Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2025, sesiunea iunie–iulie (varianta 07)

Rezultatul calculului \(4+12:2\) este egal cu: a) 6; b) 8; c) 10; d) 12.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   4+12:2

   În calcul nu sunt paranteze. Regula spune că împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și scăderii. Deci mai întâi calculăm \(12:2\), iar abia apoi adunăm.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   12:2=6

   Calculăm împărțirea. Rezultatul ei înlocuiește \(12:2\) în calcul, deci expresia devine \(4+6\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   4+6=10

   Acum a rămas doar adunarea. Rezultatul este 10, deci răspunsul corect este varianta c).

4. 4

   De ce nu merg celelalte variante

   (4+12):2=8

   Varianta b) 8 apare dacă adunăm primii, adică \((4+12):2=16:2=8\). Dar nu sunt paranteze, deci nu avem voie. Variantele a) 6 și d) 12 nu rezultă din nicio ordine corectă a operațiilor.

Răspuns: Rezultatul este 10, deci varianta corectă este c).

Știind că \(\frac{a}{2}=\frac{2}{3}\), atunci \(\frac{a}{4}\) este egal cu: a) \(\frac{1}{3}\); b) \(\frac{4}{3}\); c) 2; d) 3.

Metoda: Proporții și calcul cu fracții

1. 1

   Aflăm valoarea lui a

   \frac{a}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}

   Din proporția \(\frac{a}{2}=\frac{2}{3}\) aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Obținem \(3\cdot a=2\cdot 2\), deci \(3a=4\), adică \(a=\frac{4}{3}\). Avem nevoie de a ca să putem calcula apoi \(\frac{a}{4}\).

2. 2

   Calculăm \(\frac{a}{4}\)

   \frac{a}{4}=\frac{4}{3}:4=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}

   Acum înlocuim a cu \(\frac{4}{3}\). Împărțirea la 4 înseamnă înmulțire cu \(\frac{1}{4}\). Simplificăm cu 4 și obținem \(\frac{1}{3}\). Altfel: 4 este dublul lui 2, deci \(\frac{a}{4}\) este jumătate din \(\frac{a}{2}=\frac{2}{3}\), adică \(\frac{1}{3}\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{a}{4}=\frac{1}{3}\Rightarrow \text{varianta a)}

   Rezultatul \(\frac{1}{3}\) corespunde variantei a). Varianta b) \(\frac{4}{3}\) este chiar valoarea lui a, nu a lui \(\frac{a}{4}\). Variantele c) 2 și d) 3 sunt mai mari decât a, deci nu pot fi a împărțit la 4, care ar trebui să fie mai mic decât a.

Răspuns: Varianta corectă este a) \(\frac{1}{3}\).

Produsul numerelor \(-2\) și \(5\) este egal cu: a) \(-10\); b) \(-3\); c) \(3\); d) \(10\).

Metoda: Înmulțirea numerelor întregi

1. 1

   Ce înseamnă „produs”

   (-2)\cdot 5

   Cuvântul „produs” înseamnă rezultatul unei înmulțiri. Deci trebuie să calculăm \((-2)\cdot 5\), nu o sumă și nici o diferență. Așa scăpăm de variantele care vin din adunare: de exemplu, \(-3\) este suma \(-2+5\) cu semn greșit, iar \(3\) este suma \(-2+5\).

2. 2

   Regula semnelor

   (-)\cdot(+)=(-)

   La înmulțirea a două numere întregi cu semne diferite, rezultatul este negativ. Asta se vede și din adunarea repetată: \((-2)\cdot 5=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)\), adică adunăm de cinci ori numărul negativ \(-2\), și obținem tot un număr negativ.

3. 3

   Calculul și alegerea răspunsului

   (-2)\cdot 5=-(2\cdot 5)=-10

   Înmulțim valorile absolute: \(2\cdot 5=10\). Rezultatul este negativ, deci produsul este \(-10\). Varianta corectă este a) \(-10\). Varianta d) \(10\) ar fi corectă doar dacă ambele numere ar avea același semn. Variantele b) \(-3\) și c) \(3\) vin din adunare sau scădere (\(2+5\) nu dă \(3\), ci \(5-2=3\)), nu din înmulțire.

Răspuns: Produsul este \(-10\), deci răspunsul corect este a).

Soluția ecuației \(6x-2=1\) este numărul: a) \(-\frac{1}{3}\); b) \(-\frac{1}{2}\); c) \(\frac{1}{3}\); d) \(\frac{1}{2}\).

Metoda: Rezolvarea ecuației de gradul I

1. 1

   Mutăm termenul liber în dreapta

   6x-2=1 \Rightarrow 6x=1+2=3

   Vrem ca termenul cu x să rămână singur în stânga. Numărul 2 se scade din 6x, deci adunăm 2 la ambii membri ai egalității. Egalitatea rămâne adevărată dacă facem aceeași operație pe ambele părți. Obținem \(6x=3\).

2. 2

   Împărțim la 6

   6x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

   Numărul x este înmulțit cu 6. Ca să rămână x singur, împărțim ambii membri la 6. Obținem \(x=\frac{3}{6}\), iar prin simplificare cu 3 rezultă \(x=\frac{1}{2}\).

3. 3

   Verificăm soluția și alegem varianta

   6\cdot\frac{1}{2}-2=3-2=1

   Înlocuim x cu \(\frac{1}{2}\): \(6\cdot\frac{1}{2}=3\), iar \(3-2=1\), exact cât în dreapta ecuației. Deci varianta corectă este d). Celelalte nu merg: pentru \(x=\frac{1}{3}\) obținem \(6\cdot\frac{1}{3}-2=0\), nu 1; pentru \(x=-\frac{1}{2}\) obținem \(-3-2=-5\); pentru \(x=-\frac{1}{3}\) obținem \(-2-2=-4\).

Răspuns: Soluția ecuației este \(x=\frac{1}{2}\), deci varianta corectă este d).

Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor \(a=\sqrt{3^2+4^2}\) și \(b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}\). Rezultatele obținute sunt: Ana – 17, Maria – 19, Dan – 37, Vlad – 43. Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana, b) Maria, c) Dan, d) Vlad.

Metoda: Calcul cu radicali

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

   Întâi calculăm puterile de sub radical: \(3^2=9\) și \(4^2=16\). Le adunăm și obținem 25. Rădăcina pătrată a lui 25 este 5, pentru că \(5^2=25\). Atenție: nu se poate scrie \(\sqrt{3^2+4^2}=3+4\), deoarece radicalul nu se împarte pe adunare.

2. 2

   Calculăm numărul b

   b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12

   Acum între puteri este înmulțire. Calculăm \(9\cdot 16=144\). Rădăcina pătrată a lui 144 este 12, pentru că \(12^2=144\). Putem verifica și altfel: \(\sqrt{3^2\cdot 4^2}=3\cdot 4=12\).

3. 3

   Calculăm suma și alegem răspunsul

   a+b=5+12=17

   Adunăm cele două numere: \(5+12=17\). În tabel, 17 a fost obținut de Ana. Celelalte rezultate (19, 37, 43) nu sunt egale cu 17. De exemplu, Maria ar fi obținut 19 dacă ar fi greșit la un calcul, iar 37 și 43 nu se obțin din 5 și 12 prin calcule corecte.

Răspuns: a) Ana (rezultatul corect este 17)

În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs. Diagrama cu bare arată numărul de elevi pentru fiecare punctaj: 40 de puncte – 2 elevi; 50 de puncte – 3 elevi; 60 de puncte – 6 elevi; 70 de puncte – 5 elevi; 80 de puncte – 4 elevi; 90 de puncte – 6 elevi; 100 de puncte – 4 elevi. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, 5 dintre elevii participanți au obținut exact 80 de puncte.” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Înțelegem ce arată diagrama

   \text{bara de la 80 de puncte} \Rightarrow \text{numărul de elevi}

   Sub fiecare bară este scris un punctaj (40, 50, ..., 100). Înălțimea barei, citită pe axa din stânga, ne arată câți elevi au obținut exact acel punctaj. De aceea, pentru afirmația dată, ne uităm doar la bara de sub „80 de puncte”.

2. 2

   Citim înălțimea barei de la 80 de puncte

   \text{80 de puncte} \rightarrow 4 \text{ elevi}

   Bara de la 80 de puncte ajunge până la linia 4 de pe axa numărului de elevi. Deci exact 4 elevi au obținut 80 de puncte. Cei 5 elevi apar la bara de 70 de puncte, nu la cea de 80.

3. 3

   Comparăm cu afirmația și alegem răspunsul

   4 \neq 5 \Rightarrow \text{afirmația este falsă}

   Afirmația spune că 5 elevi au obținut 80 de puncte, dar din diagramă am citit 4 elevi. Cum 4 nu este egal cu 5, afirmația nu este adevărată. Varianta a) (adevărată) nu merge, deoarece numărul nu se potrivește. Varianta corectă este b) falsă.

Răspuns: Varianta corectă este b) falsă, pentru că din diagramă 4 elevi (nu 5) au obținut exact 80 de puncte.

În figura alăturată, punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\) și punctul \(D\) este simetricul punctului \(B\) față de \(C\). Știind că \(AD = 12\) cm, lungimea segmentului \(AC\) este egală cu: a) 3 cm; b) 4 cm; c) 6 cm; d) 8 cm. (Figură: punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine.)

Metoda: Mijlocul și simetricul unui punct

1. 1

   Folosim faptul că B este mijlocul lui AC

   AB = BC

   Mijlocul unui segment îl împarte în două segmente congruente (egale). Deci B este la aceeași distanță de A și de C: \(AB = BC\). Notăm această lungime cu o „bucată”.

2. 2

   Folosim faptul că D este simetricul lui B față de C

   BC = CD

   Dacă D este simetricul lui B față de C, atunci C este mijlocul segmentului BD. Deci \(BC = CD\). Împreună cu pasul anterior obținem \(AB = BC = CD\): cele trei segmente au aceeași lungime.

3. 3

   Exprimăm AD și aflăm lungimea unei bucăți

   AD = AB + BC + CD = 3 \cdot AB = 12 \Rightarrow AB = 12 : 3 = 4

   Segmentul AD este format din trei bucăți egale: AB, BC și CD. Deci \(3 \cdot AB = 12\) cm, de unde \(AB = 4\) cm.

4. 4

   Calculăm AC și alegem varianta corectă

   AC = AB + BC = 4 + 4 = 8 \text{ cm}

   AC are două bucăți: AB și BC, deci \(AC = 2 \cdot 4 = 8\) cm. Corect este d). Varianta a) 3 cm ar fi dacă am împărți 12 la 4, iar b) 4 cm este doar o bucată (AB). Varianta c) 6 cm ar fi jumătate din AD, dar AC nu este jumătate din AD, ci două treimi din el. Verificare: \(AC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\).

Răspuns: d) 8 cm

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente \(AOB\) și \(BOC\), \(\angle BOC = 2\cdot\angle AOB\). Măsura unghiului \(AOC\) este egală cu \(120^\circ\) și semidreapta \(OM\) este bisectoarea unghiului \(BOC\). Măsura unghiului \(AOM\) este egală cu: a) \(30^\circ\) b) \(40^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(80^\circ\). (În figură, B este în interiorul unghiului AOC, iar OM este între OB și OC.)

Metoda: Unghiuri adiacente și bisectoare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului AOB

   \angle AOB+\angle BOC=\angle AOC \Rightarrow 3\cdot\angle AOB=120^\circ

   Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente, deci măsurile lor se adună și dau \(\angle AOC=120^\circ\). Cum \(\angle BOC=2\cdot\angle AOB\), avem \(\angle AOB+2\cdot\angle AOB=3\cdot\angle AOB=120^\circ\). Deci \(\angle AOB=120^\circ:3=40^\circ\).

2. 2

   Aflăm măsura unghiului BOC

   \angle BOC=2\cdot 40^\circ=80^\circ

   Unghiul BOC este de două ori mai mare decât AOB, deci are \(2\cdot40^\circ=80^\circ\). Verificăm: \(40^\circ+80^\circ=120^\circ\), corect.

3. 3

   Folosim bisectoarea OM

   \angle BOM=\frac{\angle BOC}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ

   OM este bisectoarea unghiului BOC, deci îl împarte în două unghiuri egale. Astfel \(\angle BOM=80^\circ:2=40^\circ\).

4. 4

   Calculăm unghiul AOM

   \angle AOM=\angle AOB+\angle BOM=40^\circ+40^\circ=80^\circ

   Semidreapta OB este între OA și OM, deci \(\angle AOM=\angle AOB+\angle BOM=40^\circ+40^\circ=80^\circ\). Varianta d) este corectă. Variantele 30° și 40° sunt prea mici (AOM include și AOB, și BOM, ambele de 40°), iar 60° ar fi jumătatea lui AOC, dar OM nu este bisectoarea lui AOC.

Răspuns: Măsura unghiului AOM este 80°, deci răspunsul corect este d).

Subiectul al II-lea, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(\measuredangle BAC = 120^\circ\). Punctul \(E\) aparține segmentului \(BC\), astfel încât \(CE = 4\) cm, iar dreptele \(AB\) și \(AE\) sunt perpendiculare. Lungimea segmentului \(BC\) este egală cu: a) 16 cm; b) 12 cm; c) 8 cm; d) 6 cm.

Metoda: Unghiuri și cateta opusă unghiului de 30°

1. 1

   Aflăm unghiurile de la baza triunghiului

   \measuredangle B=\measuredangle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu vârful în \(A\), deoarece unghiul de \(120^\circ\) este în \(A\). Unghiurile de la bază, \(\measuredangle B\) și \(\measuredangle C\), sunt congruente. Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci \(\measuredangle B+\measuredangle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Împărțim la 2 și obținem \(30^\circ\) pentru fiecare.

2. 2

   Descoperim că triunghiul AEC este isoscel

   \measuredangle EAC=120^\circ-90^\circ=30^\circ=\measuredangle C \Rightarrow EA=EC=4\text{ cm}

   Dreptele \(AB\) și \(AE\) sunt perpendiculare, deci \(\measuredangle BAE=90^\circ\). Unghiul întreg \(\measuredangle BAC\) are \(120^\circ\), deci \(\measuredangle EAC=120^\circ-90^\circ=30^\circ\). În triunghiul \(AEC\) avem \(\measuredangle EAC=\measuredangle ECA=30^\circ\). Un triunghi cu două unghiuri egale este isoscel, iar laturile opuse lor sunt egale: \(EA=EC=4\) cm.

3. 3

   Folosim cateta opusă unghiului de 30° în triunghiul ABE

   BE=2\cdot AE=2\cdot 4=8\text{ cm}

   Triunghiul \(ABE\) este dreptunghic în \(A\), iar \(\measuredangle B=30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este \(AE\) și are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Ipotenuza este \(BE\), deci \(BE=2\cdot AE=2\cdot4=8\) cm.

4. 4

   Calculăm BC și alegem răspunsul

   BC=BE+EC=8+4=12\text{ cm}

   Punctul \(E\) este pe segmentul \(BC\), deci \(BC=BE+EC=8+4=12\) cm. Varianta corectă este b). Celelalte nu se potrivesc: 16 cm ar însemna \(BE=12\), 8 cm ar fi chiar \(BE\) fără \(EC\), iar 6 cm este mai mic decât \(BE\), deci imposibil.

Răspuns: b) 12 cm

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AB = 3 \cdot BC\). Perimetrul dreptunghiului \(ABCD\) este egal cu \(32\) cm. Aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu: a) \(16\ \text{cm}^2\); b) \(32\ \text{cm}^2\); c) \(48\ \text{cm}^2\); d) \(64\ \text{cm}^2\).

Metoda: Perimetrul și aria dreptunghiului

1. 1

   Scriem perimetrul cu ajutorul lui BC

   P = 2\cdot(AB+BC) = 2\cdot(3\cdot BC + BC) = 8\cdot BC

   Perimetrul dreptunghiului este dublul sumei dintre lungime și lățime. Cum \(AB\) este de 3 ori \(BC\), suma \(AB+BC\) înseamnă 4 bucăți egale cu \(BC\), iar dublul ei înseamnă 8 bucăți.

2. 2

   Aflăm BC

   8\cdot BC = 32 \Rightarrow BC = 32:8 = 4\ \text{cm}

   Știm că perimetrul este 32 cm și că are 8 bucăți egale, deci o bucată se află prin împărțire.

3. 3

   Aflăm AB

   AB = 3\cdot BC = 3\cdot 4 = 12\ \text{cm}

   Latura \(AB\) este de 3 ori mai mare decât \(BC\), deci o aflăm prin înmulțire.

4. 4

   Calculăm aria

   \mathcal{A} = AB\cdot BC = 12\cdot 4 = 48\ \text{cm}^2

   Aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime. Rezultatul este 48 cm², deci varianta corectă este c). Verificare: \(P = 2\cdot(12+4) = 32\) cm, corect. Celelalte variante nu ies: 16 este chiar jumătate din perimetru, 32 este perimetrul, iar 64 ar corespunde unui pătrat cu latura 8 cm, dar aici laturile sunt diferite.

Răspuns: Aria dreptunghiului este \(48\ \text{cm}^2\), deci răspunsul corect este c).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\), înscris în cercul de centru \(O\). Punctul \(D\) aparține arcului mic \(BC\). Măsura unghiului \(BDC\) este egală cu: a) \(60^\circ\) b) \(90^\circ\) c) \(120^\circ\) d) \(150^\circ\). (Din figură: \(A\), \(B\), \(C\) sunt pe cerc, \(D\) este pe arcul mic \(BC\), opus lui \(A\).)

Metoda: Unghi înscris în cerc

1. 1

   Aflăm unghiul BAC

   \angle BAC = 60^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci fiecare unghi are \(180^\circ : 3 = 60^\circ\). Așadar \(\angle BAC = 60^\circ\).

2. 2

   Calculăm arcul mare BC

   \widehat{BC}_{\text{(pe care stă } A)}

   Unghiul \(BAC\) este înscris în cerc și are măsura egală cu jumătate din arcul pe care îl cuprinde între laturi, adică arcul mic \(BC\). Deci arcul mic \(BC\) are \(2\cdot 60^\circ = 120^\circ\). Arcul mare \(BAC\) are \(360^\circ-120^\circ=240^\circ\).

3. 3

   Aflăm unghiul BDC

   \angle BDC = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ

   Punctul \(D\) este pe arcul mic \(BC\), deci unghiul înscris \(BDC\) se sprijină pe arcul mare \(BC\), care are \(240^\circ\). Unghiul înscris este jumătate din arc: \(240^\circ:2=120^\circ\). La fel: \(ABDC\) are vârfurile pe cerc, iar \(60^\circ+120^\circ=180^\circ\).

4. 4

   Verificăm variantele

   \angle BDC = 120^\circ \Rightarrow \text{c)}

   Varianta c) \(120^\circ\) este cea corectă. Varianta a) \(60^\circ\) ar fi unghiul \(BAC\), dar \(D\) este pe arcul opus lui \(A\), deci unghiurile se completează la \(180^\circ\), nu sunt egale. Variantele b) și d) nu ies din niciun calcul.

Răspuns: Măsura unghiului \(BDC\) este \(120^\circ\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral \(VAB\), cu \(AB = 6\) cm. Aria laterală a conului este egală cu: a) \(18\pi\ \text{cm}^2\); b) \(27\pi\ \text{cm}^2\); c) \(36\pi\ \text{cm}^2\); d) \(54\pi\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria laterală a conului

1. 1

   Aflăm raza bazei și generatoarea

   R=\frac{AB}{2}=3,\quad G=VA=AB=6

   Secțiunea axială \(VAB\) taie conul prin vârf și prin centrul bazei. Latura \(AB\) este diametrul bazei, deci raza este jumătate din \(AB\). Cum triunghiul este echilateral, toate laturile sunt egale, deci generatoarea \(VA\) este egală cu \(AB = 6\) cm.

2. 2

   Scriem formula ariei laterale

   \mathcal{A}_l=\pi\cdot R\cdot G

   Aria laterală a conului circular drept este produsul dintre \(\pi\), raza bazei \(R\) și generatoarea \(G\). Avem nevoie exact de cele două valori aflate la pasul precedent.

3. 3

   Calculăm aria laterală

   \mathcal{A}_l=\pi\cdot 3\cdot 6=18\pi\ \text{cm}^2

   Înlocuim \(R=3\) și \(G=6\) în formulă: \(3\cdot 6=18\), deci aria laterală este \(18\pi\ \text{cm}^2\). Varianta corectă este a). Celelalte apar dacă se greșește: \(36\pi\) s-ar obține cu \(R=6\) (diametrul în loc de rază), iar \(27\pi\) și \(54\pi\) nu provin din valorile corecte.

Răspuns: Aria laterală a conului este \(18\pi\ \text{cm}^2\), deci varianta corectă este a).

Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu 75% din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu 40% din prețul unui pix. a) (2p) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat. b) (3p) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.

Metoda: Procente și ecuație liniară

1. 1

   Prețul unui pix în funcție de prețul caietului

   \text{pix}=\frac{75}{100}\cdot x=\frac{3}{4}\cdot x

   Notăm cu \(x\) prețul unui caiet. Pixul costă \(75\%\) din prețul caietului, deci înmulțim \(x\) cu \(\frac{75}{100}\). Simplificăm fracția cu 25 și obținem \(\frac{3}{4}\). Așadar un pix costă \(\frac{3}{4}\cdot x\).

2. 2

   a) Prețul a opt pixuri comparat cu cinci caiete

   8\cdot\frac{3}{4}\cdot x=6x,\quad 6x\neq 5x

   Opt pixuri costă \(8\cdot\frac{3}{4}\cdot x=6x\). Cinci caiete costă \(5x\). Cum prețul \(x\) este pozitiv, \(6x\) nu poate fi egal cu \(5x\). Deci NU este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete.

3. 3

   Prețul unui creion

   \text{creion}=\frac{40}{100}\cdot\frac{3}{4}\cdot x=\frac{3}{10}\cdot x

   Creionul costă \(40\%\) din prețul pixului, adică \(\frac{40}{100}\cdot\frac{3}{4}\cdot x\). Calculăm: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\). Deci un creion costă \(\frac{3}{10}\cdot x\).

4. 4

   b) Scriem ecuația

   3x+4\cdot\frac{3}{4}x+5\cdot\frac{3}{10}x=45

   Ana a plătit pentru 3 caiete, 4 pixuri și 5 creioane 45 lei. Adunăm costurile: \(3x\) pentru caiete, \(4\cdot\frac{3}{4}x=3x\) pentru pixuri și \(5\cdot\frac{3}{10}x=\frac{3}{2}x\) pentru creioane. Suma trebuie să fie 45.

5. 5

   Rezolvăm ecuația și aflăm prețul caietului

   15x=90\Rightarrow x=6

   Înmulțim ecuația cu 2 ca să scăpăm de numitori: \(6x+6x+3x=90\), adică \(15x=90\). Împărțim la 15 și obținem \(x=6\). Deci un caiet costă 6 lei.

Răspuns: a) Nu este posibil, deoarece opt pixuri costă \(6x\), iar cinci caiete costă \(5x\), iar \(6x\neq 5x\). b) Un caiet costă 6 lei.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}\right):\frac{1}{x^2-3x}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 3\). a) Arată că \(\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -3\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 3\). b) Demonstrează că \(E(n)>6\), pentru orice număr natural \(n\), \(n\neq 0\), \(n\neq 3\).

Metoda: Fracții algebrice, numitor comun

1. 1

   Numitorul comun (punctul a)

   \frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{2x(x+3)-3(x-3)(x+3)+2x(x-3)}{x(x-3)(x+3)}

   Numitorii sunt \(x-3\), \(x\) și \(x+3\). Sunt diferiți și nu au factori comuni, deci numitorul comun este produsul lor: \(x(x-3)(x+3)\). Amplificăm fiecare fracție cu factorii care lipsesc de la numitorul ei: prima cu \(x(x+3)\), a doua cu \((x-3)(x+3)\), a treia cu \(x(x-3)\).

2. 2

   Efectuăm calculele de la numărător

   2x^2+6x-3x^2+27+2x^2-6x=x^2+27

   Desfacem parantezele: \(2x(x+3)=2x^2+6x\), \(3(x-3)(x+3)=3(x^2-9)=3x^2-27\), iar \(2x(x-3)=2x^2-6x\). Semnul minus dinaintea celui de-al doilea termen schimbă semnele: \(-3x^2+27\). Reducem termenii asemenea: \(2x^2-3x^2+2x^2=x^2\), \(6x-6x=0\), rămâne \(+27\). Astfel fracția este \(\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\), ceea ce trebuia arătat.

3. 3

   Scriem pe E(x) ca înmulțire (punctul b)

   E(x)=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x(x-3)}{1}=\frac{x^2+27}{x+3}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{1}{x^2-3x}\) este \(x^2-3x=x(x-3)\) (factor comun). Simplificăm cu \(x(x-3)\), care este nenul deoarece \(x\neq 0\) și \(x\neq 3\). Rămâne \(E(x)=\frac{x^2+27}{x+3}\).

4. 4

   Calculăm E(n) − 6

   E(n)-6=\frac{n^2+27}{n+3}-6=\frac{n^2+27-6n-18}{n+3}=\frac{n^2-6n+9}{n+3}=\frac{(n-3)^2}{n+3}

   Aducem la același numitor: \(6=\frac{6(n+3)}{n+3}\). La numărător obținem \(n^2+27-6n-18=n^2-6n+9\), iar acesta este dezvoltarea formulei \((n-3)^2=n^2-6n+9\).

5. 5

   Concluzia

   n+3>0,\ (n-3)^2>0\Rightarrow E(n)-6>0\Rightarrow E(n)>6

   Fiind număr natural, \(n\ge 0\), deci \(n+3>0\). Pătratul \((n-3)^2\) este pozitiv sau zero, dar e zero doar pentru \(n=3\), exclus. Deci \((n-3)^2>0\). Un raport de numere pozitive este pozitiv, deci \(E(n)-6>0\), adică \(E(n)>6\).

Răspuns: a) Prin aducere la numitor comun se obține \(\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\). b) \(E(x)=\frac{x^2+27}{x+3}\) și \(E(n)-6=\frac{(n-3)^2}{n+3}>0\), deci \(E(n)>6\) pentru orice număr natural \(n\), \(n\neq 0\), \(n\neq 3\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-4\). a) (2p) Arată că \(f(2)-f(0)=4\). b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Punctul \(C\) este simetricul punctului \(A\) față de axa \(Oy\). Arată că perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu \(4(\sqrt{5}+1)\). (Figura arată o dreaptă crescătoare care taie axa Ox în dreapta originii și axa Oy sub origine.)

Metoda: Funcția liniară și teorema lui Pitagora

1. 1

   a) Calculăm f(2)

   f(2)=2\cdot 2-4=0

   Pentru a afla \(f(2)\), înlocuim pe \(x\) cu 2 în formula funcției: \(f(2)=2\cdot 2-4=4-4=0\). Ne trebuie această valoare ca să putem face diferența cerută.

2. 2

   a) Calculăm f(0) și diferența

   f(0)=2\cdot 0-4=-4,\quad f(2)-f(0)=0-(-4)=4

   Înlocuim x cu 0: \(f(0)=-4\). Apoi scădem: \(0-(-4)=0+4=4\), adică exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(2,0),\quad B(0,-4)

   Graficul taie axa \(Ox\) acolo unde \(f(x)=0\): \(2x-4=0\), deci \(x=2\), adică \(A(2,0)\). Graficul taie axa \(Oy\) la \(x=0\): \(f(0)=-4\), deci \(B(0,-4)\). Ne trebuie coordonatele ca să aflăm lungimile laturilor.

4. 4

   b) Aflăm punctul C și latura CA

   C(-2,0),\quad CA=2+2=4

   Simetricul lui \(A(2,0)\) față de axa \(Oy\) este \(C(-2,0)\), deoarece \(OC=OA=2\). Cum \(C\), \(O\), \(A\) sunt pe axa \(Ox\), \(CA=OC+OA=2+2=4\).

5. 5

   b) Aflăm AB și BC cu teorema lui Pitagora

   AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5,\quad BC=AB=2\sqrt5

   Triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), cu catetele \(OA=2\) și \(OB=4\). Teorema lui Pitagora dă \(AB^2=4+16=20\), deci \(AB=\sqrt{20}=2\sqrt5\). Analog, triunghiul \(COB\) are aceleași catete, deci \(BC=2\sqrt5\).

6. 6

   b) Perimetrul triunghiului ABC

   P_{ABC}=AB+BC+CA=2\sqrt5+2\sqrt5+4=4\sqrt5+4=4(\sqrt5+1)

   Adunăm cele trei laturi: \(2\sqrt5+2\sqrt5=4\sqrt5\), apoi adăugăm 4. Dăm factor comun 4 și obținem \(4(\sqrt5+1)\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: a) \(f(2)-f(0)=0-(-4)=4\). b) \(A(2,0)\), \(B(0,-4)\), \(C(-2,0)\), \(AB=BC=2\sqrt5\), \(CA=4\), deci \(P_{ABC}=4(\sqrt5+1)\).

În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\) și triunghiul echilateral \(ACE\), astfel încât punctele \(D\) și \(E\) sunt situate de aceeași parte a dreptei \(AC\). Perimetrul pătratului \(ABCD\) este egal cu \(48\) cm. a) Arată că perimetrul triunghiului \(ACE\) este egal cu \(36\sqrt{2}\) cm. b) Arată că distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AE\) este egală cu \(3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\) cm.

Metoda: Pătrat, diagonală, triunghi echilateral

1. 1

   a) Latura pătratului și diagonala AC

   AB=\frac{48}{4}=12,\quad AC=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}

   Pătratul are 4 laturi egale, deci latura este perimetrul împărțit la 4. Diagonala unui pătrat se află cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel ABC: \(AC^2=12^2+12^2=288\), deci \(AC=12\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   a) Perimetrul triunghiului ACE

   P_{\triangle ACE}=3\cdot AC=3\cdot 12\sqrt{2}=36\sqrt{2}\text{ cm}

   Triunghiul ACE este echilateral, deci are toate laturile egale cu AC. Perimetrul este suma celor trei laturi, adică \(3\cdot AC\).

3. 3

   b) Aria triunghiului ADE

   \triangle ADE\equiv\triangle CDE\Rightarrow \mathcal{A}_{ADE}=\frac{\mathcal{A}_{ACE}-\mathcal{A}_{ACD}}{2}

   Triunghiurile ADE și CDE sunt congruente (LLL): \(AD=CD\), \(AE=CE\), iar DE este comună. Patrulaterul ADCE este format din ACD și ACE, dar ACD este în afara lui ADE... de fapt D este în exteriorul triunghiului ACE, deci aria ACE = aria ADE + aria CDE − aria ACD? Nu: pe baza baremului, aria ACE este mai mare decât ACD, iar diferența lor se împarte în două triunghiuri congruente ADE și CDE. Aria triunghiului ACD este \(\frac{12\cdot 12}{2}=72\). Aria lui ACE este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{288\sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3}\). Deci \(\mathcal{A}_{ADE}=\frac{72\sqrt{3}-72}{2}=36(\sqrt{3}-1)\text{ cm}^2\).

4. 4

   b) Distanța de la D la AE

   DM\perp AE\Rightarrow \mathcal{A}_{ADE}=\frac{AE\cdot DM}{2}\Rightarrow DM=\frac{2\cdot 36(\sqrt{3}-1)}{12\sqrt{2}}=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)

   Distanța de la D la dreapta AE este lungimea perpendicularei DM pe AE, care este înălțimea triunghiului ADE corespunzătoare bazei AE. Cum \(AE=12\sqrt{2}\), din formula ariei obținem \(DM=\frac{72(\sqrt{3}-1)}{12\sqrt{2}}=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\) cm.

Răspuns: a) \(P_{\triangle ACE}=36\sqrt{2}\) cm; b) \(d(D,AE)=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\) cm.

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel DC\), \(\angle DAB = 90^\circ\), \(AB = 8\) cm și \(AD = DC = 4\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(DC\) și \(P\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AM\) și \(BD\). a) (2p) Arată că \(BC = 4\sqrt{2}\) cm. b) (3p) Calculează aria patrulaterului \(MPBC\).

Metoda: Pitagora și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Construim perpendiculara din C pe AB

   CN \perp AB,\ N \in AB \Rightarrow CN = AD = 4,\ NB = AB - DC = 4

   Ducem \(CN\) perpendiculară pe \(AB\), cu \(N\) pe \(AB\). Patrulaterul \(ADCN\) are trei unghiuri drepte, deci este dreptunghi. Atunci \(CN = AD = 4\) cm și \(AN = DC = 4\) cm. Rezultă \(NB = AB - AN = 8 - 4 = 4\) cm. Facem asta ca să obținem un triunghi dreptunghic \(CNB\), în care putem aplica Pitagora.

2. 2

   a) Aplicăm teorema lui Pitagora în CNB

   BC = \sqrt{CN^2 + NB^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

   Triunghiul \(CNB\) este dreptunghic în \(N\), cu catetele \(CN = 4\) și \(NB = 4\). Ipotenuza este \(BC\). Avem \(BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32\), deci \(BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) cm, pentru că \(32 = 16 \cdot 2\).

3. 3

   b) Triunghiurile asemenea DPM și BPA

   DM \parallel AB \Rightarrow \triangle DPM \sim \triangle BPA \Rightarrow \frac{PM}{PA} = \frac{DM}{BA} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

   \(M\) este mijlocul lui \(DC\), deci \(DM = 2\) cm. Cum \(DM \parallel AB\), triunghiurile \(DPM\) și \(BPA\) sunt asemenea (teorema fundamentală a asemănării). Raportul de asemănare este \(\frac{DM}{BA} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\), deci \(\frac{PM}{PA}=\frac14\).

4. 4

   b) Aflăm înălțimea triunghiului APB

   EF \perp AB,\ P \in EF,\ E \in CD,\ F \in AB \Rightarrow \frac{PE}{PF} = \frac{PM}{PA} = \frac{1}{4},\ PF = \frac{16}{5}

   Ducem prin \(P\) perpendiculara \(EF\) pe \(AB\), cu \(E\) pe \(CD\) și \(F\) pe \(AB\). Avem \(EF = AD = 4\). Din \(\triangle PME \sim \triangle PAF\) rezultă \(\frac{PE}{PF}=\frac14\), deci \(PF\) are 4 părți din 5 din \(EF\): \(PF = \frac{4}{5}\cdot 4 = \frac{16}{5}\) cm. Aceasta este înălțimea triunghiului \(APB\) față de baza \(AB\).

5. 5

   b) Aria triunghiului APB și a trapezului ABCM

   \mathcal{A}_{APB} = \frac{8 \cdot \frac{16}{5}}{2} = \frac{64}{5},\ \mathcal{A}_{ABCM} = \frac{(8+2)\cdot 4}{2} = 20

   Aria triunghiului \(APB\) este baza \(AB=8\) ori înălțimea \(PF=\frac{16}{5}\), împărțit la 2, adică \(\frac{64}{5}\) cm². Trapezul \(ABCM\) are bazele \(AB = 8\) și \(MC = 2\), iar înălțimea \(AD=4\), deci aria este \(\frac{(8+2)\cdot 4}{2} = 20\) cm².

6. 6

   b) Aria patrulaterului MPBC

   \mathcal{A}_{MPBC} = \mathcal{A}_{ABCM} - \mathcal{A}_{APB} = 20 - \frac{64}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2

   Patrulaterul \(MPBC\) se obține scoțând din trapezul \(ABCM\) triunghiul \(APB\). Deci aria este \(20 - \frac{64}{5} = \frac{100-64}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\) cm².

Răspuns: a) \(BC = 4\sqrt{2}\) cm; b) \(\mathcal{A}_{MPBC} = \frac{36}{5} = 7{,}2\) cm².

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 8\) cm. Dreptele \(AC\) și \(BD\) se intersectează în punctul \(O\), iar dreptele \(A'B\) și \(AB'\) se intersectează în punctul \(E\). Punctul \(F\) este mijlocul segmentului \(CC'\). a) Arată că volumul cubului \(ABCDA'B'C'D'\) este egal cu \(512\ \text{cm}^3\). b) Demonstrează că dreptele \(FO\) și \(DE\) sunt perpendiculare.

Metoda: Volumul cubului; linie mijlocie; asemănare

1. 1

   a) Volumul cubului

   V = AB^3 = 8^3 = 512

   Volumul unui cub cu muchia \(l\) este \(l^3\), adică muchia înmulțită de trei ori cu ea însăși. Aici muchia este \(AB = 8\) cm, deci \(V = 8^3 = 512\ \text{cm}^3\).

2. 2

   b) FO este paralelă cu A'C

   FO \parallel AC' \Rightarrow \angle(FO, DE) = \angle(AC', DE)

   În cub, \(O\) este mijlocul lui \(AC\) (diagonalele bazei se înjumătățesc), iar \(F\) este mijlocul lui \(CC'\). Deci \(FO\) este linie mijlocie în triunghiul \(ACC'\) și \(FO \parallel AC'\). Unghiul dintre două drepte nu se schimbă dacă înlocuim una cu o paralelă a ei, deci e suficient să arătăm că \(AC' \perp DE\).

3. 3

   b) Triunghiuri asemenea și rapoarte

   \Delta AQE \sim \Delta C'QD \Rightarrow \frac{AQ}{C'Q} = \frac{QE}{QD} = \frac{AE}{C'D} = \frac{1}{2}

   Notăm \(\{Q\} = DE \cap AC'\). Cum \(AB' \parallel DC'\), triunghiurile \(AQE\) și \(C'QD\) sunt asemenea. Raportul de asemănare este \(AE : C'D = 1 : 2\), pentru că \(AE\) este jumătate din \(AB'\), iar \(C'D = AB'\) (diagonale de fețe ale cubului). Rezultă \(QD = \frac{2}{3} DE\) și \(C'Q = \frac{2}{3} C'A\).

4. 4

   b) Calculul lungimilor

   DE = 4\sqrt{6},\ C'A = 8\sqrt{3} \Rightarrow QD = \frac{8\sqrt{6}}{3},\ C'Q = \frac{16\sqrt{3}}{3}

   Diagonala unui pătrat cu latura 8 este \(8\sqrt{2}\), deci \(C'D = 8\sqrt{2}\). În cub, diagonala este \(C'A = 8\sqrt{3}\). Triunghiul \(ADE\) are \(AD = 8\) și \(AE = 4\sqrt{2}\) (jumătate din \(8\sqrt{2}\)), cu unghi drept în \(A\) (\(AD \perp\) planul \(ABB'\)). Atunci \(DE = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\). Apoi \(QD = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3}\) și \(C'Q = \frac{2}{3} \cdot 8\sqrt{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\).

5. 5

   b) Reciproca teoremei lui Pitagora

   QD^2 + C'Q^2 = 128 = C'D^2 \Rightarrow \angle DQC' = 90^\circ

   Calculăm \(QD^2 = \frac{64 \cdot 6}{9} = \frac{128}{3}\) și \(C'Q^2 = \frac{256 \cdot 3}{9} = \frac{256}{3}\). Suma lor este \(\frac{384}{3} = 128\). Dar \(C'D^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128\). Din reciproca teoremei lui Pitagora, \(\angle DQC' = 90^\circ\). Deci \(DE \perp AC'\), iar cum \(FO \parallel AC'\), rezultă \(FO \perp DE\).

Răspuns: a) \(V = 512\ \text{cm}^3\). b) \(\angle(FO, DE) = \angle(AC', DE) = 90^\circ\), deci \(FO \perp DE\).