Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2024, simulare

Rezultatul calculului \(52-2\cdot(25-5)\) este: a) 12; b) 92; c) 100; d) 1000.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   25-5=20

   Într-un calcul, operațiile din parantezele rotunde se fac primele. De aceea începem cu \(25-5\), care dă \(20\). Expresia devine \(52-2\cdot 20\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   2\cdot 20=40

   După paranteză, înmulțirea se face înaintea scăderii. Nu scădem \(52-2\), ci calculăm mai întâi \(2\cdot 20=40\). Expresia devine \(52-40\).

3. 3

   Efectuăm scăderea și alegem varianta

   52-40=12

   Ultima operație rămasă este scăderea: \(52-40=12\). Deci varianta corectă este a) 12. Varianta b) 92 ar apărea dacă am aduna în loc să scădem, iar c) 100 dacă am face \(52-2=50\) și apoi \(50\cdot 20=1000\) sau alte greșeli de ordine a operațiilor; d) 1000 vine din \(50\cdot 20\), adică scăderea înaintea înmulțirii.

Răspuns: Varianta corectă este a) 12.

Dacă \(\frac{x-2}{5}=\frac{y}{3}\), atunci rezultatul calculului \(3x-5y\) este: a) 0 b) 2 c) 5 d) 6

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{x-2}{5}=\frac{y}{3}\Rightarrow 3\cdot(x-2)=5\cdot y

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Extremii sunt \(x-2\) și 3, iar mezii sunt 5 și y. Așa scăpăm de fracții și obținem o egalitate mai ușor de folosit.

2. 2

   Desfacem paranteza

   3(x-2)=5y\Rightarrow 3x-6=5y

   Înmulțim pe 3 cu fiecare termen din paranteză: \(3\cdot x=3x\) și \(3\cdot 2=6\). Așa apare termenul 3x, care se regăsește în expresia cerută.

3. 3

   Ajungem la expresia cerută

   3x-6=5y\Rightarrow 3x-5y=6

   Mutăm termenul 5y în stânga, cu semn schimbat, și termenul 6 în dreapta, tot cu semn schimbat. Obținem exact \(3x-5y\), care este egal cu 6. Deci varianta corectă este d) 6. Variantele 0, 2 și 5 nu sunt valoarea obținută. Putem verifica și cu un exemplu: pentru \(x=7\) și \(y=3\) proporția este adevărată, pentru că \(\frac{5}{5}=\frac{3}{3}=1\), iar \(3\cdot 7-5\cdot 3=6\).

Răspuns: d) 6

Se consideră mulțimile \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) și \(B=\{0,2,4,6,8\}\). Intersecția mulțimilor \(A\) și \(B\) este mulțimea: a) \(\{0,2,4,6,8\}\); b) \(\{0,1,2,3,4,5,6,8\}\); c) \(\{2,4,6\}\); d) \(\{0,2,4,6\}\).

Metoda: Intersecția a două mulțimi

1. 1

   Ce înseamnă intersecția

   A\cap B=\{x \mid x\in A \text{ și } x\in B\}

   Intersecția \(A\cap B\) conține doar elementele care aparțin și lui \(A\), și lui \(B\). Un element care apare într-o singură mulțime nu intră în intersecție.

2. 2

   Verificăm fiecare element al lui B

   0\notin A,\ 2\in A,\ 4\in A,\ 6\in A,\ 8\notin A

   Luăm pe rând elementele lui \(B=\{0,2,4,6,8\}\) și vedem dacă sunt și în \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\). Numărul \(0\) nu e în \(A\), deci nu intră. Numerele \(2\), \(4\), \(6\) sunt și în \(A\), deci intră. Numărul \(8\) nu e în \(A\), deci nu intră.

3. 3

   Scriem intersecția

   A\cap B=\{2,4,6\}

   Elementele comune sunt \(2\), \(4\) și \(6\). Deci \(A\cap B=\{2,4,6\}\), adică varianta c). Varianta a) este \(B\) întreagă, varianta b) este reuniunea \(A\cup B\), iar la d) apare \(0\), care nu este în \(A\).

Răspuns: c) \(\{2,4,6\}\)

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației \(2x+2\geq 4\) este: a) \((-\infty,-1]\); b) \((-\infty,1]\); c) \([-1,+\infty)\); d) \([1,+\infty)\).

Metoda: Rezolvarea unei inecuații liniare

1. 1

   Izolăm termenul cu x

   2x+2\geq 4 \Rightarrow 2x\geq 4-2

   Scădem 2 din ambii membri ai inecuației. Când adunăm sau scădem același număr în ambii membri, sensul semnului \(\geq\) rămâne neschimbat. Astfel rămâne x doar cu coeficientul lui.

2. 2

   Împărțim la coeficientul lui x

   2x\geq 2 \Rightarrow x\geq 2:2 \Rightarrow x\geq 1

   Împărțim ambii membri la 2. Deoarece 2 este pozitiv, sensul inegalității nu se schimbă (s-ar schimba doar dacă am împărți la un număr negativ).

3. 3

   Scriem soluția ca interval

   x\geq 1 \Rightarrow x\in[1,+\infty)

   Toate numerele mai mari sau egale cu 1 formează intervalul care începe în 1 și merge la infinit. Paranteza este pătrată în 1 deoarece 1 este soluție (avem \(\geq\)), iar la \(+\infty\) este mereu rotundă. Deci răspunsul corect este d).

4. 4

   Verificăm și celelalte variante

   x=1:\ 2\cdot1+2=4\geq 4

   Verificare: pentru x=1 avem 4≥4, adevărat, deci 1 face parte din soluții, iar d) îl conține. Variantele a) și b) conțin numere mici, de exemplu x=0: \(2\cdot0+2=2\), iar 2≥4 este fals, deci nu merg. La c), x=-1 dă \(2\cdot(-1)+2=0\), iar 0≥4 este fals.

Răspuns: Varianta corectă este d) \([1,+\infty)\).

Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad determină numărul \(a=|2-4\sqrt{3}|+2(\sqrt{12}+1)\). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos: Ana: 0; Ioan: 4; Dana: \(4\sqrt{3}\); Vlad: \(8\sqrt{3}\). Conform informațiilor din tabel, elevul care a determinat corect numărul \(a\) este: a) Ana; b) Ioan; c) Dana; d) Vlad.

Metoda: Modul și scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Semnul expresiei din modul

   4\sqrt{3}=\sqrt{48}>\sqrt{4}=2 \Rightarrow 2-4\sqrt{3}<0

   Ca să scoatem modulul, trebuie să știm dacă numărul dinăuntru este pozitiv sau negativ. Comparăm \(2\) cu \(4\sqrt{3}\). Introducem \(4\) sub radical: \(4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}\), iar \(2=\sqrt{4}\). Cum \(48>4\), avem \(4\sqrt{3}>2\), deci \(2-4\sqrt{3}\) este negativ.

2. 2

   Scoatem modulul

   |2-4\sqrt{3}|=-(2-4\sqrt{3})=4\sqrt{3}-2

   Modulul unui număr negativ este opusul lui (distanța până la 0 este pozitivă). Deci schimbăm semnul întregii expresii din modul: \(|2-4\sqrt{3}|=4\sqrt{3}-2\).

3. 3

   Scoatem factorii de sub radical

   \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}

   Vrem să avem \(\sqrt{3}\) peste tot, ca să putem aduna termenii la final. Descompunem \(12=4\cdot 3\) și scoatem \(\sqrt{4}=2\) de sub radical. Apoi înmulțim paranteza cu 2: \(2(2\sqrt{3}+1)=4\sqrt{3}+2\).

4. 4

   Adunăm și alegem elevul

   a=4\sqrt{3}-2+4\sqrt{3}+2=8\sqrt{3}

   Adunăm cele două părți: \((4\sqrt{3}-2)+(4\sqrt{3}+2)\). Termenii \(-2\) și \(+2\) se reduc, iar \(4\sqrt{3}+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\). Deci \(a=8\sqrt{3}\), valoare scrisă de Vlad, varianta d). Ceilalți nu au dreptate: Ana (0) și Ioan (4) sunt numere fără radical, iar \(a\) este iraționalul \(8\sqrt{3}\); Dana a scris \(4\sqrt{3}\), adică doar jumătate din rezultat (a adunat un singur \(4\sqrt{3}\)).

Răspuns: d) Vlad: \(a=8\sqrt{3}\).

În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase, la un test de matematică. Diagrama cu bare arată numărul de elevi pe note: Nota 4 – 1 elev, Nota 5 – 3 elevi, Nota 6 – 6 elevi, Nota 7 – 5 elevi, Nota 8 – 5 elevi, Nota 9 – 6 elevi, Nota 10 – 4 elevi. Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8.” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Citirea datelor din diagramă

1. 1

   Citim numărul de elevi pentru fiecare notă

   1,\ 3,\ 6,\ 5,\ 5,\ 6,\ 4

   Înălțimea fiecărei bare ne spune câți elevi au luat nota respectivă. Citim de la stânga la dreapta: nota 4 – 1 elev, nota 5 – 3 elevi, nota 6 – 6 elevi, nota 7 – 5 elevi, nota 8 – 5 elevi, nota 9 – 6 elevi, nota 10 – 4 elevi. Avem nevoie de aceste numere ca să putem calcula totalul și grupul cerut.

2. 2

   Aflăm numărul total de elevi din clasă

   1+3+6+5+5+6+4=30

   Ca să aflăm cât reprezintă jumătate din clasă, trebuie mai întâi să știm câți elevi sunt în total. Adunăm numerele de elevi de la toate notele.

3. 3

   Aflăm câți elevi au cel puțin nota 8

   5+6+4=15

   „Cel puțin nota 8” înseamnă nota 8 sau mai mare, deci notele 8, 9 și 10. Adunăm elevii de la aceste trei bare: 5 + 6 + 4.

4. 4

   Comparăm cu jumătate din numărul elevilor

   30:2=15

   Jumătate din 30 de elevi este 15. Numărul elevilor cu cel puțin nota 8 este tot 15, deci este exact jumătate din clasă. Afirmația este adevărată, deci răspunsul corect este a). Varianta b) „falsă” nu merge, pentru că cele două numere sunt egale.

Răspuns: Varianta corectă este a) adevărată: în clasă sunt 30 de elevi, iar 15 dintre ei, adică jumătate, au cel puțin nota 8.

În figura alăturată punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(BC = 2AB\), \(CD = 2BC\) și \(AB = 2\text{ cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\) și punctul \(N\) este mijlocul segmentului \(CD\). Lungimea segmentului \(MN\) este egală cu: a) \(4\text{ cm}\) b) \(5\text{ cm}\) c) \(7\text{ cm}\) d) \(9\text{ cm}\). (În figură, punctele sunt în ordinea A, M, B, C, N, D pe aceeași dreaptă.)

Metoda: Calcul de lungimi pe segmente

1. 1

   Aflăm lungimea lui BC

   BC = 2\cdot AB = 2\cdot 2 = 4\text{ cm}

   Din enunț, BC este de două ori mai lung decât AB. Cum AB = 2 cm, înmulțim cu 2 și obținem BC = 4 cm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui CD

   CD = 2\cdot BC = 2\cdot 4 = 8\text{ cm}

   CD este de două ori mai lung decât BC. Cum BC = 4 cm, rezultă CD = 8 cm.

3. 3

   Aflăm MB și CN (jumătățile)

   MB = \dfrac{AB}{2} = 1\text{ cm},\quad CN = \dfrac{CD}{2} = 4\text{ cm}

   M este mijlocul lui AB, deci MB este jumătate din AB. N este mijlocul lui CD, deci CN este jumătate din CD.

4. 4

   Calculăm MN

   MN = MB + BC + CN = 1 + 4 + 4 = 9\text{ cm}

   Punctele sunt în ordinea M, B, C, N, deci MN este format din trei bucăți puse cap la cap: MB, BC și CN. Le adunăm și obținem 9 cm, adică varianta d). Variantele a), b), c) ar ieși doar dacă am uita una dintre bucăți sau am lua greșit jumătățile.

Răspuns: Lungimea lui MN este 9 cm, deci varianta corectă este d).

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figură sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare \(AOB\) și \(BOC\). Semidreapta \(OM\) este bisectoarea unghiului \(AOB\) și \(\angle BOC = 3\cdot\angle AOM\). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu: a) \(18^\circ\); b) \(36^\circ\); c) \(40^\circ\); d) \(54^\circ\).

Metoda: Unghiuri complementare și bisectoare

1. 1

   Folosim bisectoarea

   \angle AOM=\angle MOB=x,\quad \angle AOB=2x

   OM este bisectoarea unghiului AOB, deci îl împarte în două unghiuri congruente. Dacă \(\angle AOM = x\), atunci și \(\angle MOB = x\), iar \(\angle AOB = x + x = 2x\).

2. 2

   Exprimăm unghiul BOC

   \angle BOC=3\cdot\angle AOM=3x

   Enunțul spune că \(\angle BOC\) este de 3 ori mai mare decât \(\angle AOM = x\), deci \(\angle BOC = 3x\).

3. 3

   Scriem că unghiurile sunt complementare

   2x+3x=90^\circ\Rightarrow 5x=90^\circ

   Unghiurile AOB și BOC sunt complementare, deci suma lor este \(90^\circ\). Înlocuim: \(2x + 3x = 90^\circ\), deci \(5x = 90^\circ\).

4. 4

   Calculăm AOB și verificăm

   x=18^\circ,\quad \angle AOB=2x=36^\circ

   Din \(5x=90^\circ\) obținem \(x=18^\circ\). Atunci \(\angle AOB = 2\cdot 18^\circ = 36^\circ\), deci varianta corectă este b). Verificare: \(\angle BOC = 3\cdot18^\circ = 54^\circ\) și \(36^\circ + 54^\circ = 90^\circ\). Varianta a) (\(18^\circ\)) este doar x, adică jumătate din AOB. Varianta d) (\(54^\circ\)) este unghiul BOC, nu AOB.

Răspuns: Măsura unghiului AOB este \(36^\circ\) (varianta b).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu \(AB=10\text{ cm}\) și \(AC=12\text{ cm}\). Semidreapta \(BI\) este bisectoarea unghiului \(ABC\) și semidreapta \(CI\) este bisectoarea unghiului \(ACB\). Paralela prin punctul \(I\) la dreapta \(BC\) intersectează dreptele \(AB\) și \(AC\) în punctele \(D\), respectiv \(E\). Perimetrul triunghiului \(ADE\) este egal cu: a) \(11\text{ cm}\); b) \(20\text{ cm}\); c) \(22\text{ cm}\); d) \(24\text{ cm}\). (În figură: \(D\in AB\), \(E\in AC\), \(I\) este pe segmentul \(DE\), iar \(DE\parallel BC\).)

Metoda: Triunghi isoscel și drepte paralele

1. 1

   Găsim unghiuri egale în jurul lui D

   \angle DIB=\angle IBC=\angle DBI

   Dreapta \(DE\) este paralelă cu \(BC\), iar \(BI\) este secantă. Unghiurile \(DIB\) și \(IBC\) sunt alterne interne, deci sunt congruente. Pe de altă parte, \(BI\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), deci \(\angle DBI=\angle IBC\). Din ambele rezultă \(\angle DIB=\angle DBI\).

2. 2

   Deducem DB = DI și EC = EI

   DB=DI,\quad EC=EI

   Triunghiul \(DBI\) are unghiurile de la baza \(BI\) egale, deci este isoscel, cu \(DB=DI\). La fel, \(CI\) este bisectoarea unghiului \(ACB\) și \(DE\parallel BC\), deci \(\angle EIC=\angle ICB=\angle ECI\). Triunghiul \(EIC\) este isoscel, cu \(EC=EI\).

3. 3

   Calculăm perimetrul triunghiului ADE

   P_{ADE}=AD+DI+IE+EA=AD+DB+EC+EA=AB+AC

   Latura \(DE\) se descompune în \(DI+IE\). Înlocuim \(DI\) cu \(DB\) și \(IE\) cu \(EC\). Atunci \(AD+DB=AB\) (pentru că \(D\) este pe \(AB\)) și \(EC+EA=AC\) (pentru că \(E\) este pe \(AC\)). Deci perimetrul este \(AB+AC=10+12=22\text{ cm}\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   P_{ADE}=22\text{ cm}

   Perimetrul este \(22\text{ cm}\), deci răspunsul corect este c). Variantele a) \(11\), b) \(20\) și d) \(24\) nu se obțin din \(AB+AC=10+12\). De exemplu, \(11\) ar fi jumătate din \(22\), iar \(24\) ar fi \(2\cdot AC\), ceea ce nu are legătură cu raționamentul nostru.

Răspuns: c) 22 cm

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AB = 3\sqrt{2}\) cm, și triunghiul \(BEC\) dreptunghic în \(E\). Punctul \(F\) este mijlocul segmentului \(BC\) și \(EF = 4\) cm. Aria trapezului \(AFCD\) este egală cu: a) \(6\sqrt{2}\ \text{cm}^2\); b) \(12\sqrt{2}\ \text{cm}^2\); c) \(18\sqrt{2}\ \text{cm}^2\); d) \(24\sqrt{2}\ \text{cm}^2\). (Figura: dreptunghiul \(ABCD\) cu \(A\) jos-stânga, \(B\) jos-dreapta, \(C\) sus-dreapta, \(D\) sus-stânga; \(F\) pe latura \(BC\); \(E\) în exteriorul dreptunghiului, cu \(\angle BEC = 90^\circ\).)

Metoda: Mediana ipotenuzei și aria trapezului

1. 1

   Aflăm lungimea lui BC

   EF=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2\cdot 4=8\ \text{cm}

   Triunghiul \(BEC\) este dreptunghic în \(E\), deci \(BC\) este ipotenuza. \(F\) este mijlocul ipotenuzei, deci \(EF\) este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. Deci \(BC = 2\cdot EF = 8\) cm.

2. 2

   Găsim bazele și înălțimea trapezului AFCD

   AD=BC=8,\quad FC=\frac{BC}{2}=4,\quad h=DC=AB=3\sqrt{2}

   În dreptunghiul \(ABCD\), laturile opuse sunt egale: \(AD = BC = 8\) cm și \(DC = AB = 3\sqrt{2}\) cm. Cum \(F\) este mijlocul lui \(BC\), avem \(FC = 8:2 = 4\) cm. În trapezul \(AFCD\), laturile \(AD\) și \(FC\) sunt paralele (se află pe laturile opuse \(AD\) și \(BC\) ale dreptunghiului), deci ele sunt bazele. Latura \(DC\) este perpendiculară pe ambele baze, deci este înălțimea.

3. 3

   Calculăm aria trapezului

   \mathcal{A}=\frac{(AD+FC)\cdot DC}{2}=\frac{(8+4)\cdot 3\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\ \text{cm}^2

   Aria trapezului este \(\frac{(B+b)\cdot h}{2}\), adică semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Semisuma bazelor este \((8+4):2 = 6\). Apoi \(6\cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\). Deci aria este \(18\sqrt{2}\ \text{cm}^2\), adică varianta c).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \mathcal{A}=18\sqrt{2}\ \text{cm}^2\Rightarrow \text{c)}

   Am obținut \(18\sqrt{2}\ \text{cm}^2\), deci varianta corectă este c). Varianta d) \(24\sqrt{2}\) este aria întregului dreptunghi \(ABCD\) (\(8\cdot 3\sqrt{2}\)), nu a trapezului. Variantele a) și b) apar dacă se folosesc baze sau împărțiri greșite.

Răspuns: Aria trapezului \(AFCD\) este \(18\sqrt{2}\ \text{cm}^2\), varianta c).

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\) și raza egală cu \(3\) cm. Punctul \(P\) este situat la o distanță de \(6\) cm de centrul cercului. Dreptele \(PA\) și \(PB\) sunt tangente la cerc în punctele \(A\) și \(B\). Măsura arcului mic \(AB\) este egală cu: a) \(60^\circ\); b) \(90^\circ\); c) \(120^\circ\); d) \(150^\circ\).

Metoda: Tangente și triunghi dreptunghic

1. 1

   Triunghiul dreptunghic OAP

   OA \perp PA,\ OA=3,\ OP=6

   Dreapta \(PA\) este tangentă la cerc în \(A\), deci raza \(OA\) este perpendiculară pe \(PA\). Rezultă că triunghiul \(OAP\) este dreptunghic în \(A\), cu ipotenuza \(OP=6\) cm și cateta \(OA=3\) cm (raza).

2. 2

   Aflăm unghiul AOP

   OA=\frac{OP}{2}\Rightarrow \angle APO=30^\circ,\ \angle AOP=60^\circ

   În triunghiul dreptunghic \(OAP\) cateta \(OA=3\) este jumătate din ipotenuza \(OP=6\). Conform proprietății din clasa a VI-a, cateta care are lungimea jumătate din ipotenuză se opune unghiului de \(30^\circ\). Deci \(\angle APO=30^\circ\). Suma unghiurilor ascuțite este \(90^\circ\), deci \(\angle AOP=90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

3. 3

   Unghiul AOB

   \angle AOB=2\cdot\angle AOP=2\cdot 60^\circ=120^\circ

   Triunghiurile \(OAP\) și \(OBP\) sunt congruente (tangentele din \(P\) sunt egale, \(OA=OB\), \(OP\) comună), deci \(OP\) este bisectoarea unghiului \(AOB\). Astfel \(\angle AOB=2\cdot 60^\circ=120^\circ\).

4. 4

   Măsura arcului mic AB

   m(\widehat{AB})=\angle AOB=120^\circ

   Unghiul \(AOB\) este unghi la centru, iar măsura unui arc de cerc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător. Deci arcul mic \(AB\) are \(120^\circ\), varianta c). Celelalte variante nu corespund: \(60^\circ\) este unghiul \(AOP\), nu arcul; \(90^\circ\) și \(150^\circ\) nu rezultă din calcule.

Răspuns: Arcul mic \(AB\) are \(120^\circ\). Varianta corectă: c).

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată \(VABCD\) cu baza \(ABCD\), \(VA = AB\) și \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(DB\). Dacă punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(VB\), atunci măsura unghiului dreptelor \(OM\) și \(CD\) este egală cu: a) \(0^\circ\); b) \(30^\circ\); c) \(45^\circ\); d) \(60^\circ\).

Metoda: Linie mijlocie și paralelism în spațiu

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu OM

   OM \parallel VD

   În triunghiul \(VBD\), punctul \(O\) este mijlocul lui \(BD\) (diagonalele pătratului \(ABCD\) se înjumătățesc), iar \(M\) este mijlocul lui \(VB\). Deci \(OM\) este linie mijlocie în triunghiul \(VBD\), adică \(OM \parallel VD\) și \(OM = \frac{VD}{2}\).

2. 2

   Reducem unghiul la unghiul dreptelor VD și CD

   \angle(OM, CD) = \angle(VD, CD) = \angle VDC

   Deoarece \(OM \parallel VD\), unghiul dreptelor \(OM\) și \(CD\) este egal cu unghiul dreptelor \(VD\) și \(CD\). Dreptele \(VD\) și \(CD\) se intersectează în \(D\), deci unghiul cerut este \(\angle VDC\).

3. 3

   Aflăm măsura unghiului VDC

   VD = DC = VC \Rightarrow \triangle VDC \text{ echilateral} \Rightarrow \angle VDC = 60^\circ

   Piramida este regulată și \(VA = AB\), deci muchiile laterale sunt egale cu latura bazei: \(VD = VC = DC\). Triunghiul \(VDC\) are toate laturile egale, deci este echilateral, iar unghiurile lui au \(60^\circ\). Astfel unghiul dreptelor \(OM\) și \(CD\) este \(60^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Răspuns: d) } 60^\circ

   Varianta d) este corectă pentru că \(\angle(OM, CD) = \angle VDC = 60^\circ\). Varianta a) ar însemna că dreptele sunt paralele, dar \(OM \parallel VD\), iar \(VD\) taie \(CD\) în \(D\). Variantele b) și c) nu corespund triunghiului echilateral \(VDC\).

Răspuns: d) 60°

Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că, dacă le grupează câte \(8\), câte \(12\) sau câte \(18\), îi rămân de fiecare dată \(5\) cărți. a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă \(53\) de cărți. Justifică răspunsul dat. (2p) b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț. (3p)

Metoda: Împărțirea cu rest și c.m.m.m.c.

1. 1

   a) Verificăm dacă 53 convine

   53 = 18\cdot 2 + 17

   Dacă Maria are \(53\) de cărți, când le grupează câte \(18\) trebuie să rămână \(5\). Facem împărțirea cu rest a lui \(53\) la \(18\): \(18\cdot 2=36\), iar \(53-36=17\). Restul este \(17\), nu \(5\).

2. 2

   a) Concluzia

   17 \neq 5

   Restul cerut este \(5\), dar noi am obținut \(17\). Cum \(17\neq 5\), numărul \(53\) nu respectă condiția din enunț. Deci Maria nu poate avea \(53\) de cărți.

3. 3

   b) Scriem numărul sub forma împărțirii cu rest

   n=8c_1+5=12c_2+5=18c_3+5

   Notăm cu \(n\) numărul cărților. La fiecare grupare rămân \(5\) cărți, deci \(n=8c_1+5\), \(n=12c_2+5\), \(n=18c_3+5\), unde \(c_1,c_2,c_3\) sunt numere naturale (numărul de grupe).

4. 4

   b) Aflăm c.m.m.m.c.

   8=2^3,\ 12=2^2\cdot 3,\ 18=2\cdot 3^2 \Rightarrow [8,12,18]=2^3\cdot 3^2=72

   Numărul \(n-5\) este multiplu comun al lui \(8\), \(12\) și \(18\), deci este multiplu de \(72\). Descompunem în factori primi și luăm fiecare factor la puterea cea mai mare: \(2^3\) și \(3^2\). Rezultă \(n-5=72k\), adică \(n=72k+5\).

5. 5

   b) Cel mai mic număr de trei cifre

   n=72k+5,\quad k=2\Rightarrow n=149

   Pentru \(k=1\) obținem \(72+5=77\), care are două cifre. Pentru \(k=2\) obținem \(144+5=149\), care are trei cifre. Deci cel mai mic număr de trei cifre este \(149\).

6. 6

   Verificare finală

   149=8\cdot 18+5=12\cdot 12+5=18\cdot 8+5

   Verificăm: \(8\cdot 18=144\), \(12\cdot 12=144\), \(18\cdot 8=144\), iar \(144+5=149\). Deci la fiecare grupare rămân \(5\) cărți.

Răspuns: a) Nu, deoarece \(53\) împărțit la \(18\) dă restul \(17\neq 5\). b) Maria are \(149\) de cărți.

Se consideră expresia \(E(x)=(2x+3)^2+(x-2)(x+2)-3(1-x)+2\), unde \(x\) este număr real. a) Arată că \(E(0)=4\). b) Arată că numărul \(N=E(n)+6\) este divizibil cu 10, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   a) Înlocuim x cu 0

   E(0)=(2\cdot 0+3)^2+(0-2)(0+2)-3(1-0)+2

   Ca să aflăm E(0), punem peste tot 0 în locul lui x și respectăm ordinea operațiilor: întâi parantezele, apoi puterea, înmulțirile, la final adunările și scăderile.

2. 2

   a) Calculăm rezultatul

   E(0)=9-4-3+2=4

   Am obținut 9, apoi \((-2)\cdot 2=-4\), apoi \(-3\cdot 1=-3\) și +2. Adunând: 9 − 4 − 3 + 2 = 4, exact cât trebuia să arătăm.

3. 3

   b) Desfacem parantezele

   E(n)+6=(4n^2+12n+9)+(n^2-4)-3+3n+2+6

   Folosim \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), deci \((2n+3)^2=4n^2+12n+9\). Apoi \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), deci \((n-2)(n+2)=n^2-4\). Iar \(-3(1-n)=-3+3n\).

4. 4

   b) Reducem termenii asemenea

   E(n)+6=5n^2+15n+10

   Adunăm separat termenii cu \(n^2\): \(4n^2+n^2=5n^2\); termenii cu n: \(12n+3n=15n\); numerele: \(9-4-3+2+6=10\).

5. 5

   b) Factor comun și divizibilitate cu 10

   N=5(n^2+3n+2)=5(n+1)(n+2)

   Dăm factor comun 5. Apoi \(n^2+3n+2=(n+1)(n+2)\). Numerele n+1 și n+2 sunt consecutive, deci unul dintre ele este par, iar produsul lor se împarte la 2. Cum N = 5 · (număr divizibil cu 2), iar 5 și 2 sunt prime între ele, N se împarte la 10.

Răspuns: a) E(0) = 4. b) N = 5(n+1)(n+2), iar (n+1)(n+2) este par, deci N se împarte la 10 pentru orice n natural.

Se consideră numărul natural \(\overline{abc}\) cu a, b, c cifre nenule, unde \(a=5\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\frac{2}{3}:\frac{1}{3}\) și \(b=\left(3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4\right):9^4-25^4:5^7\). a) Arată că \(a=3\). b) Determină numărul \(\overline{abc}\), știind că numerele \(\overline{ac}\) și \(\overline{cb}\) sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.

Metoda: Fracții, puteri și proporții

1. 1

   a) Calculăm paranteza

   \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1

   Mai întâi se calculează paranteza. Fracțiile au numitori diferiți, deci le aducem la numitorul comun 6 (cel mai mic multiplu comun al lui 2, 3 și 6). Apoi adunăm numărătorii: \(3+2+1=6\), deci suma este \(\frac{6}{6}=1\). Aici se vede și varianta din barem, în care a se scrie cu numitor 6.

2. 2

   a) Calculăm a

   a=5\cdot 1-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}=5-2=3

   Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa ei: \(\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}=2\). Ordinea operațiilor: înmulțiri și împărțiri înaintea scăderii. Rezultă \(5-2=3\), deci \(a=3\).

3. 3

   b) Calculăm cifra b

   b=3^{10}:3^8-5^8:5^7=3^2-5=9-5=4

   Folosim regulile de calcul cu puteri. La paranteză: \(3\cdot3^2\cdot3^3\cdot3^4=3^{1+2+3+4}=3^{10}\). Apoi \(9^4=(3^2)^4=3^8\) și \(25^4=(5^2)^4=5^8\). Împărțirea puterilor cu aceeași bază scade exponenții: \(3^{10}:3^8=3^2=9\) și \(5^8:5^7=5\). Deci \(b=9-5=4\).

4. 4

   b) Folosim proporționalitatea

   \frac{\overline{3c}}{4}=\frac{\overline{c4}}{3}\Rightarrow 3\cdot\overline{3c}=4\cdot\overline{c4}

   Numerele \(\overline{ac}\) și \(\overline{cb}\) sunt direct proporționale cu 4 și 3, deci raportul lor către 4, respectiv 3, este același. Cu \(a=3\) și \(b=4\) avem \(\overline{ac}=\overline{3c}\) și \(\overline{cb}=\overline{c4}\). Înmulțim pe diagonală (proprietatea fundamentală a proporțiilor): \(3\cdot(30+c)=4\cdot(10c+4)\).

5. 5

   b) Aflăm c și numărul

   90+3c=40c+16\Rightarrow 74=37c\Rightarrow c=2,\ \overline{abc}=342

   Desfacem parantezele: \(90+3c=40c+16\). Mutăm termenii: \(90-16=40c-3c\), adică \(74=37c\). De aici \(c=74:37=2\). Cifrele sunt \(a=3\), \(b=4\), \(c=2\), deci \(\overline{abc}=342\). Verificare: \(\overline{ac}=32\), \(\overline{cb}=24\) și \(\frac{32}{4}=8=\frac{24}{3}\).

Răspuns: a) \(a=3\); b) \(b=4\), \(c=2\), deci \(\overline{abc}=342\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic \(ABC\), cu \(\measuredangle A=90^\circ\) și \(\measuredangle B=40^\circ\). Semidreapta \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), punctul \(E\) aparține segmentului \(AC\). Perpendiculara din punctul \(A\) pe \(BC\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(D\), iar perpendiculara din punctul \(E\) pe \(BC\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(F\). Dreptele \(BE\) și \(AD\) se intersectează în punctul \(M\). a) Arată că măsura unghiului \(EMA\) este egală cu \(70^\circ\). b) Arată că patrulaterul \(AMFE\) este romb.

Metoda: Unghiuri și triunghiuri congruente

1. 1

   a) Măsura unghiului ABE

   \measuredangle ABE=\measuredangle EBC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ

   Semidreapta \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), deci îl împarte în două unghiuri congruente. Cum \(\measuredangle ABC=40^\circ\), fiecare parte are \(20^\circ\).

2. 2

   a) Unghiul BMD în triunghiul dreptunghic BMD

   \measuredangle BMD=90^\circ-20^\circ=70^\circ

   Triunghiul \(BDM\) este dreptunghic în \(D\), pentru că \(AD\perp BC\). Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic însumează \(90^\circ\). Unghiul din \(B\) este \(\measuredangle MBD=20^\circ\), deci \(\measuredangle BMD=70^\circ\).

3. 3

   a) Unghiuri opuse la vârf

   \measuredangle EMA=\measuredangle BMD=70^\circ

   Dreptele \(BE\) și \(AD\) se intersectează în \(M\). Unghiurile \(EMA\) și \(BMD\) sunt opuse la vârf, deci sunt congruente. Astfel \(\measuredangle EMA=70^\circ\).

4. 4

   b) EF este paralelă cu AD

   EF\perp BC,\ AD\perp BC\ \Rightarrow\ EF\parallel AD

   Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele. Deci \(EF\parallel AD\), adică \(EF\parallel AM\).

5. 5

   b) Triunghiul AEM este isoscel

   \measuredangle AEB=90^\circ-20^\circ=70^\circ=\measuredangle AEM\cdot\text{ și }\measuredangle EMA=70^\circ\ \Rightarrow\ AE=AM

   În triunghiul dreptunghic \(ABE\) avem \(\measuredangle AEB=90^\circ-20^\circ=70^\circ\), deci \(\measuredangle AEM=70^\circ\). Din a) avem \(\measuredangle EMA=70^\circ\). Triunghiul \(AEM\) are două unghiuri egale, deci este isoscel, cu \(AE=AM\).

6. 6

   b) Congruența triunghiurilor EFB și EAB și concluzia

   \Delta EFB\equiv\Delta EAB\ \Rightarrow\ EF=EA=AM,\ EF\parallel AM\ \Rightarrow\ AMFE\text{ romb}

   Triunghiurile dreptunghice \(EFB\) și \(EAB\) au ipotenuza \(BE\) comună și \(\measuredangle EBF=\measuredangle EBA=20^\circ\) (caz IU). Deci \(EF=EA\). Cum \(AM=EA\), rezultă \(EF=AM\). Având \(EF\parallel AM\) și \(EF=AM\), patrulaterul \(AMFE\) este paralelogram. Are și laturile consecutive \(EA=AM\) egale, deci este romb.

Răspuns: a) \(\measuredangle EMA=70^\circ\); b) \(AMFE\) este paralelogram cu \(EA=AM\), deci este romb.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\) cu \(AB = 15\) cm. Punctul \(P\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(PB = 2AP\) și \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(BD\). a) Arată că lungimea segmentului \(AP\) este egală cu \(5\) cm. b) Determină raportul dintre aria triunghiului \(ANP\) și aria triunghiului \(DNO\), unde \(N\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AC\) și \(DP\).

Metoda: Asemănarea triunghiurilor în paralelogram

1. 1

   a) Exprimăm AB în funcție de AP

   AB = AP + PB = AP + 2AP = 3AP

   Punctul P se află pe segmentul AB, deci AB este format din AP și PB puse cap la cap. Știm că PB = 2AP, deci înlocuim PB cu 2AP și obținem AB = 3AP.

2. 2

   a) Calculăm AP

   3AP = 15 \Rightarrow AP = 15 : 3 = 5 \text{ cm}

   Știm că AB = 15 cm și AB = 3AP. Deci 3AP = 15, iar AP se obține împărțind 15 la 3.

3. 3

   b) Triunghiuri asemenea ANP și CND

   \triangle ANP \sim \triangle CND \Rightarrow \frac{AN}{CN}=\frac{NP}{ND}=\frac{AP}{CD}=\frac{1}{3}

   AP este paralelă cu CD (AB ∥ CD în paralelogram), deci unghiurile formate cu secantele AC și DP sunt egale (alterne interne). Rezultă triunghiuri asemenea. Raportul de asemănare este AP/CD. Cum CD = AB = 15 și AP = 5, raportul este 5/15 = 1/3.

4. 4

   b) Arătăm că AN = NO

   AN=\frac{AC}{4},\quad AO=\frac{AC}{2}\Rightarrow AN=NO

   Din AN/CN = 1/3 rezultă că AC are 4 părți, din care AN este una, deci AN = AC/4. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, deci AO = AC/2, adică 2 părți. Atunci NO = AO − AN = 2 părți − 1 parte = 1 parte, deci AN = NO.

5. 5

   b) Raportul înălțimilor

   \triangle SNP \sim \triangle VND \Rightarrow \frac{PS}{DV}=\frac{NP}{ND}=\frac{1}{3}

   Ducem PS ⊥ AN și DV ⊥ NO. Acestea sunt înălțimile din P în triunghiul ANP, respectiv din D în triunghiul DNO. Triunghiurile dreptunghice SNP și VND au unghiuri egale (unghiuri opuse la vârf în N și unghi drept), deci sunt asemenea. De aici PS/DV = NP/ND = 1/3.

6. 6

   b) Raportul ariilor

   \frac{\mathcal{A}_{ANP}}{\mathcal{A}_{DNO}}=\frac{\frac{AN\cdot PS}{2}}{\frac{NO\cdot DV}{2}}=\frac{AN}{NO}\cdot\frac{PS}{DV}=1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}

   Aria unui triunghi este bază · înălțime / 2. Baza din ANP este AN, înălțimea PS; baza din DNO este NO, înălțimea DV. Împărțim ariile: 2 se reduce, AN/NO = 1 și PS/DV = 1/3. Rezultă raportul 1/3.

Răspuns: a) AP = 5 cm; b) raportul ariilor \(\frac{\mathcal{A}_{ANP}}{\mathcal{A}_{DNO}}=\frac{1}{3}\).

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\). Punctele \(M\), \(N\), \(P\) și \(Q\) sunt mijloacele segmentelor \(AA'\), \(A'D'\), \(DD'\), respectiv \(AD\). a) Arată că \(MN = PQ\). b) Știind că punctul \(T\) este mijlocul segmentului \(PQ\), demonstrează că dreapta \(CT\) este paralelă cu planul \((MNB)\).

Metoda: Linie mijlocie și plane paralele

1. 1

   a) MN este linie mijlocie în triunghiul AA'D'

   MN=\frac{A'D'}{2}

   Punctul M este mijlocul lui AA', iar N este mijlocul lui A'D'. Deci MN unește mijloacele a două laturi ale triunghiului AA'D'. Atunci MN este linie mijlocie și este jumătate din a treia latură, adică AD'. Astfel \(MN=\frac{AD'}{2}\).

2. 2

   a) PQ este linie mijlocie în triunghiul ADD'

   PQ=\frac{AD'}{2}

   P este mijlocul lui DD', iar Q este mijlocul lui AD. În triunghiul ADD', segmentul PQ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie și \(PQ=\frac{AD'}{2}\). Cum și \(MN=\frac{AD'}{2}\), rezultă \(MN=PQ\).

3. 3

   b) Demonstrăm că MN ∥ PQ

   MN\parallel AD',\; PQ\parallel AD'\Rightarrow MN\parallel PQ

   Linia mijlocie este paralelă cu latura a treia. Deci MN ∥ AD' și PQ ∥ AD'. Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, deci MN ∥ PQ.

4. 4

   b) MPCB este paralelogram, deci MB ∥ PC

   MB\parallel PC

   Din MN ∥ PQ și MN = PQ, plus faptul că M și P sunt mijloacele unor muchii paralele și egale ale cubului (MA' = AA'/2 și PD = DD'/2 etc.), baremul stabilește că MPCB este paralelogram. Rezultă MB ∥ PC.

5. 5

   b) Planele (MNB) și (PQC) sunt paralele

   (MNB)\parallel(PQC)

   Dreptele MN și MB se intersectează în M și sunt în planul (MNB). Dreptele PQ și PC se intersectează în P și sunt în planul (PQC). Cum MN ∥ PQ și MB ∥ PC, cele două plane sunt paralele.

6. 6

   b) Concluzia: CT ∥ (MNB)

   CT\subset(PQC)\Rightarrow CT\parallel(MNB)

   T este mijlocul lui PQ, deci T este pe PQ și CT este în planul (PQC). Cum (PQC) ∥ (MNB), orice dreaptă din (PQC) este paralelă cu (MNB). Deci CT ∥ (MNB).

Răspuns: a) MN = PQ = AD'/2, ambele fiind linii mijlocii. b) (MNB) ∥ (PQC) și CT ⊂ (PQC), deci CT ∥ (MNB).