Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2024, sesiunea iunie–iulie (varianta 07)

Rezultatul calculului \(8+14:2\) este egal cu: a) 22; b) 15; c) 11; d) 6.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   8+14:2

   În calcul nu sunt paranteze. Regula spune că înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. De aceea facem întâi \(14:2\), nu \(8+14\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   14:2=7

   Împărțim 14 la 2 și obținem 7. Acum calculul devine \(8+7\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   8+7=15

   După ce am făcut împărțirea, rămâne doar adunarea \(8+7=15\). Rezultatul este 15, deci varianta corectă este b).

4. 4

   Verificăm celelalte variante

   (8+14):2=11

   Varianta 22 apare dacă faci \(8+14\) și uiți de împărțire. Varianta 11 apare dacă faci întâi adunarea și apoi împarți la 2, adică \((8+14):2\), dar aici nu sunt paranteze. Varianta 6 nu rezultă din nicio ordine corectă. Deci doar 15 este corect.

Răspuns: Varianta corectă este b) 15.

Un album costă 200 de lei. După o reducere cu \(20\%\), prețul albumului este egal cu: a) 20 de lei; b) 40 de lei; c) 160 de lei; d) 180 de lei.

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Aflăm cât reprezintă reducerea

   20\% \text{ din } 200 = \frac{20}{100}\cdot 200 = 40

   Reducerea este \(20\%\) din prețul inițial. Un procent dintr-un număr se calculează scriind procentul ca fracție cu numitorul 100 și înmulțind cu numărul: \(\frac{20}{100}\cdot 200 = 40\). Deci reducerea este de 40 de lei.

2. 2

   Scădem reducerea din prețul inițial

   200 - 40 = 160

   Prețul nou este prețul vechi minus reducerea: \(200-40=160\) lei. Deci varianta corectă este c). Varianta a) (20 lei) ar fi valoarea cu care ai fi confundat procentul cu lei. Varianta b) (40 de lei) este doar reducerea, nu prețul nou. Varianta d) (180 de lei) ar corespunde unei reduceri de 20 de lei, adică \(10\%\), nu \(20\%\).

Răspuns: Prețul albumului după reducere este 160 de lei, adică varianta c).

Se consideră intervalele de numere reale \(I=(-\infty,6]\) și \(J=(4,+\infty)\). Intersecția intervalelor \(I\) și \(J\) este intervalul: a) \((-\infty,4]\); b) \([4,6)\); c) \((6,+\infty)\); d) \((4,6]\).

Metoda: Intersecția intervalelor pe axă

1. 1

   Descriem fiecare interval

   I=(-\infty,6]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 6\},\quad J=(4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}

   Mai întâi traducem intervalele în inegalități. Intervalul \(I\) conține toate numerele mai mici sau egale cu 6 (6 este inclus, deoarece paranteza este pătrată). Intervalul \(J\) conține numerele strict mai mari decât 4 (4 nu este inclus, deoarece paranteza este rotundă).

2. 2

   Reprezentăm pe axă și găsim suprapunerea

   x\le 6 \text{ și } x>4 \Rightarrow 4<x\le 6

   Intersecția conține numerele care îndeplinesc ambele condiții: \(x>4\) și \(x\le 6\). Pe axă, \(I\) se întinde spre stânga de la 6, iar \(J\) spre dreapta de la 4. Se suprapun între 4 și 6. La 4 punem paranteză rotundă (nu e în \(J\)), iar la 6 paranteză pătrată (e și în \(I\), și în \(J\)).

3. 3

   Scriem intervalul și alegem varianta

   I\cap J=(4,6]

   Condiția \(4<x\le 6\) se scrie ca interval \((4,6]\). Este varianta d). Varianta a) \((-\infty,4]\) conține numere mici, care nu sunt în \(J\). Varianta b) \([4,6)\) îl include pe 4 (greșit) și îl exclude pe 6 (greșit). Varianta c) \((6,+\infty)\) conține numere mai mari ca 6, care nu sunt în \(I\).

Răspuns: Varianta corectă este d) \((4,6]\).

Cel mai mare număr din mulțimea \(A=\{5,(024);\ 5,(24);\ 5,2(4);\ 5,24\}\) este: a) \(5,(024)\); b) \(5,(24)\); c) \(5,2(4)\); d) \(5,24\).

Metoda: Compararea fracțiilor zecimale periodice

1. 1

   Scriem numerele cu mai multe zecimale

   5,(024)=5,024024\ldots;\ 5,(24)=5,242424\ldots;\ 5,2(4)=5,244444\ldots;\ 5,24=5,240000\ldots

   Perioada se repetă la nesfârșit. Scriem fiecare număr cu cel puțin 6 zecimale, ca să vedem clar diferențele. La \(5,24\) completăm cu zerouri.

2. 2

   Comparăm zecimalele de la stânga la dreapta

   5,0240\ldots<5,2400\ldots<5,2424\ldots<5,2444\ldots

   Părțile întregi sunt egale (5). La prima zecimală, \(5,(024)\) are 0, iar celelalte au 2, deci \(5,(024)\) este cel mai mic. Celelalte trei au 2 și 4 la primele două zecimale; se diferențiază la a treia zecimală: \(5,24\) are 0, \(5,(24)\) are 2, iar \(5,2(4)\) are 4. Cea mai mare a treia zecimală este 4.

3. 3

   Concluzia

   5,2(4)>5,(24)>5,24>5,(024)

   Cel mai mare număr este \(5,2(4)\), adică varianta c). Celelalte sunt mai mici: \(5,(24)\) are a treia zecimală 2, \(5,24\) are a treia zecimală 0, iar \(5,(024)\) are prima zecimală 0.

Răspuns: Varianta c) \(5,2(4)\)

Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale \(a\) și \(b\) pentru care \(|a+3|+|b-4|=0\). Răspunsurile date de cei patru elevi sunt: Alin: \(-7\); Ioana: \(-1\); Dana: \(1\); Vlad: \(7\). Rezultatul corect a fost obținut de către: a) Alin; b) Ioana; c) Dana; d) Vlad.

Metoda: Modulul ca număr nenegativ

1. 1

   Ce știm despre module

   |x|\ge 0

   Modulul unui număr real este distanța de la acel număr la 0 pe axa numerelor. O distanță nu poate fi negativă, deci orice modul este mai mare sau egal cu 0. Așadar \(|a+3|\ge 0\) și \(|b-4|\ge 0\).

2. 2

   Suma a două numere nenegative este 0

   |a+3|+|b-4|=0 \Rightarrow |a+3|=0 \text{ și } |b-4|=0

   Dacă adunăm două numere care sunt amândouă mai mari sau egale cu 0 și obținem 0, singura posibilitate este ca ambele să fie 0. Dacă unul ar fi pozitiv, suma ar fi pozitivă.

3. 3

   Aflăm pe a și pe b

   a+3=0 \Rightarrow a=-3;\quad b-4=0 \Rightarrow b=4

   Un modul este 0 doar când numărul din interior este 0. Din \(a+3=0\) obținem \(a=-3\), iar din \(b-4=0\) obținem \(b=4\).

4. 4

   Calculăm suma și alegem varianta

   a+b=-3+4=1

   Suma cerută este \(a+b=-3+4=1\). Această valoare a fost obținută de Dana, deci varianta corectă este c). Alin (\(-7\)) ar fi adunat \(-3\) cu \(-4\), Vlad (\(7\)) ar fi adunat \(3\) cu \(4\), iar Ioana (\(-1\)) ar fi adunat \(3\) cu \(-4\): toți au greșit semnele lui a sau b.

Răspuns: c) Dana, pentru că \(a=-3\), \(b=4\), deci \(a+b=1\).

Afirmația: „Numărul 1 este soluția ecuației \(2x+3=4x+1\).” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Verificarea unei soluții

1. 1

   Înlocuim x cu 1 în partea stângă

   2\cdot 1+3=5

   Un număr este soluție a unei ecuații dacă, pus în locul necunoscutei, transformă egalitatea într-o egalitate adevărată. De aceea calculăm separat fiecare membru al ecuației, începând cu cel din stânga: \(2x+3\) pentru \(x=1\).

2. 2

   Înlocuim x cu 1 în partea dreaptă

   4\cdot 1+1=5

   Acum calculăm și membrul drept, \(4x+1\), pentru \(x=1\). Vom putea apoi compara cele două rezultate.

3. 3

   Comparăm cele două părți și concluzionăm

   5=5

   Ambele părți au dat 5, deci egalitatea \(2x+3=4x+1\) este adevărată pentru \(x=1\). Prin urmare 1 este soluția ecuației și afirmația este adevărată, deci varianta corectă este a). Varianta b) (falsă) ar fi corectă doar dacă cele două părți ar fi ieșit diferite.

Răspuns: Varianta a) – afirmația este adevărată, deoarece pentru x = 1 ambii membri sunt egali cu 5.

În figura alăturată punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(BC = 4\text{ cm}\), \(AD = 4 \cdot BC\) și \(AB = CD\). Lungimea segmentului \(AB\) este egală cu: a) \(4\text{ cm}\); b) \(6\text{ cm}\); c) \(8\text{ cm}\); d) \(12\text{ cm}\).

Metoda: Calcul de lungimi de segmente

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului AD

   AD = 4 \cdot BC = 4 \cdot 4 = 16\text{ cm}

   Din enunț știm că \(AD = 4 \cdot BC\), iar \(BC = 4\text{ cm}\). Deci înmulțim 4 cu 4 și aflăm lungimea întregului segment AD.

2. 2

   Scriem AD ca sumă de trei segmente

   AD = AB + BC + CD

   Punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D, deci segmentul AD se împarte în trei părți consecutive: AB, BC și CD. Lungimea lui AD este suma lor.

3. 3

   Folosim AB = CD și aflăm AB + CD

   AB + CD = AD - BC = 16 - 4 = 12\text{ cm}

   Din \(16 = AB + 4 + CD\) scădem 4 și aflăm cât fac împreună AB și CD: 12 cm. Cum \(AB = CD\), cele două segmente au aceeași lungime și împreună fac 12 cm.

4. 4

   Aflăm lungimea lui AB

   AB = CD = 12 : 2 = 6\text{ cm}

   AB și CD sunt egale și împreună fac 12 cm, deci fiecare are jumătate din 12, adică 6 cm. Răspunsul corect este b). Varianta a) 4 cm ar da \(4+4+4=12\neq 16\); varianta c) 8 cm ar da \(8+4+8=20\neq 16\); varianta d) 12 cm ar da \(12+4+12=28\neq 16\).

5. 5

   Verificare

   6 + 4 + 6 = 16

   Adunăm cele trei segmente: \(AB + BC + CD = 6+4+6 = 16\), exact cât este AD. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: Lungimea lui AB este 6 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = AC\) și măsura unghiului \(C\) egală cu \(40^\circ\). Punctele \(B\), \(A\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului \(CAD\) este egală cu: a) \(40^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(80^\circ\); d) \(100^\circ\).

Metoda: Triunghi isoscel și unghi exterior

1. 1

   Aflăm unghiul B din triunghiul isoscel

   AB=AC \Rightarrow \angle B=\angle C=40^\circ

   Triunghiul este isoscel cu \(AB = AC\), deci baza este BC. Unghiurile de la bază sunt congruente: \(\angle B = \angle C\). Cum \(\angle C = 40^\circ\), obținem \(\angle B = 40^\circ\).

2. 2

   Aflăm unghiul CAD cu teorema unghiului exterior

   \angle CAD=\angle B+\angle C=40^\circ+40^\circ=80^\circ

   Punctele B, A, D sunt coliniare, deci \(\angle CAD\) este unghi exterior triunghiului ABC, în vârful A. Teorema unghiului exterior spune că el este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente, adică B și C. Deci \(\angle CAD = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ\).

3. 3

   Verificare cu unghiuri suplementare

   \angle BAC=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ,\quad \angle CAD=180^\circ-100^\circ=80^\circ

   Suma unghiurilor triunghiului este \(180^\circ\), deci \(\angle BAC = 100^\circ\). Unghiurile BAC și CAD sunt suplementare (B, A, D coliniare), deci \(\angle CAD = 80^\circ\). Același rezultat, deci răspunsul c) este corect. Variantele a), b), d) nu se potrivesc: \(100^\circ\) este unghiul BAC, nu CAD.

Răspuns: Varianta corectă este c) \(80^\circ\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu măsura unghiului \(A\) egală cu \(43^\circ\) și măsura unghiului \(C\) egală cu \(51^\circ\). Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) aparțin laturilor \(AC\), \(AB\), respectiv \(BC\), astfel încât dreapta \(MN\) este paralelă cu dreapta \(BC\) și dreapta \(MP\) este paralelă cu dreapta \(AB\). Măsura unghiului \(NMP\) este egală cu: a) \(43^\circ\); b) \(51^\circ\); c) \(86^\circ\); d) \(94^\circ\).

Metoda: Unghiuri la drepte paralele

1. 1

   Aflăm unghiul B al triunghiului ABC

   \angle B = 180^\circ - 43^\circ - 51^\circ = 86^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Cunoaștem \(\angle A=43^\circ\) și \(\angle C=51^\circ\), deci îl putem afla pe \(\angle B\) scăzând cele două unghiuri din \(180^\circ\).

2. 2

   Arătăm că NMC este egal cu B

   MN \parallel BC \Rightarrow \angle AMN = \angle C = 51^\circ,\quad MP \parallel AB \Rightarrow \angle PMC = \angle A = 43^\circ

   Drepta \(MN\) este paralelă cu \(BC\), iar \(AB\) este secantă: unghiurile corespondente \(\angle ANM\) și \(\angle B\) sunt egale. Deci \(\angle ANM=86^\circ\). Analog, \(MP\parallel AB\) cu secanta \(BC\) dă \(\angle MPC=\angle B=86^\circ\). Vom folosi aceste unghiuri mai departe.

3. 3

   Calculăm unghiul NMP

   \angle NMP = 180^\circ - \angle AMN - \angle PMC = 180^\circ - 51^\circ - 43^\circ = 86^\circ

   Punctele \(A\), \(M\), \(C\) sunt coliniare, deci unghiul alungit de la \(M\) are \(180^\circ\). Se împarte în \(\angle AMN\), \(\angle NMP\) și \(\angle PMC\). Am aflat \(\angle AMN=\angle C=51^\circ\) (corespondente, \(MN\parallel BC\), secanta \(AC\)) și \(\angle PMC=\angle A=43^\circ\) (corespondente, \(MP\parallel AB\), secanta \(AC\)). Rămâne \(\angle NMP=86^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle NMP = 86^\circ

   Valoarea \(86^\circ\) corespunde variantei c). Variantele a) \(43^\circ\) și b) \(51^\circ\) sunt doar unghiurile \(A\) și \(C\), nu \(\angle NMP\). Varianta d) \(94^\circ\) este suma \(43^\circ+51^\circ\), adică ce rămâne dacă am uita să scădem din \(180^\circ\).

Răspuns: c) \(86^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\) și aria triunghiului \(ACM\) este egală cu \(10\ \text{cm}^2\). Aria paralelogramului \(ABCD\) este egală cu: a) \(10\ \text{cm}^2\); b) \(20\ \text{cm}^2\); c) \(30\ \text{cm}^2\); d) \(40\ \text{cm}^2\).

Metoda: Arii: triunghi și paralelogram

1. 1

   Aria triunghiului ABC față de aria lui ACM

   \mathcal{A}_{ABC}=2\cdot\mathcal{A}_{ACM}

   Punctul \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(AB=2\cdot AM\). Triunghiurile \(ACM\) și \(ABC\) au același vârf \(C\), deci aceeași înălțime \(h\) dusă din \(C\) pe dreapta \(AB\). Aria este baza ori înălțimea împărțit la 2, iar baza \(AB\) este dublul bazei \(AM\), deci aria lui \(ABC\) este dublul ariei lui \(ACM\). Așadar \(\mathcal{A}_{ABC}=2\cdot 10=20\ \text{cm}^2\).

2. 2

   Aria paralelogramului ABCD

   \mathcal{A}_{ABCD}=2\cdot\mathcal{A}_{ABC}

   Diagonala \(AC\) împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, \(ABC\) și \(CDA\), deci cu aceeași arie. Astfel aria paralelogramului este dublul ariei lui \(ABC\): \(2\cdot 20=40\ \text{cm}^2\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \mathcal{A}_{ABCD}=40\ \text{cm}^2

   Am obținut \(40\ \text{cm}^2\), deci varianta d) este corectă. Varianta a) (10) ar fi chiar aria lui \(ACM\), adică am uitat să dublăm. Varianta b) (20) este aria lui \(ABC\), adică am uitat al doilea pas. Varianta c) (30) nu rezultă din niciun raționament.

Răspuns: d) \(40\ \text{cm}^2\)

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\) și raza egală cu \(6\text{ cm}\). Punctele \(A\), \(B\) și \(C\) aparțin cercului, \(AC\) este diametru și măsura unghiului \(BAC\) este egală cu \(30^\circ\). Lungimea coardei \(BC\) este egală cu: a) \(6\text{ cm}\); b) \(6\sqrt{3}\text{ cm}\); c) \(12\text{ cm}\); d) \(8\sqrt{3}\text{ cm}\).

Metoda: Triunghi dreptunghic, unghi de 30°

1. 1

   Aflăm lungimea diametrului AC

   AC = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}

   Diametrul unui cerc este de două ori mai mare decât raza. Raza este 6 cm, deci diametrul AC are 12 cm. Această lungime va fi ipotenuza triunghiului nostru.

2. 2

   Arătăm că triunghiul ABC este dreptunghic

   \angle ABC = \frac{1}{2}\cdot \overset{\frown}{AC} = \frac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ

   AC este diametru, deci arcul AC are 180°. Unghiul înscris în cerc \(ABC\) cuprinde arcul AC și are jumătate din măsura arcului, adică 90°. Deci triunghiul ABC este dreptunghic în B, iar ipotenuza este AC.

3. 3

   Folosim cateta opusă unghiului de 30°

   BC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}

   În triunghiul dreptunghic ABC, cateta BC este opusă unghiului A de 30°. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Deci BC este jumătate din 12 cm, adică 6 cm.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   BC = 6\text{ cm}

   Lungimea coardei BC este 6 cm, deci varianta corectă este a). Varianta c) (12 cm) ar fi lungimea diametrului, nu a coardei BC. Variantele b) și d) conțin \(\sqrt{3}\), care ar apărea pentru cateta opusă de 60°, nu de 30°, și oricum ar depăși ipotenuza sau nu se potrivesc calculului.

Răspuns: Lungimea coardei BC este 6 cm, deci varianta corectă este a).

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\). Unghiul dreptelor \(AC\) și \(AD'\) are măsura egală cu: a) \(45^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\).

Metoda: Triunghi echilateral în cub

1. 1

   Alegem triunghiul \(ACD'\)

   \triangle ACD'

   Dreptele AC și AD' pornesc din același punct A. Unghiul lor este unghiul \(\angle CAD'\), adică un unghi al triunghiului \(ACD'\), unde am unit C cu D'. Astfel problema se reduce la a afla un unghi al unui triunghi.

2. 2

   Arătăm că laturile sunt egale

   AC=AD'=CD'=l\sqrt{2}

   Fiecare dintre segmentele AC, AD' și CD' este diagonala unei fețe a cubului (baza ABCD, fața ADD'A' și fața CDD'C'). Diagonala unui pătrat cu latura l are lungimea \(l\sqrt{2}\), din teorema lui Pitagora. Deci cele trei laturi sunt egale.

3. 3

   Calculăm unghiul

   \triangle ACD' \text{ echilateral} \Rightarrow \angle CAD'=60^\circ

   Un triunghi cu toate laturile egale este echilateral, iar unghiurile lui au câte \(60^\circ\) (suma este \(180^\circ\), iar \(180:3=60\)). Deci unghiul dreptelor AC și AD' are \(60^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{b) } 60^\circ

   Varianta b) este corectă. Varianta a) 45° ar apărea la un triunghi dreptunghic isoscel, dar \(ACD'\) nu este așa. Varianta c) 90° ar cere laturi care satisfac Pitagora, dar avem trei laturi egale. Varianta d) 120° este un unghi obtuz și nu poate fi unghi al unui triunghi echilateral.

Răspuns: Varianta b) 60°

Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat. (2p) b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică. (3p)

Metoda: Ecuații și probleme cu ecuații

1. 1

   a) Câți elevi stau în bănci, dacă sunt 30?

   30-3=27

   Dacă se așază câte 2 în bancă, 3 elevi rămân în picioare. Deci doar elevii care NU rămân în picioare stau în bănci. Dacă în clasă sunt 30 de elevi, în bănci stau \(30-3=27\) elevi.

2. 2

   a) Decidem dacă 30 este posibil

   27 \text{ este impar}

   În fiecare bancă stau exact 2 elevi, deci numărul elevilor din bănci este un număr par (2, 4, 6, ...). Dar 27 este impar, deci nu poate fi împărțit în grupuri de câte 2. Prin urmare, în clasă nu pot fi 30 de elevi.

3. 3

   b) Scriem numărul elevilor în primul caz

   a=2b+3

   Notăm cu \(a\) numărul elevilor și cu \(b\) numărul băncilor. La câte 2 în bancă se ocupă toate cele \(b\) bănci, deci stau \(2b\) elevi, iar 3 rămân în picioare. Deci \(a=2b+3\).

4. 4

   b) Scriem numărul elevilor în al doilea caz

   a=4(b-6)+1

   La câte 4 în bancă rămân 5 bănci libere și încă una cu un singur elev. Deci \(6\) bănci nu sunt pline. Celelalte \(b-6\) bănci au câte 4 elevi, iar banca specială are 1 elev. Deci \(a=4(b-6)+1\).

5. 5

   b) Egalăm cele două expresii și aflăm b

   2b+3=4(b-6)+1 \Rightarrow 2b+3=4b-23 \Rightarrow 26=2b \Rightarrow b=13

   Numărul elevilor \(a\) este același în ambele cazuri, deci egalăm expresiile. Desfacem paranteza: \(4(b-6)+1=4b-24+1=4b-23\). Apoi \(2b+3=4b-23\), de unde \(3+23=4b-2b\), adică \(26=2b\), deci \(b=13\). Sunt 13 bănci în laborator.

6. 6

   Verificare

   a=2\cdot13+3=29,\ 4\cdot7+1=29

   Cu \(b=13\): primul caz dă \(2\cdot13+3=29\) elevi. În al doilea caz \(4\cdot(13-6)+1=4\cdot7+1=29\). Se potrivesc. Se vede și că 30 de elevi nu e posibil, clasa are 29.

Răspuns: a) Nu, în clasă nu pot fi 30 de elevi, deoarece 27 este impar și nu se poate împărți în grupuri de câte 2. b) În laborator sunt 13 bănci.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x-1}\right)\cdot\left(x^2-4\right)\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 1\) și \(x\neq 2\). (2p) a) Arată că \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Determină numerele întregi \(n\), \(n\neq 1\) și \(n\neq 2\), pentru care \(N=\frac{5}{E(n)}\) este număr natural.

Metoda: Descompuneri în factori, fracții algebrice

1. 1

   a) Descompunem \(x^2-3x+2\) în factori

   x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)

   Scriem termenul \(-3x\) ca \(-2x-x\). Astfel putem da factor comun în grupe: din primii doi termeni scoatem \(x\), iar din ultimii doi scoatem \(-1\). Apare același factor \((x-2)\) în ambele grupe, pe care îl scoatem factor comun. Așa am arătat egalitatea cerută, pentru orice număr real x.

2. 2

   b) Aducem expresia din paranteză la numitor comun

   E(x)=\left(\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\right)(x^2-4)=\frac{1+(x-2)}{(x-1)(x-2)}(x^2-4)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}(x^2-4)

   Folosim descompunerea de la punctul a). Numitorul comun este \((x-1)(x-2)\). A doua fracție se amplifică cu \((x-2)\), deci numărătorul devine \(1+x-2=x-1\).

3. 3

   Simplificăm expresia E(x)

   E(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}\cdot(x-2)(x+2)=x+2

   Descompunem \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) cu formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Apoi simplificăm cu \((x-1)\) și cu \((x-2)\), permis pentru că \(x\neq 1\) și \(x\neq 2\). Rămâne \(E(x)=x+2\).

4. 4

   Găsim valorile întregi n pentru care N este număr natural

   N=\frac{5}{n+2}\in\mathbb{N}\Rightarrow n+2\in\{1,5\}\Rightarrow n=-1\ \text{sau}\ n=3

   N este număr natural dacă \(n+2\) este divizor al lui 5 și fracția e pozitivă. Divizorii lui 5 sunt 1 și 5 (și -1, -5, dar acestea dau N negativ, deci nu sunt numere naturale). Din \(n+2=1\) obținem \(n=-1\), iar din \(n+2=5\) obținem \(n=3\). Ambele sunt diferite de 1 și 2, deci sunt acceptate.

Răspuns: a) \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\); b) \(E(x)=x+2\), iar n ∈ {-1, 3}.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\). a) Arată că \(f(0)+f(1)=0\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină distanța de la punctul \(C\left(-\frac{1}{2},0\right)\) la dreapta \(AB\). (În figură: graficul este o dreaptă crescătoare, iar punctul C se află pe axa Ox, în stânga originii O.)

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(0)

   f(0)=2\cdot 0-1=-1

   Pentru a afla \(f(0)\), înlocuim pe \(x\) cu 0 în formula funcției: \(f(0)=2\cdot 0-1\). Produsul \(2\cdot 0\) este 0, deci rămâne \(-1\).

2. 2

   a) Calculăm f(1) și suma

   f(1)=2\cdot 1-1=1,\quad f(0)+f(1)=-1+1=0

   Înlocuim x cu 1: \(2\cdot 1-1=1\). Apoi adunăm cele două valori: \(-1+1=0\), exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A\left(\tfrac12,0\right),\quad B(0,-1)

   Graficul taie axa \(Oy\) când \(x=0\): \(y=f(0)=-1\), deci \(B(0,-1)\). Taie axa \(Ox\) când \(y=0\): \(2x-1=0\), deci \(x=\frac12\) și \(A\left(\frac12,0\right)\).

4. 4

   b) Lungimea segmentului AB

   AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{\tfrac14+1}=\tfrac{\sqrt5}{2}

   Triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), cu catetele \(OA=\frac12\) și \(OB=1\). Din teorema lui Pitagora, \(AB^2=\frac14+1=\frac54\), deci \(AB=\frac{\sqrt5}{2}\).

5. 5

   b) Distanța de la C la dreapta AB

   AC=\tfrac12+\tfrac12=1,\quad CD=\frac{AC\cdot OB}{AB}=\frac{1\cdot1}{\frac{\sqrt5}{2}}=\frac{2\sqrt5}{5}

   Punctele \(C\), \(O\), \(A\) sunt pe axa Ox, deci \(AC=\frac12+\frac12=1\). Fie \(CD\perp AB\), \(D\in AB\); distanța cerută este \(CD\). Triunghiul \(ABC\) are aria \(\frac{AC\cdot OB}{2}\) (înălțimea din B este OB) și, la fel, \(\frac{AB\cdot CD}{2}\). Egalăm: \(AB\cdot CD=AC\cdot OB\), deci \(CD=\frac{1}{\frac{\sqrt5}{2}}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\).

Răspuns: a) \(f(0)+f(1)=-1+1=0\). b) Distanța de la C la dreapta AB este \(\frac{2\sqrt5}{5}\).

Subiectul III, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\) cu \(AB = AC\). Înălțimea din vârful \(A\) intersectează latura \(BC\) în punctul \(D\) și \(AD = BC\). Înălțimea din vârful \(B\) intersectează latura \(AC\) în punctul \(E\). Înălțimile \(AD\) și \(BE\) se intersectează în punctul \(H\). a) (2p) Arată că unghiurile \(DAC\) și \(EBC\) au aceeași măsură. b) (3p) Demonstrează că \(AH = 3 \cdot HD\).

Metoda: Unghiuri complementare, triunghiuri asemenea

1. 1

   a) Unghiul DAC în triunghiul ADC

   \angle DAC + \angle ACB = 90^\circ

   Înălțimea \(AD\) este perpendiculară pe \(BC\), deci triunghiul \(ADC\) este dreptunghic în \(D\). Într-un triunghi dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite au suma \(90^\circ\). Astfel \(\angle DAC + \angle ACB = 90^\circ\).

2. 2

   a) Unghiul EBC în triunghiul BEC

   \angle ACB + \angle EBC = 90^\circ \Rightarrow \angle DAC = \angle EBC

   \(BE\) este înălțime, deci \(BE \perp AC\) și triunghiul \(BEC\) este dreptunghic în \(E\). Atunci \(\angle ACB + \angle EBC = 90^\circ\). Din pasul anterior avem și \(\angle DAC + \angle ACB = 90^\circ\). Două unghiuri care se adaugă la același unghi \(ACB\) ca să dea \(90^\circ\) sunt egale: \(\angle DAC = \angle EBC\).

3. 3

   b) Laturile egale BD și DC

   BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{AD}{2}

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu \(AB = AC\), iar \(AD\) este înălțime spre baza \(BC\). Într-un triunghi isoscel înălțimea spre bază este și mediană, deci \(D\) este mijlocul lui \(BC\). Cum \(AD = BC\), obținem \(BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{AD}{2}\).

4. 4

   b) Triunghiurile BHD și ACD sunt asemenea

   \Delta BHD \sim \Delta ACD \Rightarrow \frac{HD}{DC} = \frac{BD}{AD}

   Triunghiurile \(BHD\) și \(ACD\) au \(\angle HBD = \angle EBC = \angle DAC\) (de la punctul a)) și \(\angle BDH = \angle ADC = 90^\circ\). Două unghiuri egale ajung pentru asemănare (criteriul U.U.). Laturile corespunzătoare sunt proporționale: \(\frac{HD}{DC} = \frac{BD}{AD}\).

5. 5

   b) Calculul lui HD și concluzia

   HD = \frac{BD \cdot DC}{AD} = \frac{AD}{4},\quad AH = AD - HD = \frac{3AD}{4} = 3 \cdot HD

   Înlocuim în proporție: \(\frac{HD}{AD/2} = \frac{AD/2}{AD}\). Membrul drept este \(\frac{1}{2}\), deci \(HD = \frac{1}{2}\cdot\frac{AD}{2} = \frac{AD}{4}\). Punctul \(H\) este pe \(AD\), deci \(AH = AD - HD = AD - \frac{AD}{4} = \frac{3 \cdot AD}{4}\). Comparăm: \(AH = 3 \cdot \frac{AD}{4} = 3 \cdot HD\).

Răspuns: a) \(\angle DAC = \angle EBC\), ambele completând \(\angle ACB\) până la \(90^\circ\). b) \(HD = \frac{AD}{4}\) și \(AH = \frac{3AD}{4}\), deci \(AH = 3 \cdot HD\).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\), în care \(CD\) este diametru. Punctul \(B\) aparține cercului astfel încât dreptele \(BO\) și \(CD\) sunt perpendiculare. Punctul \(M\) aparține arcului mic \(BC\), dreptele \(DM\) și \(BO\) se intersectează în punctul \(N\), \(DN = 2 \cdot MN\) și \(MN = 4\) cm. a) Arată că măsura unghiului \(CMD\) este egală cu \(90^\circ\). b) Calculează aria triunghiului \(DON\).

Metoda: Unghi înscris și trigonometrie

1. 1

   a) Arcul CD este de 180°

   \widehat{CD}=180^\circ

   Segmentul \(CD\) este diametru, deci trece prin centrul \(O\) și împarte cercul în două semicercuri egale. Arcul determinat de un diametru măsoară \(180^\circ\).

2. 2

   a) Unghiul CMD este înscris în cerc

   \angle CMD=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{CD}=\dfrac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ

   Punctul \(M\) este pe cerc, deci \(\angle CMD\) este unghi înscris și are măsura egală cu jumătate din arcul \(CD\) pe care îl cuprinde. Rezultă \(90^\circ\).

3. 3

   b) Două rapoarte egale cu același cosinus

   \cos(\angle NDO)=\dfrac{OD}{ND},\quad \cos(\angle MDC)=\dfrac{MD}{CD}\ \Rightarrow\ \dfrac{OD}{ND}=\dfrac{MD}{CD}

   Triunghiul \(NOD\) este dreptunghic în \(O\), pentru că \(BO\perp CD\). Triunghiul \(CMD\) este dreptunghic în \(M\), din punctul a). Unghiurile \(NDO\) și \(MDC\) sunt același unghi, deoarece \(N\) este pe \(DM\) și \(O\) este pe \(DC\). Deci au același cosinus.

4. 4

   b) Calculăm ND, MD și OD

   ND=2\cdot 4=8\text{ cm},\ MD=ND+MN=12\text{ cm},\ CD=2\cdot OD,\ \dfrac{OD}{8}=\dfrac{12}{2\cdot OD}\Rightarrow OD^2=48\Rightarrow OD=4\sqrt3\text{ cm}

   Din \(DN=2\cdot MN\) obținem \(ND=8\) cm. \(N\) se află între \(D\) și \(M\), deci \(MD=8+4=12\) cm. \(CD\) este diametru, deci \(CD=2\cdot OD\). Din egalitatea rapoartelor: \(OD\cdot 2\cdot OD=8\cdot 12=96\), deci \(OD^2=48\), de unde \(OD=4\sqrt3\) cm.

5. 5

   b) Calculăm ON și aria triunghiului DON

   ON=\sqrt{DN^2-OD^2}=\sqrt{64-48}=4\text{ cm},\quad \mathcal{A}_{DON}=\dfrac{ON\cdot OD}{2}=\dfrac{4\cdot 4\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ cm}^2

   În triunghiul dreptunghic \(DON\) (unghi drept în \(O\)) folosim teorema lui Pitagora: \(ON^2=DN^2-OD^2=64-48=16\), deci \(ON=4\) cm. Catetele sunt \(ON\) și \(OD\), deci aria este semiprodusul lor.

Răspuns: a) \(\angle CMD=90^\circ\), fiind unghi înscris care cuprinde un semicerc. b) \(\mathcal{A}_{DON}=8\sqrt3\text{ cm}^2\).

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AB = 12\) cm și \(AA' = 3\sqrt{3}\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\). a) Arată că aria laterală a prismei \(ABCA'B'C'\) este egală cu \(108\sqrt{3}\) cm². b) Determină distanța de la punctul \(M\) la planul \((A'B'C)\).

Metoda: Arie laterală și perpendicularitate în spațiu

1. 1

   a) Aria unei fețe laterale

   \mathcal{A}_{ABB'A'} = AB \cdot AA' = 12 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}

   Prisma este dreaptă, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri. Un dreptunghi are dimensiunile AB = 12 cm și AA' = \(3\sqrt{3}\) cm, iar aria lui este produsul lor: \(12 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\) cm².

2. 2

   a) Aria laterală

   \mathcal{A}_{lat} = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}

   Baza este triunghi echilateral, deci prisma are 3 fețe laterale, toate egale (toate muchiile bazei au 12 cm). Aria laterală este suma lor: \(3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\) cm², exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Perpendiculara pe planul (A'B'C)

   A'B' \perp (CMN), \quad MP \perp CN \Rightarrow MP \perp (A'B'C)

   Triunghiul A'B'C este isoscel (A'C = B'C), deci dacă N este mijlocul lui A'B', atunci CN ⊥ A'B'. Și MN ⊥ A'B' (MN este paralelă cu AA', deci perpendiculară pe baza de sus). Cum CN și MN sunt secante în planul (CMN), rezultă A'B' ⊥ (CMN). Ducem MP ⊥ CN, cu P pe CN. Atunci A'B' ⊥ MP, iar MP ⊥ CN, deci MP ⊥ (A'B'C). Distanța căutată este MP.

4. 4

   b) Calculul lui MP

   CN = \sqrt{MN^2+CM^2}=\sqrt{27+108}=3\sqrt{15}, \quad MP=\frac{MN\cdot CM}{CN}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{15}}=\frac{6\sqrt{15}}{5}

   MN = AA' = \(3\sqrt{3}\) cm. CM este înălțime în triunghiul echilateral ABC: \(CM = \frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\) cm. Triunghiul MNC este dreptunghic în M, deci prin Pitagora \(CN^2 = 27+108 = 135\), adică \(CN = 3\sqrt{15}\). MP este înălțime pe ipotenuză: \(MP = \frac{MN\cdot CM}{CN} = \frac{54}{3\sqrt{15}} = \frac{18}{\sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{5}\) cm.

Răspuns: a) Aria laterală este \(108\sqrt{3}\) cm². b) Distanța de la M la planul (A'B'C) este \(\frac{6\sqrt{15}}{5}\) cm.