Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Prezenta lucrare conține ______ pagini Numele:…………………………………………..... ........................................................................... Inițiala prenumelui tatălui: ……………............ Prenumele:…………………………….................. .....................…………………....……………….... EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU Școala de ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a proveniență: ...................................................… …......................................................................... Anul școlar 2023 – 2024 ............................................................................ Centrul de examen: ......................................... Matematică Localitatea: ………………………………........... Județul: ……………………………………......... Nume și prenume asistent Semnătura NUMELE ŞI PRENUMELE A COMISIA DE EVALUARE NOTA (CIFRE ŞI LITERE) SEMNĂTURA PROFESORULUI EVALUATOR I EVALUATOR II EVALUATOR III EVALUATOR IV NOTA FINALĂ NUMELE ŞI PRENUMELE B COMISIA DE EVALUARE NOTA (CIFRE ŞI LITERE) SEMNĂTURA PROFESORULUI EVALUATOR I EVALUATOR II EVALUATOR III EVALUATOR IV NOTA FINALĂ NUMELE ŞI PRENUMELE C COMISIA DE EVALUARE NOTA (CIFRE ŞI LITERE) SEMNĂTURA PROFESORULUI EVALUATOR I EVALUATOR II EVALUATOR III EVALUATOR IV NOTA FINALĂ Probă scrisă la matematică Varianta 2 1  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație • Toate subiectele sunt obligatorii. • Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de două ore. SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte) 5p 1. Rezultatul calculului 14 − 14 : ( 4 − 2 ) este: a) 0 b) 7 c) 14 d) 21 5p 6 b a⋅b 2. Dacă = , a ≠ 0 , atunci raportul este egal cu: a 2 a ⋅b +1 12 a) 13 b) 1 12 c) 11 d) 12 5p 3. Mulțimea divizorilor naturali ai numărului 15 este: a) {3,5} b) {0,3,5,15} c) {1,3,5,15} d) {3,5,15} 5p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației 2 x 2 = 8 este: a) {−2} b) {−2, 2} c) {2} d) {4} Probă scrisă la matematică Varianta 2 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5p 2 5. Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele a = , b = 0,5 , c = 0,1( 3) și 3 1 d= . Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos: 4 George Anca Marius Alina d <c<b<a c<d <a<b c<d <b<a d <b<a<c Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este: a) George b) Anca c) Marius d) Alina 5p 6. În prezent, Ioana și Maria au împreună 28 de ani. Afirmația ,,Peste 3 ani, Ioana și Maria vor avea împreună 31 de ani.” este: a) adevărată b) falsă SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte) 5p 1. În figura alăturată punctele A , B , C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB < BC < CD și BC = 7 cm . Lungimile segmentelor AB , BC și CD , exprimate în centimetri, sunt trei numere naturale consecutive, iar punctul M este mijlocul segmentului AB . Lungimea segmentului MD este egală cu: a) 10 cm b) 13 cm c) 18 cm d) 21 cm 5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele a și b . Punctele A și E aparțin dreptei a , iar punctele B și C aparțin dreptei b . Dreapta CD este perpendiculară pe dreapta AB , punctul D aparține segmentului AB , iar măsura unghiului DAE este egală cu 67° . Măsura unghiului DCB este egală cu: a) 23° b) 33° c) 67° d) 113° Probă scrisă la matematică Varianta 2 3  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu măsura unghiului C egală cu 75° . Punctul E aparține semidreptei AC astfel încât semidreapta BC este bisectoarea unghiului ABE . Măsura unghiului BEC este egală cu: a) 15° b) 30° c) 60° d) 105° 5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD , cu AC = 20 cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD . Măsura unghiului AOB este egală cu 30° . Aria dreptunghiului ABCD este egală cu: a) 20 cm 2 b) 25 cm 2 c) 100 cm 2 d) 200 cm 2 5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O . Diametrul DB are lungimea egală cu 50 cm . Coarda AC are lungimea egală cu 30 cm și este perpendiculară pe diametrul BD . Dacă E este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD , atunci lungimea segmentului OE este egală cu: a) 20 cm b) 15cm c) 12cm d) 10cm 5p 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu înălțimea VO = 8cm și secțiunea axială triunghiul VAB , cu VA = 10 cm . Volumul conului este egal cu: a) 60π cm3 b) 96π cm3 c) 120π cm3 d) 360π cm3 Probă scrisă la matematică Varianta 2 4  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte) 5p 1. Pentru un concert s-au vândut în total 225 de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de 25 de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de 20 de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de 5150 de lei. (2p) a) Verifică dacă au fost vândute 205 bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat. (3p) b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute. 5p  2 x  x2 + 4 2. Se consideră expresia E ( x ) =  +  : , unde x este număr real, x ≠ −2 și x ≠ 2 .  x − 2 x + 2  x2 + 4x + 4 2 x x2 + 4 (2p) a) Arată că + = , pentru orice număr real x , x ≠ −2 și x ≠ 2 . x − 2 x + 2 ( x − 2 )( x + 2 ) Probă scrisă la matematică Varianta 2 5  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (3p) b) Determină numerele naturale n , n ≠ 2 , pentru care N = E ( n ) − 1 este număr natural. 3. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 2 . 5p (2p) a) Arată că 2 ⋅ f (1) = f ( 4 ) . (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A , respectiv B . Determină distanța de la punctul M ( 4,0) la dreapta AB . Probă scrisă la matematică Varianta 2 6  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD . Punctul M aparține laturii CD , iar paralela prin M la dreapta AD intersectează latura AB în punctul N . Bisectoarea unghiului ANM intersectează latura AD în punctul P , iar bisectoarea unghiului MNB intersectează latura BC în punctul Q . (2p) a) Arată că măsura unghiului PNQ este egală cu 90° . (3p) b) Demonstrează că punctele P , O și Q sunt coliniare, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD . Probă scrisă la matematică Varianta 2 7  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5p 5. În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB CD , AB = 2 ⋅ AD = 4cm , măsura unghiului BAD egală cu 90° și măsura unghiului ABC egală cu 30° . În exteriorul trapezului se construiesc pătratele ABEF și BCHG . (2p) a) Arată că BC = 4cm . (3p) b) Demonstrează că patrulaterul AEGC este trapez isoscel. Probă scrisă la matematică Varianta 2 8  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA ' B ' C ' D ' cu AB = 8cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD . (2p) a) Calculează volumul cubului ABCDA ' B ' C ' D ' . (3p) b) Determină distanța de la punctul O la planul ( CMD ) , unde punctul M este mijlocul segmentului A' B ' . Probă scrisă la matematică Varianta 2 9  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Probă scrisă la matematică Varianta 2 10