Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2024, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 02)

Rezultatul calculului \(14-14:(4-2)\) este: a) 0; b) 7; c) 14; d) 21.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   4-2=2

   Conform ordinii operațiilor, se efectuează mai întâi calculul din paranteza rotundă. Așa că înlocuim \((4-2)\) cu \(2\) și obținem \(14-14:2\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   14:2=7

   După paranteză urmează înmulțirile și împărțirile, înaintea adunărilor și scăderilor. Deci calculăm \(14:2=7\), iar expresia devine \(14-7\).

3. 3

   Efectuăm scăderea și alegem răspunsul

   14-7=7

   Ultima operație rămasă este scăderea: \(14-7=7\). Deci răspunsul corect este b) 7. Celelalte variante apar din greșeli de ordine: dacă scădem întâi \(14-14=0\), obținem \(0\) (varianta a) – greșit, pentru că împărțirea trebuie făcută înaintea scăderii; dacă ignorăm împărțirea corectă, putem ajunge la alte valori care nu corespund calculului.

Răspuns: Varianta corectă este b) 7.

Subiectul I, itemul 2. Dacă \(\frac{6}{a}=\frac{b}{2}\), \(a\neq 0\), atunci raportul \(\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}\) este egal cu: a) \(\frac{12}{13}\); b) \(1\); c) \(\frac{12}{11}\); d) \(12\).

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{6}{a}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\cdot b=6\cdot 2

   Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Extremii sunt 6 și 2, iar mezii sunt a și b. Deci \(a\cdot b=6\cdot 2\).

2. 2

   Înlocuim produsul în raport

   \frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}=\frac{12}{12+1}=\frac{12}{13}

   Expresia conține doar produsul \(a\cdot b\), care este 12. Îl înlocuim și la numărător, și la numitor: \(\frac{12}{12+1}=\frac{12}{13}\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{12}{13}

   Rezultatul \(\frac{12}{13}\) corespunde variantei a). Varianta b) (1) ar cere numărătorul egal cu numitorul, dar 12≠13. Varianta c) \(\frac{12}{11}\) ar apărea dacă am scădea 1 în loc să adunăm. Varianta d) 12 este doar valoarea produsului, nu a raportului.

Răspuns: Varianta a) \(\frac{12}{13}\)

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului \(15\) este: a) \(\{3,5\}\); b) \(\{0,3,5,15\}\); c) \(\{1,3,5,15\}\); d) \(\{3,5,15\}\).

Metoda: Căutarea divizorilor unui număr

1. 1

   Ce înseamnă divizor

   d \mid 15 \iff 15 : d \text{ are rest } 0

   Un număr \(d\) este divizor al lui \(15\) dacă împărțirea lui \(15\) la \(d\) se face exact, fără rest. Trebuie să știm asta ca să putem verifica fiecare număr posibil.

2. 2

   Probăm numerele de la 1 la 15

   15:1=15,\; 15:3=5,\; 15:5=3,\; 15:15=1

   Un divizor nu poate fi mai mare decât \(15\), așa că verificăm numerele de la \(1\) la \(15\). Numărul \(1\) divide orice număr. Numărul \(2\) nu merge, pentru că \(15\) e impar. Numărul \(3\) merge, deoarece \(1+5=6\) se împarte la \(3\). Numărul \(4\) nu merge, deoarece \(15:4=3\) rest \(3\). Numărul \(5\) merge, deoarece \(15\) se termină în \(5\). Numerele de la \(6\) la \(14\) nu merg. Numărul \(15\) se împarte la el însuși.

3. 3

   Scriem mulțimea și alegem varianta

   D_{15}=\{1,3,5,15\}

   Mulțimea divizorilor naturali ai lui \(15\) este \(\{1,3,5,15\}\), adică varianta c). Varianta a) lipsesc \(1\) și \(15\). Varianta b) conține \(0\), dar \(0\) nu este divizor, pentru că nu se poate împărți la \(0\). Varianta d) lipsește \(1\), care divide orice număr.

Răspuns: Varianta c) \(\{1,3,5,15\}\)

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației \(2x^2 = 8\) este: a) \(\{-2\}\); b) \(\{-2, 2\}\); c) \(\{2\}\); d) \(\{4\}\).

Metoda: Ecuația de forma x² = a

1. 1

   Izolăm pe x²

   2x^2=8 \Rightarrow x^2=8:2=4

   Vrem să rămână \(x^2\) singur în stânga. Împărțim ambii membri ai egalității la 2, deoarece operațiile făcute în același fel în ambele părți păstrează egalitatea. Obținem \(x^2 = 4\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația x² = 4

   x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm 2

   Ecuația \(x^2=a\), cu \(a>0\), are două soluții: \(\sqrt{a}\) și \(-\sqrt{a}\). Asta pentru că atât \(2^2=4\), cât și \((-2)^2=4\), deoarece un număr negativ la puterea a doua devine pozitiv. Deci \(x=2\) sau \(x=-2\).

3. 3

   Verificăm și alegem varianta

   S=\{-2,\,2\}

   Verificăm în ecuația inițială: pentru \(x=2\), \(2\cdot 4=8\); pentru \(x=-2\), \(2\cdot 4=8\). Ambele merg, deci mulțimea soluțiilor este \(\{-2,2\}\), varianta b). Varianta a) și varianta c) au doar câte o soluție, deci lipsește una. Varianta d) este greșită: \(4^2=16\), iar \(2\cdot16=32\ne 8\); 4 este valoarea lui \(x^2\), nu a lui \(x\).

Răspuns: Varianta b): \(\{-2, 2\}\).

Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele \(a=\frac{2}{3}\), \(b=0{,}5\), \(c=0{,}1(3)\) și \(d=\frac{1}{4}\). Răspunsurile celor patru elevi: George: \(d<c<b<a\); Anca: \(c<d<a<b\); Marius: \(c<d<b<a\); Alina: \(d<b<a<c\). Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este: a) George; b) Anca; c) Marius; d) Alina.

Metoda: Compararea numerelor raționale

1. 1

   Transformăm numerele în fracții ordinare

   b=0{,}5=\frac{1}{2},\quad c=0{,}1(3)=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}

   Numerele au forme diferite (fracții, zecimale finite, zecimală periodică), deci nu le putem compara direct. Le scriem ca fracții. Pentru \(0{,}1(3)\): la numărător scriem numărul 13 minus partea neperiodică 1, iar la numitor un 9 (pentru perioadă) și un 0 (pentru zecimala neperiodică), adică 90. Rezultă \(\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\).

2. 2

   Aducem fracțiile la același numitor

   a=\frac{2}{3},\ b=\frac{1}{2},\ c=\frac{2}{15},\ d=\frac{1}{4}\ \Rightarrow\ \text{numitor comun } 60

   Cel mai mic multiplu comun al numitorilor 3, 2, 15, 4 este 60. Amplificăm: \(a=\frac{40}{60}\), \(b=\frac{30}{60}\), \(c=\frac{8}{60}\), \(d=\frac{15}{60}\). La fracțiile cu același numitor, e mai mare cea cu numărătorul mai mare.

3. 3

   Ordonăm crescător

   \frac{8}{60}<\frac{15}{60}<\frac{30}{60}<\frac{40}{60}\ \Rightarrow\ c<d<b<a

   Comparăm numărătorii: 8 < 15 < 30 < 40. Deci ordinea crescătoare este \(c<d<b<a\).

4. 4

   Alegem elevul corect

   c<d<b<a \Rightarrow \text{Marius}

   Șirul \(c<d<b<a\) este exact răspunsul lui Marius. George a pus pe d primul, dar c este mai mic decât d. Anca a pus a înaintea lui b, dar \(b<a\). Alina a pus pe c ultimul, deși este cel mai mic.

Răspuns: Varianta corectă este c) Marius, deoarece \(c<d<b<a\).

În prezent, Ioana și Maria au împreună 28 de ani. Afirmația „Peste 3 ani, Ioana și Maria vor avea împreună 31 de ani.” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Calcul cu vârste în timp

1. 1

   Ce se întâmplă cu fiecare fată peste 3 ani

   \text{Ioana} + 3 \quad \text{și} \quad \text{Maria} + 3

   Peste 3 ani, atât Ioana, cât și Maria vor avea cu 3 ani mai mult. Deci suma vârstelor crește cu 3 pentru Ioana și cu încă 3 pentru Maria.

2. 2

   Calculăm suma vârstelor peste 3 ani

   28 + 3 + 3 = 34

   Suma de acum este 28. Peste 3 ani se adaugă 3 ani pentru Ioana și 3 ani pentru Maria, deci 6 ani în total: 28 + 6 = 34.

3. 3

   Comparăm cu afirmația și alegem răspunsul

   34 \neq 31

   Afirmația spune 31 de ani, dar noi am obținut 34. Numerele sunt diferite, deci afirmația este falsă, varianta b). Varianta a) nu merge pentru că ar însemna că suma crește doar cu 3, adică am număra creșterea unei singure fete.

Răspuns: Varianta b) – afirmația este falsă, pentru că peste 3 ani cele două fete vor avea împreună 28 + 3 + 3 = 34 de ani, nu 31.

În figura alăturată punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB < BC < CD\) și \(BC = 7\) cm. Lungimile segmentelor \(AB\), \(BC\) și \(CD\), exprimate în centimetri, sunt trei numere naturale consecutive, iar punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\). Lungimea segmentului \(MD\) este egală cu: a) 10 cm; b) 13 cm; c) 18 cm; d) 21 cm.

Metoda: Calcul de lungimi de segmente

1. 1

   Aflăm lungimile AB și CD

   AB=6,\; BC=7,\; CD=8

   Lungimile sunt trei numere naturale consecutive și \(AB<BC<CD\), deci sunt în ordine crescătoare. Cum \(BC=7\) este cel din mijloc, numărul dinainte este 6 și cel de după este 8.

2. 2

   Aflăm lungimea MB

   MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3

   M este mijlocul lui AB, deci împarte segmentul AB în două părți egale. De aceea MB este jumătate din AB.

3. 3

   Calculăm MD

   MD=MB+BC+CD=3+7+8=18

   Punctele sunt coliniare în ordinea M, B, C, D, deci segmentul MD este format din trei bucăți puse cap la cap: MB, BC și CD. Le adunăm lungimile.

4. 4

   Verificăm cu variantele de răspuns

   MD=18\text{ cm}

   Rezultatul 18 cm corespunde variantei c). Varianta 10 ar veni din 3+7, adică am uitat CD. Varianta 13 ar veni din 6+7, adică am luat AB întreg în loc de MB și am uitat CD. Varianta 21 ar fi 6+7+8, adică am luat AB întreg în loc de jumătate.

Răspuns: MD = 18 cm, deci varianta corectă este c).

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele \(a\) și \(b\). Punctele \(A\) și \(E\) aparțin dreptei \(a\), iar punctele \(B\) și \(C\) aparțin dreptei \(b\). Dreapta \(CD\) este perpendiculară pe dreapta \(AB\), punctul \(D\) aparține segmentului \(AB\), iar măsura unghiului \(DAE\) este egală cu \(67^\circ\). Măsura unghiului \(DCB\) este egală cu: a) \(23^\circ\); b) \(33^\circ\); c) \(67^\circ\); d) \(113^\circ\).

Metoda: Unghiuri la paralele; triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm unghiul ABC din paralele

   \angle ABC=\angle DAE=67^\circ

   Dreptele \(a\) și \(b\) sunt paralele, iar \(AB\) este secantă. Unghiurile \(DAE\) și \(ABC\) sunt alterne interne (se află de părți diferite ale secantei, între paralele), deci sunt congruente. Aici \(\angle DAE\) este același cu unghiul \(BAE\), pentru că \(D\) se află pe segmentul \(AB\). Astfel \(\angle ABC=67^\circ\).

2. 2

   Folosim triunghiul dreptunghic CDB

   \angle DCB+\angle DBC=90^\circ

   Dreapta \(CD\) este perpendiculară pe \(AB\), deci în triunghiul \(CDB\) unghiul din \(D\) este de \(90^\circ\). Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci celelalte două unghiuri ascuțite au suma \(90^\circ\). Unghiul \(DBC\) este chiar \(ABC=67^\circ\), pentru că \(D\) este pe \(AB\).

3. 3

   Calculăm unghiul DCB

   \angle DCB=90^\circ-67^\circ=23^\circ

   Din suma de \(90^\circ\) scădem unghiul \(DBC=67^\circ\) și obținem \(\angle DCB=23^\circ\). Este varianta a). Varianta c) (67°) ar fi fost unghiul \(DBC\), nu \(DCB\); varianta d) (113°) este \(180^\circ-67^\circ\), care nu apare în triunghiul dreptunghic; varianta b) nu rezultă din niciun calcul.

Răspuns: Măsura unghiului \(DCB\) este \(23^\circ\), deci varianta corectă este a).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(C\) egală cu \(75^\circ\). Punctul \(E\) aparține semidreptei \(AC\) astfel încât semidreapta \(BC\) este bisectoarea unghiului \(ABE\). Măsura unghiului \(BEC\) este egală cu: a) \(15^\circ\); b) \(30^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(105^\circ\). (În figură: \(A\), \(C\), \(E\) sunt coliniare, în această ordine, iar \(BA\perp AE\).)

Metoda: Suma unghiurilor în triunghi, bisectoare

1. 1

   Aflăm unghiul ABC

   m(\angle ABC)=180^\circ-90^\circ-75^\circ=15^\circ

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\) avem \(\angle A=90^\circ\) și \(\angle C=75^\circ\). Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci \(\angle ABC\) este ce rămâne după ce scădem cele două unghiuri cunoscute.

2. 2

   Folosim bisectoarea: aflăm unghiul ABE

   m(\angle ABE)=2\cdot m(\angle ABC)=2\cdot 15^\circ=30^\circ

   Semidreapta \(BC\) este bisectoarea unghiului \(ABE\), deci îl împarte în două unghiuri egale: \(\angle ABC=\angle CBE=15^\circ\). Atunci \(\angle ABE\) este dublul lui \(\angle ABC\).

3. 3

   Aflăm unghiul BEC în triunghiul ABE

   m(\angle BEC)=m(\angle BEA)=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ

   Punctele \(A\), \(C\), \(E\) sunt coliniare, cu \(C\) între \(A\) și \(E\), deci unghiul \(BEC\) este același cu unghiul \(BEA\) din triunghiul \(ABE\). Acest triunghi este dreptunghic în \(A\) și are \(\angle ABE=30^\circ\), deci \(\angle BEA=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   \angle BEC=60^\circ

   Verificăm cu unghiul exterior: în triunghiul \(BCE\), unghiul \(BCA=75^\circ\) este exterior, deci \(75^\circ=\angle CBE+\angle BEC=15^\circ+60^\circ\). Se potrivește. Varianta corectă este c). Celelalte nu merg: \(15^\circ\) este unghiul \(ABC\), \(30^\circ\) este \(ABE\), iar \(105^\circ\) este unghiul \(BCE\) (suplementul lui \(75^\circ\)).

Răspuns: Unghiul \(BEC\) măsoară \(60^\circ\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AC = 20\text{ cm}\) și \(O\) punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu \(30^\circ\). Aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu: a) \(20\text{ cm}^2\); b) \(25\text{ cm}^2\); c) \(100\text{ cm}^2\); d) \(200\text{ cm}^2\).

Metoda: Diagonalele dreptunghiului și aria triunghiului

1. 1

   Aflăm lungimile \(AO\) și \(BO\)

   AO=BO=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10

   Într-un dreptunghi diagonalele sunt egale și se taie în părți egale în punctul \(O\). Deci \(AC=BD=20\) cm, iar \(O\) este mijlocul lor. Așadar \(AO=BO=10\) cm. Triunghiul \(AOB\) este isoscel, cu latura de \(10\) cm și unghiul de la vârf de \(30^\circ\).

2. 2

   Aflăm aria triunghiului \(AOB\)

   \mathcal{A}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB\cdot \sin 30^\circ}{2}

   Aici este mai simplu să folosim o construcție din clasa a VII-a: ducem înălțimea \(BH\perp AC\), \(H\in AC\). În triunghiul dreptunghic \(BOH\) unghiul \(BOH\) are \(30^\circ\), deci cateta opusă lui, \(BH\), este jumătate din ipotenuză: \(BH=\frac{BO}{2}=5\) cm. Aria lui \(AOB\) cu baza \(AO\) este \(\frac{AO\cdot BH}{2}=\frac{10\cdot 5}{2}=25\text{ cm}^2\).

3. 3

   Aflăm aria dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD}=4\cdot \mathcal{A}_{AOB}=4\cdot 25=100

   Diagonalele împart dreptunghiul în patru triunghiuri care au aceeași arie (sunt congruente două câte două și au aceeași bază și înălțime corespunzătoare). Deci aria dreptunghiului este de \(4\) ori aria triunghiului \(AOB\): \(4\cdot 25=100\text{ cm}^2\). Varianta corectă este c).

4. 4

   Verificăm și celelalte variante

   \mathcal{A}=100\text{ cm}^2

   Variantele a) \(20\) și b) \(25\) sunt prea mici: \(25\) este doar aria unui singur triunghi \(AOB\), nu a întregului dreptunghi. Varianta d) \(200\) ar rezulta dacă am lua baza \(20\) în loc de \(10\), adică dublul. Doar c) \(100\text{ cm}^2\) corespunde calculului corect.

Răspuns: Aria dreptunghiului este \(100\text{ cm}^2\), deci răspunsul corect este c).

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\). Diametrul \(DB\) are lungimea egală cu \(50\) cm. Coarda \(AC\) are lungimea egală cu \(30\) cm și este perpendiculară pe diametrul \(BD\). Dacă \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\), atunci lungimea segmentului \(OE\) este egală cu: a) \(20\) cm; b) \(15\) cm; c) \(12\) cm; d) \(10\) cm. (Figură: cerc cu centrul O, diametrul DB, coarda AC perpendiculară pe DB în punctul E.)

Metoda: Diametru perpendicular pe coardă și Pitagora

1. 1

   Aflăm raza cercului

   OA=\frac{DB}{2}=\frac{50}{2}=25\text{ cm}

   Raza este jumătate din diametru. Diametrul DB are 50 cm, deci raza are 25 cm. Segmentul OA este rază, deci OA = 25 cm; o să avem nevoie de el în triunghiul OEA.

2. 2

   Aflăm AE folosind diametrul perpendicular pe coardă

   AE=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ cm}

   Diametrul BD este perpendicular pe coarda AC. Într-un cerc, un diametru perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei. Deci E este mijlocul lui AC și AE este jumătate din AC, adică 15 cm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul OEA

   OE^2=OA^2-AE^2=25^2-15^2=625-225=400

   Triunghiul OEA este dreptunghic în E, pentru că AC este perpendiculară pe BD. Ipotenuza este OA (raza), iar catetele sunt OE și AE. Din \(OA^2=OE^2+AE^2\) obținem \(OE^2=OA^2-AE^2\).

4. 4

   Aflăm OE și alegem varianta corectă

   OE=\sqrt{400}=20\text{ cm}

   Rădăcina pătrată a lui 400 este 20, deci OE = 20 cm. Varianta corectă este a). Variantele 15, 12 și 10 nu se potrivesc: de exemplu, pentru OE = 15 am avea \(OA^2=15^2+15^2=450\), nu 625. Doar pentru 20 avem \(20^2+15^2=625=25^2\).

Răspuns: OE = 20 cm, deci varianta corectă este a).

În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu înălțimea \(VO = 8\) cm și secțiunea axială triunghiul \(VAB\), cu \(VA = 10\) cm. Volumul conului este egal cu: a) \(60\pi\) cm³; b) \(96\pi\) cm³; c) \(120\pi\) cm³; d) \(360\pi\) cm³.

Metoda: Volumul conului și Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic și aflăm raza

   OA^2 = VA^2 - VO^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow OA = 6

   Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe baza conului, deci triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\), cu ipotenuza \(VA = 10\) cm (generatoarea) și catetele \(VO = 8\) cm și \(OA\) = raza bazei. Din teorema lui Pitagora: \(OA^2 = 100 - 64 = 36\), deci \(OA = 6\) cm.

2. 2

   Aplicăm formula volumului conului

   V = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 8}{3} = 96\pi

   Volumul conului este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea: \(V = \frac{\pi R^2 h}{3}\). Cu \(R = 6\) cm și \(h = 8\) cm obținem \(\frac{36 \cdot 8}{3}\pi = 96\pi\) cm³.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   V = 96\pi \text{ cm}^3

   Rezultatul \(96\pi\) cm³ corespunde variantei b). Varianta a) \(60\pi\) ar rezulta dacă am greșit raza sau am uitat de 8; varianta c) \(120\pi\) și d) \(360\pi\) apar dacă se folosește raza 6 fără împărțirea la 3 sau valori greșite (de exemplu \(R=10\) la \(\frac{100\cdot 8}{3}\) nu dă număr întreg). Doar b) iese corect.

Răspuns: b) \(96\pi\) cm³

Pentru un concert s-au vândut în total 225 de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de 25 de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de 20 de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de 5150 de lei. a) Verifică dacă au fost vândute 205 bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

Metoda: Verificare și ecuație simplă

1. 1

   a) Calculăm suma pentru 205 bilete de adulți

   205\cdot 25=5125

   Dacă ar fi fost vândute 205 bilete pentru adulți, ele ar aduce \(205\cdot 25=5125\) lei. Suma totală încasată este 5150 lei, deci restul banilor ar trebui să vină de la biletele pentru copii.

2. 2

   a) Justificăm răspunsul

   5150-5125=25

   Rămân 25 de lei, care ar trebui încasați din biletele pentru copii, de câte 20 de lei. Dar 25 nu se împarte exact la 20, deci nu se poate obține un număr întreg de bilete. Prin urmare, nu au fost vândute 205 bilete pentru adulți.

3. 3

   b) Formăm ecuația

   25\cdot(225-n)+20n=5150

   Notăm cu \(n\) numărul biletelor pentru copii. Atunci biletele pentru adulți sunt \(225-n\), pentru că în total sunt 225. Adulții aduc \(25(225-n)\) lei, copiii aduc \(20n\) lei, iar suma lor este 5150 lei.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   5625-25n+20n=5150 \Rightarrow 5625-5n=5150

   Înmulțim \(25\cdot 225=5625\) și reducem termenii cu \(n\): \(-25n+20n=-5n\). Avem \(5625-5n=5150\), deci \(5n=5625-5150=475\), de unde \(n=475:5=95\).

5. 5

   Verificare

   130\cdot 25+95\cdot 20=5150

   Adulți: \(225-95=130\). Ei aduc \(130\cdot 25=3250\) lei, iar copiii \(95\cdot 20=1900\) lei. Suma: \(3250+1900=5150\) lei, corect.

Răspuns: a) Nu, deoarece 205 bilete de adulți aduc 5125 lei, iar diferența de 25 lei nu este multiplu de 20. b) Au fost vândute 95 de bilete pentru copii.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2+4x+4}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\). a) Arată că \(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\). b) Determină numerele naturale \(n\), \(n\neq 2\), pentru care \(N=E(n)-1\) este număr natural.

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   a) Aducem fracțiile la numitor comun

   \frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}

   Numitorii sunt \(x-2\) și \(x+2\). Numitorul comun este produsul lor \((x-2)(x+2)\). Amplificăm prima fracție cu \(x+2\) și a doua cu \(x-2\), ca să aibă același numitor, apoi adunăm numărătorii.

2. 2

   a) Efectuăm calculele de la numărător

   2(x+2)+x(x-2)=2x+4+x^2-2x=x^2+4

   Desfacem parantezele: \(2(x+2)=2x+4\) și \(x(x-2)=x^2-2x\). Termenii \(2x\) și \(-2x\) se reduc, rămâne \(x^2+4\). Deci suma este \(\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\), ceea ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Simplificăm expresia E(x)

   E(x)=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x+2)^2}{x^2+4}=\frac{x+2}{x-2}

   Din a), paranteza este \(\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Observăm că \(x^2+4x+4=(x+2)^2\) (formula de calcul prescurtat). Simplificăm cu \(x^2+4\) și cu \(x+2\), rămâne \(\frac{x+2}{x-2}\).

4. 4

   b) Calculăm N

   N=E(n)-1=\frac{n+2}{n-2}-1=\frac{n+2-(n-2)}{n-2}=\frac{4}{n-2}

   Scădem 1 scris ca \(\frac{n-2}{n-2}\). La numărător: \(n+2-n+2=4\). Deci \(N=\frac{4}{n-2}\), pentru \(n\) natural, \(n\neq 2\).

5. 5

   b) Când este N număr natural?

   n-2\in\{1,2,4\}\Rightarrow n\in\{3,4,6\}

   \(\frac{4}{n-2}\) este număr natural când \(n-2\) este divizor al lui 4. Cum \(n\) este natural și \(n-2\) trebuie să fie pozitiv (altfel N ar fi negativ, pentru \(n=0,1\)), avem \(n-2=1\), \(2\) sau \(4\). Rezultă \(n=3\), \(n=4\), \(n=6\). Pentru \(n=0\): \(N=-2\); pentru \(n=1\): \(N=-4\); nu sunt naturale.

Răspuns: a) Suma este \(\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\) (demonstrat). b) \(n\in\{3,4,6\}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+2\). a) Arată că \(2\cdot f(1)=f(4)\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină distanța de la punctul \(M(4,0)\) la dreapta \(AB\).

Metoda: Funcția liniară și distanța la dreaptă

1. 1

   a) Calculăm f(1) și f(4)

   f(1)=1+2=3,\quad f(4)=4+2=6

   Pentru a afla valoarea funcției într-un punct, înlocuim pe \(x\) cu acel număr în formula \(f(x)=x+2\). Astfel obținem \(f(1)=3\) și \(f(4)=6\).

2. 2

   a) Verificăm egalitatea

   2\cdot f(1)=2\cdot 3=6=f(4)

   Înmulțim pe \(f(1)=3\) cu 2 și obținem 6. Cum \(f(4)=6\), cele două părți sunt egale, deci egalitatea este adevărată.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(-2,0),\quad B(0,2)

   Graficul taie axa \(Ox\) unde \(y=0\): \(x+2=0\), deci \(x=-2\), adică \(A(-2,0)\). Taie axa \(Oy\) unde \(x=0\): \(f(0)=2\), adică \(B(0,2)\).

4. 4

   b) Calculăm lungimea AB

   OA=2,\ OB=2,\ AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

   Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA=2 și OB=2. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(AB^2=4+4=8\), deci \(AB=2\sqrt2\).

5. 5

   b) Distanța de la M la dreapta AB

   MN=\dfrac{MA\cdot BO}{AB}=\dfrac{6\cdot 2}{2\sqrt2}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2

   Fie N piciorul perpendicularei din M pe AB. Avem \(MA=4-(-2)=6\). Aria triunghiului ABM se poate scrie în două moduri: \(\dfrac{MA\cdot BO}{2}=\dfrac{AB\cdot MN}{2}\), de unde \(MN=\dfrac{MA\cdot BO}{AB}\). Obținem \(MN=\dfrac{12}{2\sqrt2}=3\sqrt2\) cm.

Răspuns: a) \(2\cdot f(1)=6=f(4)\). b) Distanța de la M la dreapta AB este \(3\sqrt{2}\) cm.

În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\). Punctul \(M\) aparține laturii \(CD\), iar paralela prin \(M\) la dreapta \(AD\) intersectează latura \(AB\) în punctul \(N\). Bisectoarea unghiului \(ANM\) intersectează latura \(AD\) în punctul \(P\), iar bisectoarea unghiului \(MNB\) intersectează latura \(BC\) în punctul \(Q\). (2p) a) Arată că măsura unghiului \(PNQ\) este egală cu \(90^\circ\). (3p) b) Demonstrează că punctele \(P\), \(O\) și \(Q\) sunt coliniare, unde \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\).

Metoda: Bisectoare, triunghi isoscel, paralelogram

1. 1

   a) Unghiul ANM și bisectoarea NP

   \angle ANM=90^\circ \Rightarrow \angle PNM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ

   MN este paralelă cu AD, iar AD este perpendiculară pe AB, deci MN este perpendiculară pe AB. Astfel \(\angle ANM=90^\circ\). NP este bisectoarea acestui unghi, deci îl împarte în două unghiuri egale, de \(45^\circ\) fiecare.

2. 2

   a) Unghiul PNQ

   \angle MNQ=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ,\quad \angle PNQ=45^\circ+45^\circ=90^\circ

   Și \(\angle MNB=90^\circ\), iar NQ este bisectoarea lui, deci \(\angle MNQ=45^\circ\). Semidreapta NM se află între NP și NQ, deci \(\angle PNQ=\angle PNM+\angle MNQ=90^\circ\).

3. 3

   b) DP = BQ

   AN=AP,\; NB=BQ \Rightarrow DP=AD-AP=AB-AN=NB=BQ

   Triunghiul PAN este dreptunghic în A, cu \(\angle ANP=45^\circ\), deci este isoscel și AP = AN. La fel, triunghiul NBQ este dreptunghic isoscel, deci BQ = NB. Cum ABCD este pătrat, AD = AB. Atunci DP = AD − AP = AB − AN = NB = BQ.

4. 4

   b) DPBQ este paralelogram

   DP\parallel BQ,\; DP=BQ \Rightarrow DPBQ \text{ paralelogram}

   DP se află pe AD, BQ pe BC, iar AD ∥ BC în pătrat, deci DP ∥ BQ. Avem și DP = BQ. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram.

5. 5

   b) Coliniaritatea punctelor P, O, Q

   O\in DB \text{ mijloc},\; DB \text{ diagonală} \Rightarrow O \text{ mijlocul lui } PQ

   Diagonalele pătratului se înjumătățesc, deci O este mijlocul lui DB. DB este diagonală în paralelogramul DPBQ, iar diagonalele paralelogramului se înjumătățesc. Deci cealaltă diagonală, PQ, are și ea mijlocul în O. Astfel O se află pe segmentul PQ, deci P, O, Q sunt coliniare.

Răspuns: a) \(\angle PNQ=90^\circ\); b) DPBQ este paralelogram și O este mijlocul lui PQ, deci P, O, Q sunt coliniare.

În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AB = 2 \cdot AD = 4\text{ cm}\), măsura unghiului \(BAD\) egală cu \(90^\circ\) și măsura unghiului \(ABC\) egală cu \(30^\circ\). În exteriorul trapezului se construiesc pătratele \(ABEF\) și \(BCHG\). a) (2p) Arată că \(BC = 4\text{ cm}\). b) (3p) Demonstrează că patrulaterul \(AEGC\) este trapez isoscel.

Metoda: Trapez dreptunghic, unghiuri, pătrate

1. 1

   a) Construim înălțimea din C

   CM \perp AB,\ M \in AB \Rightarrow CM = AD = 2\text{ cm}

   Ducem din \(C\) perpendiculara \(CM\) pe \(AB\). Cum \(AB \parallel CD\) și \(AD \perp AB\), patrulaterul \(AMCD\) este dreptunghi, deci \(CM = AD\). Din \(AB = 2 \cdot AD = 4\) cm rezultă \(AD = 2\) cm.

2. 2

   a) Calculăm BC

   \angle MBC = 30^\circ \Rightarrow BC = 2 \cdot CM = 4\text{ cm}

   În triunghiul \(CMB\), dreptunghic în \(M\), unghiul \(B\) are \(30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(BC = 2 \cdot CM\).

3. 3

   b) Unghiul CAB

   BC = AB = 4\text{ cm} \Rightarrow \angle CAB = \angle ACB = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ

   Din a) avem \(BC = 4 = AB\), deci triunghiul \(ABC\) este isoscel cu vârful în \(B\). Unghiurile de la bază sunt egale, iar suma unghiurilor este \(180^\circ\), deci \(\angle CAB = 75^\circ\).

4. 4

   b) Unghiurile CAE și AEG

   \angle CAE = \angle CAB + \angle BAE = 75^\circ + 45^\circ = 120^\circ \text{ (}AE\text{ diagonala pătratului)}

   Pe \(AE\), diagonala pătratului \(ABEF\), unghiul \(BAE\) are \(45^\circ\), deci \(\angle CAE = 120^\circ\). În triunghiul \(BEG\): \(BE = BG\) (laturi de pătrate egale cu 4), iar \(\angle EBG = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Triunghiul fiind isoscel, \(\angle BEG = 15^\circ\). Atunci \(\angle AEG = \angle AEB + \angle BEG = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ\).

5. 5

   b) Concluzia: trapez isoscel

   \angle CAE + \angle AEG = 180^\circ \Rightarrow AC \parallel EG;\ AE = CG

   Unghiurile \(CAE\) și \(AEG\) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei \(AE\) și au suma \(180^\circ\), deci \(AC \parallel EG\). Pătratele \(ABEF\) și \(CBGH\) au latura \(AB = BC\), deci diagonala \(AE\) nu e latură... de fapt \(AE\) și \(CG\) sunt diagonalele pătratelor egale, deci \(AE = CG\). Cum \(AE\) nu e paralelă cu \(CG\), \(AEGC\) este trapez cu laturile neparalele egale, adică trapez isoscel.

Răspuns: a) \(BC = 4\) cm; b) \(AC \parallel EG\) și \(AE = CG\) cu \(AE \nparallel CG\), deci \(AEGC\) este trapez isoscel.

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 8\text{ cm}\) și \(O\) punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). a) (2p) Calculează volumul cubului \(ABCDA'B'C'D'\). b) (3p) Determină distanța de la punctul \(O\) la planul \((CMD)\), unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(A'B'\).

Metoda: Volumul cubului; perpendiculară pe plan

1. 1

   a) Volumul cubului

   V = AB^3 = 8^3 = 512

   Volumul unui cub cu muchia \(l\) este \(l^3\), adică muchia înmulțită cu ea însăși de trei ori (lungime, lățime, înălțime egale). Aici \(l = 8\text{ cm}\), deci \(V = 8^3 = 512\text{ cm}^3\).

2. 2

   b) Perpendicularitatea \(DC \perp (MOP)\)

   DC \perp MP,\ DC \perp OP \Rightarrow DC \perp (MOP)

   Fie P mijlocul segmentului DC. Planul (MOP) conține dreptele MP și OP, care se taie în P. Muchia DC este perpendiculară pe MP (MP este în fața ADD'A'... de fapt MP este paralelă cu muchia AD, iar AD ⊥ DC) și perpendiculară pe OP (O este centrul pătratului ABCD, iar OP este linia mijlocie din triunghiul DOC, care este isoscel, deci OP ⊥ DC). O dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan este perpendiculară pe plan, deci \(DC \perp (MOP)\).

3. 3

   b) Construim perpendiculara din O pe planul (CMD)

   ON \perp MP,\ N \in MP \Rightarrow ON \perp (CMD),\ d(O,(CMD)) = ON

   Ducem \(ON \perp MP\), cu N pe MP. Dar ON este în planul (MOP), iar \(DC \perp (MOP)\), deci \(ON \perp DC\). Astfel ON este perpendiculară pe MP și pe DC, două drepte concurente în P din planul (CMD). Rezultă \(ON \perp (CMD)\), deci distanța de la O la planul (CMD) este chiar lungimea ON.

4. 4

   b) Calculăm ON cu aria triunghiului MOP

   \mathcal{A}_{\triangle MOP} = \frac{ON\cdot MP}{2} = \frac{OP\cdot d(M,OP)}{2}

   Aria triunghiului MOP se poate calcula în două feluri. Avem \(OP = 4\text{ cm}\) (jumătate din latura pătratului). Distanța de la M la OP este 8 cm (egală cu muchia cubului). MP este diagonala unei fețe-pătrat de latură 8, deci \(MP = 8\sqrt{2}\text{ cm}\). Egalăm: \(ON\cdot 8\sqrt2 = 4\cdot 8\), deci \(ON = \frac{32}{8\sqrt2} = \frac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2\text{ cm}\).

Răspuns: a) \(V = 512\text{ cm}^3\); b) distanța de la O la planul (CMD) este \(2\sqrt{2}\text{ cm}\).