Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2023, sesiunea iunie–iulie

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\), în această ordine, astfel încât \(AB = BC = CD\), iar lungimea segmentului \(AC\) este egală cu \(10\) cm. Lungimea segmentului \(AD\) este egală cu: a) \(5\) cm; b) \(10\) cm; c) \(15\) cm; d) \(20\) cm.

Metoda: Adunarea lungimilor segmentelor

1. 1

   Aflăm lungimea unui segment mic

   AC = AB + BC = 2\cdot AB = 10 \Rightarrow AB = 10 : 2 = 5

   Punctul B se află între A și C, deci \(AC = AB + BC\). Cum \(AB = BC\), segmentul AC este format din două bucăți egale. Dacă două bucăți egale fac \(10\) cm, o bucată are \(10 : 2 = 5\) cm.

2. 2

   Calculăm lungimea lui AD

   AD = AB + BC + CD = 3\cdot 5 = 15

   Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AD este format din trei segmente egale: AB, BC și CD, fiecare de \(5\) cm. Adunăm: \(5+5+5=15\) cm. Deci \(AD = 15\) cm.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   AD = 15\text{ cm}

   Rezultatul \(15\) cm corespunde variantei c). Varianta a) \(5\) cm este doar lungimea unui segment mic. Varianta b) \(10\) cm este lungimea lui AC, nu a lui AD. Varianta d) \(20\) cm ar însemna patru segmente de câte \(5\) cm, dar noi avem doar trei.

Răspuns: c) 15 cm

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, O și B, în această ordine. Punctele M și N sunt de aceeași parte a dreptei AB, astfel încât măsura unghiului \(MOA\) este egală cu \(30^\circ\) și dreapta ON este perpendiculară pe dreapta AB. Măsura unghiului \(MON\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(45^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(90^\circ\).

Metoda: Unghiuri și perpendicularitate

1. 1

   Unghiul AOB este alungit

   \angle AOB = 180^\circ

   Punctele A, O, B sunt coliniare, în această ordine, deci O este între A și B. Semidreptele OA și OB sunt opuse, iar unghiul AOB este alungit, de \(180^\circ\). Ne ajută să împărțim cele \(180^\circ\) în unghiuri mai mici.

2. 2

   Unghiul AON este drept

   ON \perp AB \Rightarrow \angle AON = 90^\circ

   Dreapta ON este perpendiculară pe AB, deci unghiurile formate în O sunt drepte. Așadar \(\angle AON = 90^\circ\). Punctul N este de aceeași parte a dreptei AB cu M, deci unghiul AON este cel din același semiplan cu M.

3. 3

   Aflăm unghiul MON

   \angle MON = \angle AON - \angle MOA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

   Semidreapta OM se află în interiorul unghiului AON, deoarece \(30^\circ < 90^\circ\) și M, N sunt de aceeași parte a lui AB. De aceea \(\angle AON = \angle AOM + \angle MON\), de unde \(\angle MON = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle MON = 60^\circ

   Valoarea \(60^\circ\) corespunde variantei c). Varianta a) \(30^\circ\) este chiar unghiul MOA, deci o confundăm cu el. Varianta d) \(90^\circ\) este unghiul AON întreg, fără să scădem MOA. Varianta b) \(45^\circ\) nu rezultă din nicio relație din figură.

Răspuns: Măsura unghiului MON este \(60^\circ\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu aria de \(15\ \text{cm}^2\). Punctul \(M\) se află pe segmentul \(BC\), astfel încât \(BC = 3 \cdot BM\). Aria triunghiului \(AMC\) este egală cu: a) \(5\ \text{cm}^2\); b) \(7{,}5\ \text{cm}^2\); c) \(10\ \text{cm}^2\); d) \(12{,}5\ \text{cm}^2\). (În figură: punctele C, M, B sunt pe aceeași dreaptă, în această ordine, iar A este vârful triunghiului; se trasează segmentul AM.)

Metoda: Aria triunghiului, aceeași înălțime

1. 1

   Observăm înălțimea comună

   h = d(A, BC)

   Ducem din A perpendiculara pe dreapta BC; lungimea ei este înălțimea \(h\). Ea este aceeași pentru triunghiurile ABC, ABM și AMC, pentru că toate au baza pe dreapta BC și vârful în A.

2. 2

   Aflăm aria triunghiului ABM

   \mathcal{A}_{ABM} = \frac{BM \cdot h}{2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{BC \cdot h}{2} = \frac{1}{3}\mathcal{A}_{ABC}

   Din \(BC = 3 \cdot BM\) rezultă \(BM = \frac{1}{3} BC\). Aria este baza ori înălțimea împărțit la 2, iar înălțimea e aceeași. Deci aria lui ABM este o treime din aria lui ABC: \(15 : 3 = 5\ \text{cm}^2\).

3. 3

   Aflăm aria triunghiului AMC

   \mathcal{A}_{AMC} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{ABM} = 15 - 5 = 10\ \text{cm}^2

   Punctul M este pe segmentul BC, deci triunghiul ABC este format din triunghiurile ABM și AMC. Atunci aria lui AMC se obține scăzând din aria totală aria lui ABM. Rezultatul este 10 cm², deci varianta corectă este c).

4. 4

   Verificare și celelalte variante

   MC = \frac{2}{3} BC \Rightarrow \mathcal{A}_{AMC} = \frac{2}{3}\cdot 15 = 10

   Verificăm altfel: \(MC = BC - BM = \frac{2}{3} BC\), deci aria lui AMC este două treimi din 15, adică 10 cm². Variantele a) 5 (aria lui ABM), b) 7,5 (jumătate) și d) 12,5 nu corespund raportului \(\frac{2}{3}\).

Răspuns: Varianta corectă este c): aria triunghiului AMC este 10 cm².

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\) cu perimetrul egal cu \(40\) cm. Lungimea segmentului \(AC\) este egală cu: a) \(10\) cm; b) \(10\sqrt{2}\) cm; c) \(10\sqrt{3}\) cm; d) \(20\) cm. (În figură, \(AC\) este diagonala pătratului.)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm latura pătratului

   4\cdot AB=40 \Rightarrow AB=\frac{40}{4}=10

   Perimetrul este suma celor patru laturi. Pătratul are toate laturile egale, deci perimetrul este \(4\cdot AB\). Împărțim \(40\) la \(4\) ca să găsim o latură.

2. 2

   Folosim triunghiul dreptunghic ABC

   \triangle ABC,\ \angle B=90^\circ,\ AB=BC=10

   Unghiurile pătratului sunt drepte. În triunghiul \(ABC\), unghiul \(B\) este drept, catetele sunt \(AB\) și \(BC\), iar diagonala \(AC\) este ipotenuza. Putem deci aplica teorema lui Pitagora.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AC^2=AB^2+BC^2=10^2+10^2=200 \Rightarrow AC=\sqrt{200}=10\sqrt{2}

   Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Obținem \(AC^2=200\), deci \(AC=\sqrt{200}\). Scoatem factorul de sub radical: \(200=100\cdot 2\), deci \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   AC=10\sqrt{2}\ \text{cm}

   Rezultatul \(10\sqrt{2}\) cm corespunde variantei b). Varianta a) (10 cm) ar fi egală cu latura, dar diagonala e mai lungă decât latura. Varianta d) (20 cm) ar fi suma a două laturi, iar într-un triunghi ipotenuza e mai mică decât suma catetelor. Varianta c) cu \(\sqrt{3}\) este diagonala cubului, nu a pătratului.

Răspuns: b) \(10\sqrt{2}\) cm

În figura alăturată, punctele distincte \(A, B, C, D, E, F, G\) și \(H\) sunt reprezentate pe cercul de centru \(O\), astfel încât arcele mici \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(FG\), \(GH\) și \(HA\) sunt congruente. Măsura arcului mic \(BC\) este egală cu: a) \(30^\circ\) b) \(45^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(75^\circ\).

Metoda: Împărțirea cercului în arce congruente

1. 1

   Câte arce are cercul și cât măsoară cercul întreg

   8\ \text{arce},\quad 360^\circ

   Cele opt arce mici AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA acoperă tot cercul, fără suprapuneri. Măsura întregului cerc este \(360^\circ\), deci suma celor 8 arce este \(360^\circ\).

2. 2

   Împărțim \(360^\circ\) la 8

   m(\widehat{BC})=360^\circ:8=45^\circ

   Arcele sunt congruente, deci au aceeași măsură. Fiecare arc are măsura egală cu \(360^\circ\) împărțit la 8, deci arcul mic BC are \(45^\circ\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   m(\widehat{BC})=45^\circ \Rightarrow \text{b)}

   Varianta b) este corectă. Dacă ar fi \(30^\circ\), cele 8 arce ar face \(240^\circ\). Dacă ar fi \(60^\circ\), ar face \(480^\circ\). Dacă ar fi \(75^\circ\), ar face \(600^\circ\). Niciuna nu dă \(360^\circ\).

Răspuns: b) \(45^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 5\) cm. Lungimea segmentului \(BD'\) este egală cu: a) \(5\) cm; b) \(5\sqrt{2}\) cm; c) \(5\sqrt{3}\) cm; d) \(10\) cm. (Figura: cub cu muchia de 5 cm, iar \(BD'\) este diagonala cubului, dusă de la vârful B la vârful opus D'.)

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Aflăm diagonala bazei, BD

   BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

   Baza \(ABCD\) este un pătrat cu latura de 5 cm. Segmentul \(BD\) este diagonala pătratului. Triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în A, deci aplicăm teorema lui Pitagora: \(BD^2=AB^2+AD^2=25+25=50\), deci \(BD=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) cm. Facem acest pas pentru că avem nevoie de BD în pasul următor.

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic BDD'

   DD'\perp(ABC)\Rightarrow DD'\perp BD,\quad DD'=5

   Muchia \(DD'\) este perpendiculară pe planul bazei \(ABCD\), deci este perpendiculară pe orice dreaptă din plan care trece prin D, inclusiv pe \(BD\). Astfel triunghiul \(BDD'\) este dreptunghic în D, cu catetele \(BD=5\sqrt{2}\) cm și \(DD'=5\) cm, iar ipotenuza este \(BD'\).

3. 3

   Aflăm BD' cu teorema lui Pitagora

   BD'=\sqrt{BD^2+DD'^2}=\sqrt{50+25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(BDD'\): \(BD'^2=BD^2+DD'^2=50+25=75\). Deci \(BD'=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\) cm. Ajungem la varianta c). Celelalte nu merg: 5 cm este chiar muchia, iar diagonala e mai lungă decât muchia; \(5\sqrt{2}\) cm este diagonala unei fețe, nu a cubului; 10 cm este mai mare decât \(5\sqrt{3}\approx 8{,}66\).

Răspuns: Varianta corectă este c) \(5\sqrt{3}\) cm.

Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani. a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat. b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

Metoda: Calcul de vârste; ecuație liniară

1. 1

   a) Vârstele peste 2 ani

   14+2=16,\quad 40+2=42

   Peste 2 ani fiecare persoană va avea cu 2 ani mai mult decât acum. Adunăm 2 la vârsta fiecăreia: Maria va avea \(14+2=16\) ani, iar tatăl ei \(40+2=42\) de ani.

2. 2

   a) Suma vârstelor și concluzia

   16+42=58\neq 60

   Adunăm vârstele de peste 2 ani: \(16+42=58\). Cum \(58\neq 60\), nu este posibil ca suma să fie 60 de ani. Răspuns: NU.

3. 3

   b) Scriem ecuația

   14+x=\frac{1}{2}\cdot(40+x)

   Notăm cu \(x\) numărul de ani care trec. Atunci Maria va avea \(14+x\) ani, iar tatăl \(40+x\) ani. Condiția „vârsta Mariei este jumătate din vârsta tatălui” se scrie \(14+x=\frac{1}{2}\cdot(40+x)\).

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   28+2x=40+x \Rightarrow x=12

   Înmulțim ambii membri cu 2 ca să scăpăm de fracție: \(2(14+x)=40+x\), adică \(28+2x=40+x\). Scădem \(x\) din ambii membri: \(28+x=40\). Apoi scădem 28: \(x=40-28=12\).

5. 5

   Verificare

   14+12=26,\quad \frac{1}{2}\cdot(40+12)=26

   Peste 12 ani Maria va avea 26 de ani, iar tatăl 52 de ani. Jumătate din 52 este 26, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Nu, deoarece peste 2 ani suma vârstelor este 16 + 42 = 58 ≠ 60. b) Peste 12 ani.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{x+3}{5(x+1)}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq -2\) și \(x\neq -1\). a) Arată că \(\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+1}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -2\) și \(x\neq -1\). b) Determină suma soluțiilor ecuației \(E(x)=\frac{x-3}{8}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq -2\) și \(x\neq -1\).

Metoda: Fracții algebrice și ecuații

1. 1

   a) Aducem fracțiile la numitor comun

   \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1+(x+1)}{(x+1)(x+2)}

   Numitorul comun este \((x+1)(x+2)\). A doua fracție, \(\frac{1}{x+2}\), are nevoie de factorul \(x+1\), deci o amplificăm cu \(x+1\). Apoi adunăm numărătorii, păstrând numitorul comun.

2. 2

   a) Reducem și simplificăm

   \frac{x+2}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}

   La numărător avem \(1+x+1=x+2\). Simplificăm fracția cu \(x+2\), care este nenul deoarece \(x\neq -2\). Rămâne \(\frac{1}{x+1}\), adică exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Simplificăm expresia E(x)

   E(x)=\frac{1}{x+1}\cdot\frac{5(x+1)}{x+3}=\frac{5}{x+3}

   Din punctul a), paranteza este \(\frac{1}{x+1}\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci înmulțim cu \(\frac{5(x+1)}{x+3}\). Simplificăm \(x+1\) (nenul, căci \(x\neq -1\)) și rămâne \(\frac{5}{x+3}\).

4. 4

   b) Scriem ecuația și o rezolvăm

   \frac{5}{x+3}=\frac{x-3}{8}\Rightarrow (x-3)(x+3)=40\Rightarrow x^2-9=40\Rightarrow x^2=49

   Înmulțim pe diagonală (produsul mezilor egal cu produsul extremilor): \(5\cdot 8=(x+3)(x-3)\). Folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), deci \(x^2-9=40\), de unde \(x^2=49\).

5. 5

   b) Soluțiile și suma lor

   x=-7\text{ sau }x=7,\quad -7+7=0

   Din \(x^2=49\) obținem \(x=-7\) sau \(x=7\). Ambele respectă condițiile \(x\neq -3,-2,-1\), deci convin. Suma lor este 0.

Răspuns: a) Se obține \(\frac{x+2}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}\). b) \(E(x)=\frac{5}{x+3}\), ecuația duce la \(x^2=49\), soluțiile sunt \(-7\) și \(7\), iar suma lor este \(0\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=-x+5\). a) Arată că \(f(4)+f(6)=0\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Calculează distanța de la punctul \(P(0,-3)\) la dreapta \(AB\). (În figură: dreapta coboară de la stânga la dreapta, taie axa Oy deasupra lui O și axa Ox la dreapta lui O; punctul P este pe axa Oy, sub O.)

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(4) și f(6)

   f(4)=-4+5=1,\quad f(6)=-6+5=-1

   Pentru a afla valoarea funcției într-un punct, înlocuim pe \(x\) cu numărul dat în formula \(f(x)=-x+5\). Facem asta pe rând pentru 4 și pentru 6.

2. 2

   a) Adunăm valorile

   f(4)+f(6)=1+(-1)=0

   Acum adunăm cele două valori obținute. Rezultatul 0 este exact ceea ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   f(x)=0\Rightarrow -x+5=0\Rightarrow x=5,\ A(5,0);\quad f(0)=5,\ B(0,5)

   Punctul de pe axa Ox are ordonata 0, deci rezolvăm \(f(x)=0\). Punctul de pe axa Oy are abscisa 0, deci calculăm \(f(0)\).

4. 4

   b) Lungimea segmentului AB

   AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}

   Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele \(AO=5\) și \(OB=5\). Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm ipotenuza AB.

5. 5

   b) Aria triunghiului PAB în două feluri

   \mathcal{A}_{PAB}=\frac{PB\cdot AO}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20,\quad \mathcal{A}_{PAB}=\frac{d(P,AB)\cdot AB}{2}

   P(0,-3) și B(0,5) sunt pe axa Oy, deci \(PB=5+3=8\). Distanța de la A la axa Oy este \(AO=5\), deci aria este \(\frac{8\cdot5}{2}=20\). Aceeași arie se scrie și cu baza AB și înălțimea \(d(P,AB)\).

6. 6

   b) Aflăm distanța

   \frac{d\cdot 5\sqrt{2}}{2}=20\Rightarrow d=\frac{40}{5\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}

   Egalăm cele două expresii ale ariei și scoatem distanța. Raționalizăm: \(\frac{8}{\sqrt2}=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\).

Răspuns: a) \(f(4)+f(6)=1+(-1)=0\). b) \(A(5,0)\), \(B(0,5)\), \(AB=5\sqrt{2}\) cm, iar \(d(P,AB)=4\sqrt{2}\).

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\) și \(BC = 10\) cm. Semidreapta \(BD\) este bisectoarea unghiului \(ABC\) și măsura unghiului \(ABD\) este egală cu \(15^\circ\). (Din figură: unghiurile din \(A\) și \(D\) sunt drepte, \(AB\) este baza mare, \(CD\) baza mică.) a) Determină măsura unghiului \(BCD\). b) Arată că \(AB - AD < 14\) cm.

Metoda: Unghiuri în trapez și triunghi dreptunghic

1. 1

   a) Aflăm unghiul ABC

   \angle ABC = 2\cdot\angle ABD = 2\cdot 15^\circ = 30^\circ

   Bisectoarea \(BD\) împarte unghiul \(ABC\) în două unghiuri egale. Cum \(\angle ABD = 15^\circ\), și \(\angle DBC = 15^\circ\), deci întreg unghiul \(ABC\) are dublul acestei măsuri.

2. 2

   a) Aflăm unghiul BCD

   \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ

   În trapez, \(AB \parallel CD\), iar \(BC\) este secantă. Unghiurile \(ABC\) și \(BCD\) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei, deci sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)).

3. 3

   b) Triunghiul BCD este isoscel

   \angle CDB = \angle ABD = 15^\circ = \angle CBD \Rightarrow CD = BC = 10 \text{ cm}

   Din \(CD \parallel AB\) și secanta \(BD\), unghiurile alterne interne \(CDB\) și \(ABD\) sunt congruente, deci \(\angle CDB = 15^\circ\). Dar și \(\angle CBD = 15^\circ\). Triunghiul \(BCD\) are două unghiuri egale, deci este isoscel, cu \(CD = BC = 10\) cm.

4. 4

   b) Construim înălțimea CE

   CE \perp AB,\ E \in AB \Rightarrow AECD \text{ dreptunghi},\ AD = CE,\ AE = CD = 10

   Ducem \(CE\) perpendiculară pe \(AB\). Patrulaterul \(AECD\) are patru unghiuri drepte, deci este dreptunghi. Rezultă \(AD = CE\) și \(AE = CD = 10\) cm.

5. 5

   b) Calculăm CE și BE

   \angle CBE = 30^\circ \Rightarrow CE = \frac{BC}{2} = 5,\ BE = 5\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(CEB\), unghiul \(CBE = 30^\circ\), deci cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză: \(CE = 10:2 = 5\) cm. Cu Pitagora: \(BE^2 = 10^2 - 5^2 = 75\), deci \(BE = 5\sqrt{3}\). Așadar \(AB = AE + EB = 10 + 5\sqrt{3}\), iar \(AB - AD = 10 + 5\sqrt{3} - 5 = 5 + 5\sqrt{3}\) cm.

6. 6

   b) Comparăm cu 14

   5+5\sqrt{3}<14 \Leftrightarrow 5\sqrt{3}<9 \Leftrightarrow \sqrt{75}<\sqrt{81}

   Scădem 5 din ambele părți: ajungem la \(5\sqrt{3} < 9\). Introducem 5 sub radical: \(5\sqrt{3} = \sqrt{75}\), iar \(9 = \sqrt{81}\). Cum \(75 < 81\), inegalitatea este adevărată, deci \(AB - AD < 14\) cm.

Răspuns: a) \(\angle BCD = 150^\circ\); b) \(AB - AD = 5 + 5\sqrt{3} < 14\) cm, deoarece \(\sqrt{75} < \sqrt{81}\).

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\) cu \(AB = 9\sqrt{10}\) cm și \(AC = 30\) cm. Dreptele \(AC\) și \(BD\) se intersectează în punctul \(O\), iar punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(CD\). Dreptele \(BC\) și \(AM\) se intersectează în punctul \(E\), iar dreptele \(OE\) și \(CD\) se intersectează în punctul \(P\). a) Arată că aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu \(270\) cm\(^2\). b) Arată că lungimea segmentului \(SP\) este egală cu \(10\) cm, unde \(S\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AM\) și \(BD\).

Metoda: Pitagora, centru de greutate, asemănare

1. 1

   a) Aflăm latura BC cu teorema lui Pitagora

   BC^2=AC^2-AB^2=900-810=90,\quad BC=3\sqrt{10}

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Ipotenuza este \(AC=30\), iar o catetă este \(AB=9\sqrt{10}\). Din teorema lui Pitagora scădem pătratele: \(AB^2=(9\sqrt{10})^2=81\cdot 10=810\). Obținem \(BC^2=90\), deci \(BC=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\) cm.

2. 2

   a) Calculăm aria dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot BC=9\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=27\cdot 10=270

   Aria dreptunghiului este lungime ori lățime. Înmulțim \(9\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=27\cdot(\sqrt{10})^2=27\cdot 10=270\) cm\(^2\), exact cât trebuia să arătăm.

3. 3

   b) Triunghiurile MCE și MDA sunt congruente

   \Delta MCE\equiv\Delta MDA\Rightarrow ME=MA

   \(M\) este mijlocul lui \(CD\), deci \(MC=MD\). Unghiurile din \(C\) și \(D\) sunt drepte. Unghiurile \(CME\) și \(DMA\) sunt opuse la vârf, deci congruente. Triunghiurile sunt congruente (ULU), deci \(ME=MA\), adică \(M\) este mijlocul lui \(AE\), iar \(CM\) este mediană în triunghiul \(ACE\).

4. 4

   b) P și S sunt centre de greutate

   \frac{MP}{MC}=\frac13,\quad \frac{MS}{MA}=\frac13

   În triunghiul \(ACE\), \(CM\) este mediană (\(M\) mijlocul lui \(AE\)), iar \(EO\) este mediană (\(O\) mijlocul lui \(AC\)). Ele se taie în \(P\), deci \(P\) este centrul de greutate, iar \(MP=\frac13 MC\). În triunghiul \(ACD\), \(AM\) și \(DO\) sunt mediane și se taie în \(S\), deci \(MS=\frac13 MA\).

5. 5

   b) Asemănarea și lungimea SP

   \frac{MP}{MC}=\frac{MS}{MA}=\frac13,\ \angle SMP=\angle AMC\Rightarrow \Delta SMP\sim\Delta AMC\Rightarrow SP=\frac13AC=10

   Cele două rapoarte sunt egale cu \(\frac13\) și unghiul \(M\) este comun, deci triunghiurile \(SMP\) și \(AMC\) sunt asemenea (LUL). Raportul de asemănare este \(\frac13\), deci \(SP=\frac13\cdot AC=\frac13\cdot 30=10\) cm.

Răspuns: a) \(\mathcal{A}_{ABCD}=270\) cm\(^2\); b) \(SP=10\) cm.

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=10\) cm. a) Arată că măsura unghiului dreptelor \(AB'\) și \(BC'\) este egală cu \(60^\circ\). b) Calculează distanța de la punctul \(C\) la planul \((BDC')\).

Metoda: Unghiul a două drepte; perpendicularitate

1. 1

   a) Mutăm dreapta AB' prin paralelism

   AB' \parallel DC' \Rightarrow \angle(AB',BC')=\angle(DC',BC')

   Unghiul a două drepte din spațiu se află ducând paralele la ele care se intersectează. În cub, fața \(ABB'A'\) și fața \(DCC'D'\) sunt opuse, iar \(AB'\) și \(DC'\) sunt diagonale paralele ale acestor fețe. Deci unghiul dintre \(AB'\) și \(BC'\) este egal cu unghiul dintre \(DC'\) și \(BC'\), adică \(\angle BC'D\).

2. 2

   a) Triunghiul BC'D este echilateral

   BC'=DC'=DB \Rightarrow \triangle BC'D \text{ echilateral} \Rightarrow \angle BC'D=60^\circ

   Segmentele \(BC'\), \(DC'\) și \(DB\) sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, iar toate fețele sunt pătrate egale. Diagonalele pătratelor de latură 10 sunt toate egale cu \(10\sqrt{2}\). Un triunghi cu trei laturi egale este echilateral, deci toate unghiurile lui au \(60^\circ\). Așadar unghiul dreptelor \(AB'\) și \(BC'\) este \(60^\circ\).

3. 3

   b) Arătăm că BD este perpendiculară pe planul (CC'O)

   BD\perp AC,\ BD\perp CC' \Rightarrow BD\perp (CC'O)

   Notăm \(O\) intersecția diagonalelor \(AC\) și \(BD\) ale bazei. În pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci \(BD\perp AC\). Cum \(CC'\perp (ABC)\) și \(BD\) este în planul \(ABC\), avem \(BD\perp CC'\). Dreapta \(BD\) este perpendiculară pe două drepte concurente \(AC\) și \(CC'\) din planul \((CC'O)\), deci este perpendiculară pe acest plan.

4. 4

   b) Construim distanța CP

   CP\perp C'O,\ P\in C'O \Rightarrow CP\perp BD \Rightarrow CP\perp (BDC')

   Ducem din \(C\) perpendiculara \(CP\) pe \(C'O\). Cum \(CP\) este în planul \((CC'O)\) și \(BD\) este perpendiculară pe acest plan, avem \(CP\perp BD\). Deci \(CP\) este perpendiculară pe două drepte concurente \(BD\) și \(C'O\) din planul \((BDC')\), adică \(CP\perp(BDC')\). Prin urmare \(CP\) este distanța de la \(C\) la plan.

5. 5

   b) Calculăm CP în triunghiul C'CO

   C'O=\sqrt{CC'^2+CO^2}=5\sqrt6,\quad CP=\dfrac{CO\cdot CC'}{C'O}=\dfrac{10\sqrt3}{3}

   Diagonala bazei este \(AC=10\sqrt2\), deci \(CO=5\sqrt2\). Triunghiul \(C'CO\) este dreptunghic în \(C\), cu \(CC'=10\). Din Pitagora: \(C'O^2=100+50=150\), deci \(C'O=5\sqrt6\). \(CP\) este înălțime spre ipotenuză, deci \(CP=\dfrac{CO\cdot CC'}{C'O}=\dfrac{5\sqrt2\cdot 10}{5\sqrt6}=\dfrac{10}{\sqrt3}=\dfrac{10\sqrt3}{3}\) cm.

Răspuns: a) Unghiul dreptelor \(AB'\) și \(BC'\) este \(60^\circ\). b) Distanța de la \(C\) la planul \((BDC')\) este \(\dfrac{10\sqrt3}{3}\) cm.