat, iar înălțimea \(h\) arată câte straturi sunt. De aceea înmulțim cele trei dimensiuni.

3. 3

   Calculăm volumul

   V = 5\cdot 6\cdot 4 = 30\cdot 4 = 120\ \text{dm}^3

   Înmulțim aria bazei, 30 dm², cu înălțimea, 4 dm. Unitatea de măsură pentru volum este dm³, deoarece înmulțim trei lungimi exprimate în dm.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   V = 120\ \text{dm}^3 \Rightarrow \text{varianta c)}

   Rezultatul 120 dm³ se găsește la varianta c). Varianta a) (30) este doar aria bazei, deci s-a uitat înălțimea. Varianta b) (88) ar veni dintr-o adunare, \(5+6+4+...\), care nu are sens pentru volum. Varianta d) (148) nu rezultă din nicio formulă corectă.

Răspuns: Volumul este \(120\ \text{dm}^3\), deci varianta corectă este c).

Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte \(7\), \(14\), respectiv \(21\) de bomboane, îi rămân de fiecare dată câte \(5\) bomboane. a) Este posibil ca Radu să aibă în pungă \(61\) de bomboane? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.

Metoda: Împărțirea cu rest și c.m.m.m.c.

1. 1

   a) Împărțim 61 la 21

   61 = 21 \cdot 2 + 19

   Dacă Radu ar avea 61 de bomboane și ar face grupe de câte 21, am afla restul împărțirii. 21 intră de 2 ori în 61 (adică 42), iar \(61-42=19\). Deci restul este 19.

2. 2

   a) Concluzia: 61 nu este posibil

   19 \neq 5

   Enunțul spune că la împărțirea la 21 rămân 5 bomboane. La 61 rămân 19, iar 19 nu este 5. Deci Radu nu poate avea 61 de bomboane în pungă.

3. 3

   b) Scriem condițiile cu împărțirea cu rest

   n = 7c_1+5,\; n = 14c_2+5,\; n = 21c_3+5

   Notăm cu \(n\) numărul bomboanelor. La împărțirea cu 7, 14 și 21 restul este 5, deci putem scrie \(n\) ca produs plus 5, cu \(c_1, c_2, c_3\) numere naturale (câturile). Restul 5 este mai mic decât toți împărțitorii, deci scrierile sunt corecte.

4. 4

   b) Aflăm c.m.m.m.c. al lui 7, 14 și 21

   [7,14,21]=42

   \(n-5\) este multiplu comun al lui 7, 14 și 21, deci este multiplu al celui mai mic multiplu comun. Descompunem: \(7=7\), \(14=2\cdot 7\), \(21=3\cdot 7\). Luăm factorii primi cu exponentul cel mai mare: \(2\cdot 3\cdot 7=42\). Deci \(n-5\) este multiplu de 42.

5. 5

   b) Căutăm cel mai mic număr de trei cifre

   n-5 \in \{42, 84, 126, \dots\} \Rightarrow n = 126+5 = 131

   Multiplii lui 42 sunt 0, 42, 84, 126, 168... Numărul \(n\) are trei cifre, deci \(n\ge 100\), adică \(n-5\ge 95\). Primul multiplu de 42 care este cel puțin 95 este 126 (84 e prea mic). Atunci \(n=126+5=131\). Verificăm: \(131=7\cdot 18+5\), \(131=14\cdot 9+5\), \(131=21\cdot 6+5\). Merge!

Răspuns: a) Nu, 61 nu este posibil, pentru că la împărțirea la 21 restul este 19, nu 5. b) Radu are 131 de bomboane.

Se consideră expresia \(E(x)=(x+1)^2-(-x-1)^2+x^2+2x+1\), unde \(x\) este număr real. a) Arată că \(E(x)=(x+1)^2\), pentru orice număr real \(x\). b) Arată că \(E(x)>x\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   a) Recunoaștem ultimii trei termeni ca pătrat perfect

   x^2+2x+1=(x+1)^2

   Folosim formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cu \(a=x\) și \(b=1\). Avem \(x^2+2\cdot x\cdot 1+1^2=(x+1)^2\). Faptul că ultimii trei termeni formează un pătrat perfect ne ajută să simplificăm expresia.

2. 2

   a) Observăm că \((-x-1)^2=(x+1)^2\)

   (-x-1)^2=\left(-(x+1)\right)^2=(x+1)^2

   Putem scoate semnul minus factor comun: \(-x-1=-(x+1)\). Un număr și opusul lui au același pătrat, deci \((-x-1)^2=(x+1)^2\). Așa vom putea reduce termenii.

3. 3

   a) Calculăm \(E(x)\)

   E(x)=(x+1)^2-(x+1)^2+(x+1)^2=(x+1)^2

   Înlocuim în expresie: primii doi termeni sunt egali și se scad, adică dau 0. Rămâne ultimul termen, \((x+1)^2\). Deci \(E(x)=(x+1)^2\) pentru orice \(x\) real.

4. 4

   b) Calculăm diferența \(E(x)-x\)

   E(x)-x=(x+1)^2-x=x^2+2x+1-x=x^2+x+1

   Pentru a arăta că \(E(x)>x\), arătăm că diferența \(E(x)-x\) este pozitivă. Dezvoltăm pătratul și reducem termenii asemenea: \(2x-x=x\).

5. 5

   b) Scriem ca pătrat plus un număr pozitiv

   x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34

   Dezvoltăm: \(\left(x+\frac12\right)^2=x^2+x+\frac14\). Atunci \(x^2+x+1=x^2+x+\frac14+\frac34\). Un pătrat este mereu \(\ge 0\), iar \(\frac34>0\), deci suma este strict pozitivă.

6. 6

   b) Concluzia

   \left(x+\frac12\right)^2\ge0\Rightarrow E(x)-x\ge\frac34>0

   Cum \(\left(x+\frac12\right)^2\ge 0\), avem \(E(x)-x\ge \frac34>0\), deci \(E(x)-x>0\), adică \(E(x)>x\) pentru orice \(x\) real.

Răspuns: a) \(E(x)=(x+1)^2\); b) \(E(x)-x=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0\), deci \(E(x)>x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+2\). a) Arată că \(f(-1)\cdot f(2019)=2021\). b) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției \(f\) și de axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\). (Figura arată o dreaptă oblică, crescătoare, care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.)

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(−1)

   f(-1)=-1+2=1

   Pentru a afla valoarea funcției în punctul \(-1\), înlocuim pe \(x\) cu \(-1\) în formula \(f(x)=x+2\). Așa obținem imaginea numărului \(-1\).

2. 2

   a) Calculăm f(2019) și produsul

   f(2019)=2019+2=2021,\quad f(-1)\cdot f(2019)=1\cdot 2021=2021

   Înlocuim \(x=2019\) în formulă, apoi înmulțim cele două valori obținute. Cum \(f(-1)=1\), produsul este chiar \(f(2019)\), adică 2021, exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Intersecția graficului cu axa Ox

   f(x)=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2,\quad A(-2,0)

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0. Punem deci condiția \(f(x)=0\) și aflăm abscisa punctului în care dreapta taie axa Ox.

4. 4

   b) Intersecția graficului cu axa Oy

   f(0)=0+2=2,\quad B(0,2)

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)\) și obținem ordonata punctului în care dreapta taie axa Oy.

5. 5

   b) Aria triunghiului AOB

   OA=2,\ OB=2,\ \mathcal{A}_{\triangle AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2

   Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA = 2 și OB = 2 (distanțele de la origine la puncte). Aria este jumătate din produsul catetelor.

Răspuns: a) \(f(-1)\cdot f(2019)=1\cdot 2021=2021\). b) Aria triunghiului este \(2\) (unități pătrate).

În figura alăturată este reprezentat un triunghi \(ABC\) cu \(AB=12\) cm, \(BC=9\) cm și \(AC=15\) cm. Punctul \(D\) este simetricul punctului \(B\) față de mijlocul segmentului \(AC\), punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(CD\) și \(N\) este punctul de intersecție a dreptelor \(BM\) și \(AC\). (2p) a) Demonstrează că \(BN=2\cdot MN\). (3p) b) Determină distanța de la punctul \(N\) la dreapta \(AB\). Din figură: \(ABCD\) arată ca un dreptunghi cu \(A\) și \(B\) jos, \(D\) și \(C\) sus, \(M\) pe \(DC\), iar \(N\) pe diagonala \(AC\).

Metoda: Asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Arătăm că ABCD este paralelogram

   AC \cap BD = \{O\},\ AO=OC,\ BO=OD \Rightarrow AB\parallel CD

   \(D\) este simetricul lui \(B\) față de mijlocul \(O\) al lui \(AC\). Deci \(O\) este mijlocul lui \(BD\) și al lui \(AC\). Un patrulater ale cărui diagonale au același mijloc este paralelogram. Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci \(AB\parallel CD\). Avem nevoie de paralelism ca să obținem unghiuri egale și triunghiuri asemenea.

2. 2

   a) Triunghiuri asemenea și raportul BN/MN

   \triangle ABN\sim\triangle CMN \Rightarrow \frac{BN}{MN}=\frac{AB}{CM}

   Cum \(AB\parallel CD\), unghiurile \(\angle ABN\) și \(\angle CMN\) sunt alterne interne egale. Unghiurile \(\angle ANB\) și \(\angle CNM\) sunt opuse la vârf, deci egale. Rezultă \(\triangle ABN\sim\triangle CMN\). Laturile corespunzătoare sunt proporționale: \(\frac{BN}{MN}=\frac{AB}{CM}\). Dar \(AB=CD\) (paralelogram) și \(CM=\frac{CD}{2}\), deci \(AB=2\cdot CM\). Atunci \(\frac{BN}{MN}=2\), adică \(BN=2\cdot MN\).

3. 3

   b) Triunghiul ABC este dreptunghic

   AB^2+BC^2=AC^2

   Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: \(12^2+9^2=144+81=225\) și \(15^2=225\). Rezultă că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\). Asta ne ajută pentru că vom avea perpendiculare pe \(AB\).

4. 4

   b) Raportul AN/AC

   \frac{AN}{CN}=\frac{AB}{CM}=2 \Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}

   Din asemănarea \(\triangle ABN\sim\triangle CMN\) avem și \(\frac{AN}{CN}=\frac{AB}{CM}=2\). Deci \(AN=2\cdot CN\). Cum \(N\) este pe \(AC\), \(AC=AN+CN=3\cdot CN\). Atunci \(\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}\).

5. 5

   b) Distanța de la N la AB

   \frac{NT}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3} \Rightarrow NT=\frac{2}{3}\cdot 9=6

   Fie \(T\) piciorul perpendicularei din \(N\) pe \(AB\). Atunci \(NT\perp AB\) și \(BC\perp AB\), deci \(NT\parallel BC\). Rezultă \(\triangle ATN\sim\triangle ABC\), deci \(\frac{NT}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}\). Atunci \(NT=\frac{2}{3}\cdot 9=6\) cm. Distanța de la \(N\) la \(AB\) este lungimea lui \(NT\).

Răspuns: a) \(BN=2\cdot MN\), demonstrat prin \(\triangle ABN\sim\triangle CMN\). b) Distanța de la \(N\) la dreapta \(AB\) este \(NT=6\) cm.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(ACB\) de \(15^\circ\) și \(BC = 20\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\) și punctul \(N\) aparține dreptei \(BC\) astfel încât dreapta \(AN\) este perpendiculară pe dreapta \(BC\). a) Arată că \(MN = 5\sqrt{3}\) cm. b) Știind că punctul \(P\) este simetricul punctului \(A\) față de dreapta \(BC\) și că punctul \(Q\) este simetricul punctului \(M\) față de punctul \(N\), calculează aria patrulaterului \(AMPQ\).

Metoda: Mediana ipotenuzei și trigonometrie

1. 1

   a) Aflăm unghiul AMN

   AM = MC = \frac{BC}{2} = 10 \Rightarrow \angle AMN = 2\cdot\angle ACM = 30^\circ

   Mediana \(AM\) corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, deci \(AM = MC = 10\) cm. Triunghiul \(AMC\) este isoscel, deci \(\angle MAC = \angle ACM = 15^\circ\). Unghiul \(AMN\) este unghi exterior triunghiului \(AMC\), deci este suma celor două unghiuri neadiacente: \(15^\circ + 15^\circ = 30^\circ\).

2. 2

   a) Calculăm MN cu cosinusul

   \cos(\angle AMN)=\frac{MN}{AM}\Rightarrow MN = 10\cdot\cos 30^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{ cm}

   Triunghiul \(AMN\) este dreptunghic în \(N\), deoarece \(AN\perp BC\). \(MN\) este cateta alăturată unghiului \(AMN = 30^\circ\), iar \(AM\) este ipotenuza. Deci \(MN = AM\cdot\cos 30^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) cm.

3. 3

   b) Arătăm că AMPQ este romb

   AMPQ \text{ paralelogram},\ AP\perp MQ \Rightarrow AMPQ \text{ romb}

   \(P\) este simetricul lui \(A\) față de \(BC\), deci \(N\) este mijlocul lui \(AP\) (pentru că \(AN\perp BC\)). \(Q\) este simetricul lui \(M\) față de \(N\), deci \(N\) este și mijlocul lui \(MQ\). Diagonalele \(AP\) și \(MQ\) se înjumătățesc, deci \(AMPQ\) este paralelogram. Cum diagonalele sunt perpendiculare (\(AP\perp BC\), iar \(MQ\) este pe \(BC\)), paralelogramul este romb.

4. 4

   b) Aflăm AN

   AN=\frac{AM}{2}=\frac{BC}{4}=5\text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic \(AMN\), unghiul \(AMN\) are \(30^\circ\), deci cateta opusă lui, \(AN\), este jumătate din ipotenuza \(AM\). Astfel \(AN = \frac{10}{2} = 5\) cm.

5. 5

   b) Calculăm aria rombului

   \mathcal{A}_{AMPQ}=\frac{AP\cdot MQ}{2}=\frac{2AN\cdot 2MN}{2}=\frac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\text{ cm}^2

   Aria rombului este produsul diagonalelor împărțit la 2. Diagonalele sunt \(AP = 2\cdot AN = 10\) cm și \(MQ = 2\cdot MN = 10\sqrt{3}\) cm. Deci aria este \(\frac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\) cm².

Răspuns: a) \(MN = 5\sqrt{3}\) cm; b) \(\mathcal{A}_{AMPQ} = 50\sqrt{3}\) cm².

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră \(VABCD\), cu baza pătratul \(ABCD\), cu \(AB = 8\) cm. Înălțimea \(VO\) a piramidei are lungimea egală cu \(4\sqrt{3}\) cm, unde \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). (2p) a) Arată că volumul piramidei \(VABCD\) este egal cu \(\frac{256\sqrt{3}}{3}\) cm\(^3\). (3p) b) Demonstrează că măsura unghiului planelor \((VAD)\) și \((VBC)\) este egală cu \(60^\circ\).

Metoda: Volum piramidă; unghi diedru

1. 1

   a) Volumul piramidei: formula

   V=\frac{1}{3}\cdot \mathcal{A}_{ABCD}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot AB^2\cdot VO

   Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. Baza este pătratul \(ABCD\), deci aria ei este \(AB^2\), iar înălțimea este \(VO\).

2. 2

   a) Calculul volumului

   V=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{3}=\frac{256\sqrt{3}}{3}\ \text{cm}^3

   Înlocuim \(AB^2=64\) și \(VO=4\sqrt{3}\) în formulă. Produsul \(64\cdot 4=256\), deci obținem exact rezultatul cerut.

3. 3

   b) Intersecția celor două plane

   AD\parallel BC \Rightarrow (VAD)\cap(VBC)=d,\ d\parallel AD\parallel BC

   Planele \((VAD)\) și \((VBC)\) au punctul comun \(V\). Deoarece \(AD\parallel BC\), dreapta \(d\) dusă prin \(V\) paralel cu \(AD\) este chiar intersecția planelor. Unghiul planelor se măsoară cu două perpendiculare pe \(d\), câte una în fiecare plan.

4. 4

   b) Perpendicularele pe d

   VS\perp AD,\ VR\perp BC\Rightarrow VS\perp d,\ VR\perp d \Rightarrow \measuredangle((VAD),(VBC))=\measuredangle(VS,VR)

   Fie \(S\) și \(R\) mijloacele laturilor \(AD\) și \(BC\). Atunci \(VS\) și \(VR\) sunt înălțimi în triunghiurile isoscele \(VAD\) și \(VBC\), deci \(VS\perp AD\) și \(VR\perp BC\). Cum \(d\parallel AD\) și \(d\parallel BC\), rezultă \(VS\perp d\) și \(VR\perp d\). Deci unghiul planelor este \(\measuredangle SVR\).

5. 5

   b) Triunghiul VRS este echilateral

   VR=VS=RS=8\ \text{cm}\Rightarrow \measuredangle SVR=60^\circ

   Segmentul \(RS\) unește mijloacele laturilor opuse ale pătratului, deci \(RS=AB=8\) cm. În triunghiul dreptunghic \(VOM\), cu \(O\) mijlocul lui \(RS\), avem \(VO=4\sqrt{3}\) și \(OR=4\). Din Pitagora: \(VR^2=48+16=64\), deci \(VR=8\). Analog \(VS=8\). Triunghiul \(VRS\) are toate laturile de 8 cm, deci e echilateral, iar unghiul \(SVR\) are \(60^\circ\).

Răspuns: a) \(V=\frac{256\sqrt{3}}{3}\) cm\(^3\); b) unghiul planelor \((VAD)\) și \((VBC)\) are \(60^\circ\), deoarece triunghiul \(VRS\) este echilateral.