Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2022, simulare

În figura alăturată, \(A\) și \(B\) sunt puncte distincte, punctul \(C\) se află pe segmentul \(AB\), astfel încât \(AB = 3 \cdot AC\), iar \(AC = 2\) cm. Lungimea segmentului \(BC\) este egală cu: a) 2 cm; b) 4 cm; c) 6 cm; d) 8 cm. (În figură, punctele A, C, B sunt în această ordine pe segmentul AB, cu C între A și B.)

Metoda: Lungimea unui segment

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului AB

   AB = 3 \cdot AC = 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm}

   Enunțul spune că \(AB\) este de 3 ori mai lung decât \(AC\). Cum \(AC = 2\) cm, înmulțim 3 cu 2 și aflăm cât este întreg segmentul \(AB\).

2. 2

   Folosim faptul că C este pe segmentul AB

   AB = AC + CB

   Deoarece \(C\) se află pe segmentul \(AB\), între \(A\) și \(B\), lungimea întregului segment este suma lungimilor celor două părți: \(AC\) și \(CB\). Așa putem scrie o relație în care apare \(BC\).

3. 3

   Calculăm lungimea lui BC

   BC = AB - AC = 6 - 2 = 4 \text{ cm}

   Din \(AB = AC + BC\) obținem \(BC = AB - AC\). Înlocuim \(AB = 6\) cm și \(AC = 2\) cm și scădem.

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   AC + CB = 2 + 4 = 6 = AB

   Verificăm: \(2 + 4 = 6\), iar \(6 = 3 \cdot 2\), deci totul se potrivește. Varianta b) 4 cm este corectă. Varianta a) 2 cm ar da \(AB = 4\) cm, nu 6 cm; c) 6 cm este lungimea lui \(AB\), nu a lui \(BC\); d) 8 cm ar da \(AB = 10\) cm.

Răspuns: Lungimea segmentului \(BC\) este 4 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată, unghiurile \(AOB\) și \(BOC\) sunt adiacente complementare. Semidreapta \(OD\) este bisectoarea unghiului \(BOC\), iar măsura unghiului \(AOD\) este de \(55^\circ\). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu: a) \(55^\circ\); b) \(35^\circ\); c) \(20^\circ\); d) \(15^\circ\). (Din figură: semidreptele \(OA\), \(OB\), \(OD\), \(OC\) pornesc din \(O\) în această ordine, iar \(OA\) este perpendiculară pe \(OC\).)

Metoda: Unghiuri complementare și bisectoare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului \(AOC\)

   \angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=90^\circ

   Unghiurile \(AOB\) și \(BOC\) sunt adiacente (au latura \(OB\) comună) și complementare (suma lor este \(90^\circ\)). Deci unghiul mare \(AOC\), format din ele două, are \(90^\circ\). Semidreapta \(OD\) se află în interiorul lui \(AOC\), deci \(\angle AOC=\angle AOD+\angle DOC\).

2. 2

   Aflăm măsura unghiului \(DOC\)

   \angle DOC=\angle AOC-\angle AOD=90^\circ-55^\circ=35^\circ

   Unghiul \(AOC\) de \(90^\circ\) este format din \(AOD\) și \(DOC\). Cunoaștem \(AOD=55^\circ\), deci \(DOC\) este ceea ce rămâne după ce scădem \(55^\circ\) din \(90^\circ\).

3. 3

   Folosim bisectoarea: aflăm \(BOC\)

   \angle BOD=\angle DOC=35^\circ \Rightarrow \angle BOC=2\cdot 35^\circ=70^\circ

   \(OD\) este bisectoarea unghiului \(BOC\), deci îl împarte în două unghiuri congruente: \(BOD=DOC=35^\circ\). Atunci tot unghiul \(BOC\) este dublul lui \(35^\circ\).

4. 4

   Aflăm unghiul \(AOB\) și verificăm

   \angle AOB=90^\circ-\angle BOC=90^\circ-70^\circ=20^\circ

   Din complementaritate, \(AOB+BOC=90^\circ\), deci \(AOB=90^\circ-70^\circ=20^\circ\). Verificare: \(AOD=AOB+BOD=20^\circ+35^\circ=55^\circ\), exact cât ne dă enunțul. Deci varianta corectă este c). Varianta a) (55°) este chiar \(AOD\), nu \(AOB\). Varianta b) (35°) este \(BOD\) sau \(DOC\). Varianta d) (15°) nu respectă \(AOD=55^\circ\), pentru că \(15+35=50\).

Răspuns: Măsura unghiului \(AOB\) este \(20^\circ\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată, triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\) cu \(AB = 4\text{ cm}\). Semidreapta \(BM\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), \(M \in AC\) și \(BM = MC\). Lungimea segmentului \(BC\) este egală cu: a) 2 cm; b) 4 cm; c) 8 cm; d) 12 cm. (Figura: triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A, M pe cateta AC, BM bisectoare.)

Metoda: Unghiuri, triunghi isoscel, cateta opusă 30°

1. 1

   Observăm triunghiul isoscel BMC

   BM = MC \Rightarrow \angle MBC = \angle MCB

   Deoarece \(BM = MC\), triunghiul \(BMC\) este isoscel cu baza \(BC\). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente, deci \(\angle MBC = \angle MCB\).

2. 2

   Folosim bisectoarea

   \angle ABM = \angle MBC = \angle MCB = x

   \(BM\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), deci îl împarte în două unghiuri egale: \(\angle ABM = \angle MBC\). Cum și \(\angle MBC = \angle MCB\), notăm toate cele trei unghiuri cu \(x\). Atunci \(\angle ABC = 2x\) și \(\angle C = x\).

3. 3

   Aflăm măsura unghiului x

   x + 2x = 90^\circ \Rightarrow 3x = 90^\circ \Rightarrow x = 30^\circ

   În triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), unghiurile \(B\) și \(C\) sunt complementare (suma lor este \(90^\circ\), pentru că suma unghiurilor triunghiului este \(180^\circ\)). Deci \(2x + x = 90^\circ\), de unde \(x = 30^\circ\). Așadar \(\angle C = 30^\circ\).

4. 4

   Folosim cateta opusă unghiului de 30°

   AB = \frac{BC}{2} \Rightarrow BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), cateta \(AB\) este opusă unghiului \(C = 30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(AB = \frac{BC}{2}\). Rezultă \(BC = 2 \cdot 4 = 8\) cm.

5. 5

   Verificăm răspunsul și celelalte variante

   BC = 8\text{ cm}

   Lungimea \(BC = 8\) cm corespunde variantei c). Varianta a) (2 cm) și b) (4 cm) sunt imposibile, pentru că ipotenuza este cea mai lungă latură, deci \(BC > AB = 4\) cm. Varianta d) (12 cm) ar însemna \(AB = 6\) cm, nu 4 cm.

Răspuns: Lungimea segmentului \(BC\) este \(8\text{ cm}\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AB = 4\) cm și \(CD = 8\) cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului \(ABCD\) este egală cu: a) 4 cm; b) 6 cm; c) 8 cm; d) 12 cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Ce este linia mijlocie a trapezului

   MN \parallel AB \parallel CD

   Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele \(AB\) și \(CD\). Bazele trapezului sunt laturile paralele: \(AB = 4\) cm și \(CD = 8\) cm.

2. 2

   Formula liniei mijlocii

   MN = \frac{AB + CD}{2}

   Lungimea liniei mijlocii a trapezului este media aritmetică a lungimilor bazelor. Adunăm bazele și împărțim la 2.

3. 3

   Calculul și verificarea variantelor

   MN = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}

   Împărțim suma bazelor la 2 și obținem 6 cm, deci varianta corectă este b). Celelalte nu merg: 4 cm este chiar baza mică, 8 cm este baza mare, iar 12 cm este suma bazelor (am uitat să împărțim la 2). Linia mijlocie trebuie să fie mai mare decât baza mică și mai mică decât baza mare.

Răspuns: Varianta corectă este b) 6 cm.

Subiectul al II-lea, item 5. În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) se află pe cercul de centru \(O\), \(AB\) este diametru, măsura arcului mic \(AC\) este egală cu \(60^\circ\) și dreptele \(CD\) și \(AB\) sunt perpendiculare. Măsura unghiului \(ACD\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(45^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(90^\circ\).

Metoda: Unghi înscris în cerc

1. 1

   Aflăm măsura unghiului ABC

   m(\angle ABC)=\frac{m(\overset{\frown}{AC})}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ

   Unghiul \(ABC\) este un unghi înscris în cerc, deoarece vârful \(B\) se află pe cerc, iar laturile sale sunt coarde. Un unghi înscris are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl cuprinde între laturi. Arcul cuprins de \(\angle ABC\) este arcul mic \(AC\), de \(60^\circ\), deci unghiul are \(30^\circ\).

2. 2

   Identificăm triunghiul dreptunghic BCP

   \angle ABC=\angle PBC=30^\circ,\quad CD\perp AB\Rightarrow \angle BPC=90^\circ

   Notăm cu \(P\) punctul în care \(CD\) taie diametrul \(AB\). Deoarece \(CD\perp AB\), unghiul \(\angle CPA\) (adică \(\angle CPB\)) este drept. Astfel, triunghiul \(BCP\) este dreptunghic în \(P\).

3. 3

   Aflăm unghiul BCP

   m(\angle BCP)=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). În triunghiul \(BCP\) avem unghiurile de \(90^\circ\) și \(30^\circ\), deci al treilea unghi, \(\angle BCP\), are \(60^\circ\). (Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite se completează la \(90^\circ\).)

4. 4

   Aflăm unghiul ACD

   \angle ACB=90^\circ,\quad \angle ACD=\angle ACB-\angle BCP=90^\circ-60^\circ=30^\circ

   Unghiul \(ACB\) este înscris în semicerc, deoarece \(AB\) este diametru, deci cuprinde un arc de \(180^\circ\) și măsoară \(90^\circ\). Semidreapta \(CD\) trece prin interiorul acestui unghi, iar \(\angle BCP=\angle BCD\), deoarece \(P\) este pe \(CD\). Deci \(\angle ACD=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Răspunsul corect este a). Varianta b) ar însemna \(45^\circ\), dar nu rezultă din niciun calcul; c) este măsura arcului sau a lui \(BCP\), iar d) este măsura întregului unghi \(ACB\), nu doar a unei părți din el.

Răspuns: Măsura unghiului \(ACD\) este \(30^\circ\), deci varianta corectă este a).

Subiectul al II-lea, item 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat \(VABC\) cu \(AB = 4\,\text{cm}\). Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat \(VABC\) este egală cu: a) \(12\,\text{cm}\); b) \(16\,\text{cm}\); c) \(20\,\text{cm}\); d) \(24\,\text{cm}\).

Metoda: Numărarea muchiilor tetraedrului

1. 1

   Câte muchii are tetraedrul

   3+3=6

   Tetraedrul \(VABC\) are patru fețe triunghiulare. Muchiile sunt segmentele în care se întâlnesc două fețe. La baza \(ABC\) avem trei muchii: \(AB\), \(BC\), \(CA\). Din vârful \(V\) pornesc alte trei muchii: \(VA\), \(VB\), \(VC\). În total sunt \(3+3=6\) muchii.

2. 2

   Toate muchiile sunt egale

   AB=BC=CA=VA=VB=VC=4\,\text{cm}

   Tetraedrul este regulat, adică toate fețele sunt triunghiuri echilaterale congruente. Așadar toate cele 6 muchii au aceeași lungime ca \(AB\), adică \(4\,\text{cm}\).

3. 3

   Suma lungimilor muchiilor

   6\cdot 4=24\,\text{cm}

   Avem 6 muchii, fiecare de \(4\,\text{cm}\). Suma lor este \(6\cdot 4=24\,\text{cm}\). Deci varianta corectă este d). Varianta a) \(12\,\text{cm}\) ar fi suma a doar 3 muchii (de exemplu perimetrul bazei), b) \(16\,\text{cm}\) ar însemna 4 muchii, iar c) \(20\,\text{cm}\) ar însemna 5 muchii, dar tetraedrul are 6.

Răspuns: Suma lungimilor tuturor muchiilor este \(24\,\text{cm}\), deci răspunsul corect este d).