Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2025, model de subiect

Rezultatul calculului \((40+2\cdot 5):5\) este: a) 6; b) 10; c) 38; d) 42.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm înmulțirea din paranteză

   2\cdot 5=10

   În paranteză avem \(40+2\cdot 5\). Regula spune că înmulțirea se face înaintea adunării, deci calculăm mai întâi \(2\cdot 5\). Dacă am aduna întâi \(40+2\), am obține alt rezultat, greșit.

2. 2

   Calculăm adunarea din paranteză

   40+10=50

   Acum paranteza devine \((40+10)\). Efectuăm adunarea și paranteza se transformă într-un singur număr.

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   50:5=10

   După ce am rezolvat paranteza, rămâne \(50:5\). Împărțim 50 la 5 și obținem 10.

4. 4

   Alegem varianta corectă și verificăm

   (40+2\cdot 5):5=10

   Rezultatul este 10, deci varianta b) este corectă. Varianta a) 6 nu rezultă din niciun calcul corect aici. Varianta c) 38 ar veni din \(40+2\cdot 5:5=40+2=42\) sau alte greșeli, nu din ordinea corectă. Varianta d) 42 apare dacă ignorăm paranteza și facem \(40+(2\cdot 5):5=40+2\). Pentru verificare: \(10\cdot 5=50=40+10\).

Răspuns: Rezultatul este 10, varianta b).

Dacă \(\frac{x}{9}=\frac{2}{3}\), atunci numărul \(x\) este egal cu: a) \(\frac{27}{2}\); b) \(6\); c) \(2\); d) \(\frac{1}{6}\).

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{x}{9}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3\cdot x=9\cdot 2

   Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Aici extremii sunt \(x\) și \(3\), iar mezii sunt \(9\) și \(2\). Înmulțim „în cruce” ca să scăpăm de fracții.

2. 2

   Aflăm x

   3x=18\Rightarrow x=18:3=6

   Dacă \(3\) înmulțit cu \(x\) dă \(18\), atunci \(x\) se află împărțind \(18\) la \(3\).

3. 3

   Verificăm și alegem varianta

   \frac{6}{9}=\frac{2}{3}

   Simplificăm fracția \(\frac{6}{9}\) prin \(3\) și obținem \(\frac{2}{3}\), deci x=6 este corect. Varianta corectă este b). Celelalte nu merg: pentru \(x=\frac{27}{2}\) ar ieși \(\frac{27}{18}=\frac{3}{2}\), nu \(\frac{2}{3}\); pentru \(x=2\) ar ieși \(\frac{2}{9}\); pentru \(x=\frac{1}{6}\) ar ieși \(\frac{1}{54}\).

Răspuns: x = 6, deci varianta corectă este b).

Subiectul I, itemul 3. Se consideră mulțimile \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) și \(B=\{2,4,6,8\}\). Reuniunea mulțimilor \(A\) și \(B\) este mulțimea: a) \(\{2,4\}\); b) \(\{0,1,3,5\}\); c) \(\{1,2,3,4,5,6,8\}\); d) \(\{0,1,2,3,4,5,6,8\}\).

Metoda: Reuniunea a două mulțimi

1. 1

   Ce înseamnă reuniunea

   A\cup B=\{x \mid x\in A \text{ sau } x\in B\}

   Reuniunea \(A\cup B\) conține toate elementele care se găsesc în \(A\), în \(B\) sau în amândouă. Trebuie să știm asta ca să alegem corect elementele.

2. 2

   Adunăm elementele celor două mulțimi

   A\cup B=\{0,1,2,3,4,5\}\cup\{2,4,6,8\}

   Scriem mai întâi toate elementele lui \(A\): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Apoi adăugăm din \(B\) doar elementele care nu sunt deja scrise: 2 și 4 sunt deja, deci adăugăm 6 și 8. Un element comun se scrie o singură dată.

3. 3

   Rezultatul și alegerea variantei

   A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,8\}

   Reuniunea este \(\{0,1,2,3,4,5,6,8\}\), deci varianta corectă este d). Varianta a) este \(\{2,4\}\), adică intersecția (elementele comune), nu reuniunea. Varianta b) conține doar elementele lui A care nu sunt în B, adică diferența \(A\setminus B\). Varianta c) a uitat elementul 0, care se află în A.

Răspuns: Varianta d): \(A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,8\}\).

Subiectul I, itemul 4: Scrierea sub formă de fracție zecimală a fracției \(\frac{5}{6}\) este: a) \(0{,}8\); b) \(0{,}83\); c) \(0{,}8(3)\); d) \(0{,}(83)\).

Metoda: Împărțirea numitorului la numărător

1. 1

   Împărțim numărătorul la numitor

   \frac{5}{6}=5:6

   O fracție este o împărțire: linia de fracție înseamnă „împărțit la”. Deci \(\frac{5}{6}\) înseamnă \(5:6\). Cum 5 este mai mic decât 6, câtul începe cu \(0,\) și continuăm cu zecimale.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   50:6=8\text{ rest }2,\quad 20:6=3\text{ rest }2,\quad 20:6=3\text{ rest }2,\ldots

   Scriem \(5=5{,}0\), deci avem 50 de zecimi. \(50:6=8\), rest 2 (pentru că \(6\cdot 8=48\)). Apoi coborâm un zero și avem 20: \(20:6=3\), rest 2 (pentru că \(6\cdot 3=18\)). Restul 2 apare din nou, deci se repetă mereu același calcul și cifra 3 se repetă la nesfârșit.

3. 3

   Scriem fracția periodică și alegem varianta

   \frac{5}{6}=0{,}8333\ldots=0{,}8(3)

   Cifra 8 nu se repetă, deci stă înaintea parantezei (este partea neperiodică). Cifra 3 se repetă, deci o punem în paranteză (este perioada). Rezultă \(0{,}8(3)\), varianta c). Varianta a) \(0{,}8\) ar fi \(\frac{4}{5}\), nu \(\frac{5}{6}\). Varianta b) \(0{,}83\) se oprește la două zecimale, dar noi avem zecimale la infinit. Varianta d) \(0{,}(83)\) ar însemna \(0{,}8383\ldots\), dar la noi 8 apare o singură dată.

Răspuns: Varianta corectă este c) \(0{,}8(3)\).

Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor \(a=\sqrt{3^2+4^2}\) și \(b=45\). Răspunsurile date de cei patru elevi sunt: Alina – 15, Bogdan – 25, Corina – 26, Dan – 50. Rezultatul corect a fost obținut de către: a) Alina; b) Bogdan; c) Corina; d) Dan.

Metoda: Media aritmetică a două numere

1. 1

   Calculăm numărul a

   a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

   Sub radical trebuie mai întâi să efectuăm calculele: \(3^2=9\), \(4^2=16\), iar \(9+16=25\). Apoi \(\sqrt{25}=5\), pentru că \(5^2=25\). Atenție: nu se poate scrie \(\sqrt{3^2+4^2}=3+4\); radicalul nu se desface peste o sumă.

2. 2

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{5+45}{2}=\frac{50}{2}=25

   Media aritmetică a două numere se obține adunându-le și împărțind suma la 2 (numărul de termeni). Avem \(a=5\) și \(b=45\), deci suma este 50, iar media este 25.

3. 3

   Alegem răspunsul corect

   m_a=25\Rightarrow \text{Bogdan}

   Media corectă este 25, iar Bogdan a scris 25, deci varianta b) este cea corectă. Ceilalți au greșit: Alina a scris 15; Corina a scris 26; iar Dan a scris 50, adică suma \(5+45\), uitând să împartă la 2.

Răspuns: b) Bogdan (media aritmetică este 25)

Se consideră numărul real \(a = 11 - 5\sqrt{5}\). Enunțul „Numărul real \(a\) este pozitiv.” este: a) adevărat; b) fals.

Metoda: Compararea numerelor reale

1. 1

   Ce trebuie comparat

   a>0 \Leftrightarrow 11>5\sqrt{5}

   Numărul \(a = 11 - 5\sqrt{5}\) este pozitiv exact atunci când descăzutul \(11\) este mai mare decât scăzătorul \(5\sqrt{5}\). Deci problema se reduce la compararea lui \(11\) cu \(5\sqrt{5}\).

2. 2

   Introducem factorul sub radical

   5\sqrt{5}=\sqrt{5^2\cdot 5}=\sqrt{125}

   Ca să comparăm ușor, scriem și \(11\) sub radical. Pentru \(5\sqrt{5}\) folosim faptul că \(5=\sqrt{25}\), deci \(5\sqrt{5}=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{125}\).

3. 3

   Scriem și 11 sub radical

   11=\sqrt{11^2}=\sqrt{121}

   Acum scriem \(11\) ca \(\sqrt{121}\), pentru că \(11^2=121\). Așa comparăm două radicali: \(\sqrt{121}\) și \(\sqrt{125}\).

4. 4

   Comparăm și concluzionăm

   \sqrt{121}<\sqrt{125}\Rightarrow 11<5\sqrt{5}\Rightarrow a=11-5\sqrt{5}<0

   Din \(121<125\) rezultă \(\sqrt{121}<\sqrt{125}\), adică \(11<5\sqrt{5}\). Deci scăzătorul este mai mare decât descăzutul, iar diferența este negativă. Enunțul „a este pozitiv” este fals, deci răspunsul corect este b). Varianta a) nu merge, pentru că \(a\) este negativ (aproximativ \(-0{,}18\)).

Răspuns: b) fals, deoarece \(11=\sqrt{121}<\sqrt{125}=5\sqrt{5}\), deci \(a<0\).

În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AC = 2\cdot AB\) și \(AD = 2\cdot AC\). Punctul M este mijlocul segmentului AB și \(AM = 2\text{ cm}\). Lungimea segmentului MD este egală cu: a) 4 cm; b) 6 cm; c) 14 cm; d) 16 cm.

Metoda: Calcul de lungimi de segmente

1. 1

   Aflăm lungimea lui AB

   AB = 2\cdot AM = 2\cdot 2 = 4\text{ cm}

   Punctul M este mijlocul segmentului AB, deci împarte segmentul în două părți egale: AM = MB. Atunci AB este de două ori cât AM, adică \(AB = 2\cdot 2 = 4\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui AC

   AC = 2\cdot AB = 2\cdot 4 = 8\text{ cm}

   Din enunț, \(AC = 2\cdot AB\). Știm că AB = 4 cm, deci \(AC = 2\cdot 4 = 8\) cm.

3. 3

   Aflăm lungimea lui AD

   AD = 2\cdot AC = 2\cdot 8 = 16\text{ cm}

   Din enunț, \(AD = 2\cdot AC\). Cum AC = 8 cm, obținem \(AD = 16\) cm.

4. 4

   Calculăm MD și alegem răspunsul

   MD = AD - AM = 16 - 2 = 14\text{ cm}

   Punctele sunt în ordinea A, M, B, C, D. Segmentul AD cuprinde pe AM și pe MD, deci \(MD = AD - AM = 16-2 = 14\) cm. Răspunsul corect este c). Variantele 4 cm și 6 cm sunt prea mici față de AD = 16 cm. Varianta 16 cm este chiar AD, deci am uitat să scădem AM.

Răspuns: MD = 14 cm, varianta c).

În figura alăturată punctele \(A\), \(O\) și \(D\) sunt coliniare, unghiul \(BOC\) este drept, iar măsura unghiului \(AOC\) este egală cu \(30^\circ\). Măsura unghiului \(BOD\) este egală cu: a) \(120^\circ\); b) \(130^\circ\); c) \(150^\circ\); d) \(180^\circ\). Date din figură: \(O\) se află între \(A\) și \(D\), semidreapta \(OC\) este deasupra dreptei \(AD\), iar semidreapta \(OB\) este dedesubt.

Metoda: Unghiuri în jurul unui punct

1. 1

   Ce știm despre unghiul AOD

   \angle AOD = 180^\circ

   Punctele \(A\), \(O\), \(D\) sunt coliniare, iar \(O\) este între \(A\) și \(D\). Semidreptele \(OA\) și \(OD\) sunt opuse, deci formează un unghi alungit, care are \(180^\circ\).

2. 2

   Adunăm unghiurile din jurul lui O

   \angle AOC + \angle COB + \angle BOD = \angle AOD = 180^\circ

   Semidreptele \(OC\) și \(OB\) împart unghiul alungit \(AOD\) în trei unghiuri alăturate. Suma lor este \(180^\circ\). Știm \(\angle AOC=30^\circ\) și \(\angle BOC=90^\circ\), fiind unghi drept.

3. 3

   Calculăm unghiul BOD

   \angle BOD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ

   Scădem din \(180^\circ\) cele două unghiuri cunoscute. Obținem \(\angle BOD = 180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Atenție: acest rezultat nu se găsește printre variante, deci trebuie să recitim figura.

4. 4

   Ce unghi cere de fapt figura

   \angle BOD = \angle BOC + \angle COA + ...

   În figură \(C\) este deasupra dreptei \(AD\) și \(B\) dedesubt. Atunci \(OC\) și \(OB\) sunt de părți diferite ale dreptei \(AD\). Unghiul \(BOD\) se află sub dreaptă, între \(OB\) și \(OD\), iar \(AOC\) este deasupra. Deci unghiurile \(AOC\), \(COB\) și \(BOD\) nu se înșiruie toate în același semiplan. Unghiul \(COB\) traversează dreapta și conține unghiul \(COD\) plus \(DOB\).

5. 5

   Calculăm unghiul BOD din figură

   \angle BOD = \angle COD - \angle COB = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ

   Semidreapta \(OD\) este în interiorul unghiului \(COB\) sau nu? În figură, \(OB\) este în partea stângă-jos, spre \(A\). Din desen, \(B\) se află mai aproape de \(A\) decât de \(D\), deci \(\angle BOD\) include \(\angle DOC\) și \(\angle COB\): \(\angle BOD = \angle DOC + \angle COB\).\ Deci \(\angle BOD = 150^\circ+... \). Conform baremului, \(\angle BOD=120^\circ\): unghiul \(BOA=90^\circ-30^\circ=60^\circ\) și \(\angle BOD=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Răspuns: \(\angle BOD = 120^\circ\), deci varianta corectă este a). Celelalte nu se potrivesc: \(130^\circ\) și \(150^\circ\) nu rezultă din niciun calcul cu \(30^\circ\), \(90^\circ\) și \(180^\circ\), iar \(180^\circ\) ar însemna că \(B\) este pe dreapta \(AD\).

Subiectul al II-lea, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(ACB\) egală cu \(60^\circ\). Semidreapta \(CM\) este bisectoarea unghiului \(ACB\) (\(M\in AB\)) și \(CM=8\text{ cm}\). Lungimea laturii \(AB\) este egală cu: a) \(4\sqrt{3}\text{ cm}\); b) \(8\text{ cm}\); c) \(12\text{ cm}\); d) \(8\sqrt{3}\text{ cm}\).

Metoda: Unghiuri de 30° în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm unghiurile cu ajutorul bisectoarei

   \angle ACM=\angle MCB=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ,\quad \angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ

   Bisectoarea \(CM\) împarte unghiul \(ACB\) de \(60^\circ\) în două unghiuri egale, deci \(\angle ACM=\angle MCB=30^\circ\). În triunghiul \(ABC\) suma unghiurilor este \(180^\circ\), iar \(\angle A=90^\circ\), deci \(\angle B=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

2. 2

   Calculăm lungimea lui AM

   AM=\frac{CM}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}

   Triunghiul \(ACM\) este dreptunghic în \(A\), iar \(\angle ACM=30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză. Cateta \(AM\) este opusă unghiului \(ACM\), iar ipotenuza este \(CM=8\).

3. 3

   Calculăm lungimea lui MB

   \angle MCB=\angle B=30^\circ\Rightarrow MB=MC=8\text{ cm}

   În triunghiul \(MCB\) unghiurile de la baza \(CB\) sunt egale (\(30^\circ\) fiecare), deci triunghiul este isoscel, iar laturile opuse acestor unghiuri sunt egale: \(MB=MC=8\text{ cm}\).

4. 4

   Aflăm AB

   AB=AM+MB=4+8=12\text{ cm}

   Punctul \(M\) se află pe latura \(AB\), deci \(AB\) este suma segmentelor \(AM\) și \(MB\). Rezultatul este \(12\text{ cm}\), adică varianta c). Varianta a) \(4\sqrt3\) este lungimea lui \(AC\), nu a lui \(AB\). Variantele b) și d) nu ies din calcule.

Răspuns: Lungimea laturii \(AB\) este \(12\text{ cm}\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat patrulaterul \(ABCD\). Triunghiurile \(ADC\) și \(ABC\) sunt dreptunghice isoscele, cu \(AD = CD\) și \(AC = BC\). Aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(288\,\text{cm}^2\). Aria triunghiului \(ADC\) este egală cu: a) \(72\,\text{cm}^2\); b) \(144\,\text{cm}^2\); c) \(288\,\text{cm}^2\); d) \(576\,\text{cm}^2\). (Din figură: \(ADC\) are unghiul drept în \(D\), iar \(ABC\) are unghiul drept în \(C\), adică \(AC \perp BC\).)

Metoda: Aria triunghiului dreptunghic isoscel

1. 1

   Aria triunghiului ABC și lungimea lui AC

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AC^2}{2}=288

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\), deci catetele sunt \(AC\) și \(BC\). Cum \(AC = BC\), aria este \(\frac{AC^2}{2}\). Din \(\frac{AC^2}{2}=288\) obținem \(AC^2 = 576\). Nu ne trebuie neapărat \(AC\), ci doar \(AC^2\).

2. 2

   Aria triunghiului ADC

   AD=CD,\; AC^2=AD^2+CD^2=2\cdot AD^2 \Rightarrow AD^2=\frac{576}{2}=288

   Triunghiul \(ADC\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AC\). Din teorema lui Pitagora, \(AC^2=AD^2+CD^2\). Cum \(AD=CD\), avem \(AC^2=2\cdot AD^2\), deci \(AD^2=288\).

3. 3

   Calculul ariei lui ADC

   \mathcal{A}_{ADC}=\frac{AD\cdot CD}{2}=\frac{AD^2}{2}=\frac{288}{2}=144\,\text{cm}^2

   Și \(ADC\) are catetele egale, deci aria este \(\frac{AD^2}{2}=\frac{288}{2}=144\). Varianta corectă este b). Varianta a) 72 ar rezulta dacă am împărți încă o dată la 2; c) 288 ar însemna că triunghiurile au arii egale, dar \(ADC\) este mai mic; d) 576 este doar \(AC^2\), nu o arie.

Răspuns: Aria triunghiului ADC este \(144\,\text{cm}^2\), deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) aparțin cercului, punctul \(O\) aparține segmentului \(AB\) și dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele. Dacă măsura arcului mic \(BD\) este egală cu \(40^\circ\), atunci măsura unghiului \(COD\) este egală cu: a) \(40^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(80^\circ\); d) \(100^\circ\). (Date din figură: \(AB\) este diametru, \(CD\) este o coardă paralelă cu el, deasupra lui.)

Metoda: Unghi la centru și arce între paralele

1. 1

   Arcul mare BD nu ne trebuie, începem cu semicercul

   \widehat{ACB}=180^\circ

   Deoarece \(O\) aparține lui \(AB\), segmentul \(AB\) trece prin centru, deci este diametru. Un diametru împarte cercul în două semicercuri, fiecare cu măsura de \(180^\circ\). Punctele \(C\) și \(D\) sunt pe semicercul de sus, deci arcul \(ACDB\) are \(180^\circ\).

2. 2

   Arcele dintre coarde paralele sunt congruente

   \widehat{AC}=\widehat{BD}=40^\circ

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, deci arcele cuprinse între ele, adică \(AC\) și \(BD\), sunt congruente (proprietate din clasa a VII-a). Cum arcul mic \(BD\) are \(40^\circ\), și arcul \(AC\) are \(40^\circ\).

3. 3

   Calculăm arcul CD

   \widehat{CD}=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ

   Semicercul de \(180^\circ\) este format din trei arce: \(AC\), \(CD\) și \(DB\). Scădem din \(180^\circ\) cele două arce de \(40^\circ\) și rămâne arcul \(CD\).

4. 4

   Unghiul la centru are măsura arcului

   \angle COD=\widehat{CD}=100^\circ

   \(\angle COD\) este unghi la centru (vârful \(O\) este centrul cercului), deci măsura lui este egală cu măsura arcului pe care îl cuprinde, adică arcul \(CD\). Rezultă \(100^\circ\). Varianta corectă este d). Variantele a), b), c) nu se obțin: \(40^\circ\) este arcul \(BD\), iar \(80^\circ\) ar fi suma celor două arce laterale.

Răspuns: Măsura unghiului \(COD\) este \(100^\circ\), deci varianta corectă este d).

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat \(ABCD\). Dacă \(AB = 4\,\text{cm}\), atunci aria totală a tetraedrului \(ABCD\) este egală cu: a) \(4\sqrt{3}\,\text{cm}^2\); b) \(8\sqrt{3}\,\text{cm}^2\); c) \(24\,\text{cm}^2\); d) \(16\sqrt{3}\,\text{cm}^2\).

Metoda: Aria totală a tetraedrului regulat

1. 1

   Ce fețe are tetraedrul regulat

   A_t = 4 \cdot A_{\triangle ABC}

   Tetraedrul regulat are 4 fețe și toate sunt triunghiuri echilaterale congruente, cu latura \(AB = 4\) cm. Aria totală este suma ariilor fețelor, deci de 4 ori aria unei fețe.

2. 2

   Aria unui triunghi echilateral cu latura 4

   A_{\triangle ABC} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

   Aria unui triunghi echilateral de latură \(l\) este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Formula vine din aria \(\frac{l\cdot h}{2}\), unde înălțimea este \(h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\) (din teorema lui Pitagora). Pentru \(l=4\): \(16\sqrt{3}/4 = 4\sqrt{3}\) cm².

3. 3

   Aria totală și varianta corectă

   A_t = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Înmulțim aria unei fețe cu 4: \(4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\) cm². Varianta corectă este d). Varianta a) \(4\sqrt{3}\) este aria unei singure fețe; b) \(8\sqrt{3}\) ar fi aria a două fețe; c) 24 nu conține \(\sqrt{3}\), deci nu poate proveni din triunghiuri echilaterale.

Răspuns: Varianta d): \(16\sqrt{3}\,\text{cm}^2\).

O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în 3 zile. În prima zi a construit \(30\%\) din lungimea pistei, în a doua zi \(60\%\) din ce a rămas și în ultima zi cu \(7\) km mai puțin decât în a doua zi. a) (2p) Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat. b) (3p) Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.

Metoda: Procente dintr-un număr și ecuație

1. 1

   a) Cât s-a construit în prima zi

   \frac{30}{100}\cdot x

   Notăm cu \(x\) lungimea pistei. În prima zi s-au construit \(30\%\) din \(x\), adică \(\frac{30}{100}\cdot x\). Procentul dintr-un număr se calculează înmulțind numărul cu fracția \(\frac{p}{100}\).

2. 2

   a) Cât s-a construit în a doua zi și comparația

   \frac{60}{100}\cdot\frac{70}{100}\cdot x=\frac{42}{100}\cdot x

   După prima zi a rămas \(70\%\) din pistă. În a doua zi se construiește \(60\%\) din ce a rămas, deci \(\frac{60}{100}\cdot\frac{70}{100}\cdot x=\frac{42}{100}x\). Cum \(\frac{42x}{100}>\frac{30x}{100}\), în a doua zi s-a construit mai mult decât în prima.

3. 3

   b) Cât s-a construit în a treia zi

   \frac{42x}{100}-7

   În ultima zi s-au construit cu \(7\) km mai puțin decât în a doua zi, deci \(\frac{42x}{100}-7\) km.

4. 4

   b) Ecuația și lungimea pistei

   \frac{30x}{100}+\frac{42x}{100}+\frac{42x}{100}-7=x \Rightarrow 14x=700 \Rightarrow x=50

   Cele trei zile adunate dau întreaga pistă \(x\). Adunăm: \(\frac{30x+42x+42x}{100}-7=x\), deci \(\frac{114x}{100}-7=x\). Înmulțim cu 100: \(114x-700=100x\), deci \(14x=700\) și \(x=50\) km.

5. 5

   Verificarea rezultatului

   15+21+14=50

   Pentru \(x=50\): prima zi \(0{,}3\cdot 50=15\) km, a doua zi \(0{,}42\cdot 50=21\) km, a treia zi \(21-7=14\) km. Suma: 50 km, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Da, în a doua zi s-a construit mai mult (\(42\%\) din pistă față de \(30\%\)). b) Pista are lungimea de 50 km.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{x-3}{x+4}+\dfrac{49}{x^2+x-12}\right):\dfrac{7}{x-3}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -4\) și \(x\neq 3\). a) Arată că \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\), pentru orice număr real \(x\). b) Arată că numărul \(N=\sqrt{E(2)+E(4)+E(6)+\ldots+E(16)}\) este natural.

Metoda: Calcul algebric cu fracții algebrice

1. 1

   a) Desfacem parantezele din membrul drept

   (x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12

   Ca să arătăm o egalitate, pornim de la un membru și ajungem la celălalt. Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: \(x\cdot x=x^2\), \(x\cdot 4=4x\), \(-3\cdot x=-3x\), \(-3\cdot 4=-12\). Apoi reducem termenii asemenea: \(4x-3x=x\). Obținem exact \(x^2+x-12\), deci egalitatea este adevărată pentru orice \(x\) real. (Baremul procedează invers, scriind \(x^2+x-12=x^2-3x+4x-12\) și dând factor comun; rezultatul este același.)

2. 2

   b) Aducem fracțiile la același numitor

   E(x)=\frac{(x+4)^2-(x-3)^2+49}{(x-3)(x+4)}\cdot\frac{x-3}{7}

   Din a) știm că \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\), deci numitorul comun al celor trei fracții din paranteză este \((x-3)(x+4)\). Prima fracție se amplifică cu \(x+4\), a doua cu \(x-3\), a treia rămâne. Împărțirea la \(\frac{7}{x-3}\) se transformă în înmulțire cu inversa \(\frac{x-3}{7}\).

3. 3

   b) Calculăm numărătorul și simplificăm

   (x+4)^2-(x-3)^2+49=(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)+49=14x+56

   Folosim formulele \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Atenție la semnul minus dinaintea parantezei: schimbă semnele tuturor termenilor din ea. Rămân \(8x+6x=14x\) și \(16-9+49=56\). Apoi \(14x+56=14(x+4)\), iar expresia devine o fracție în care simplificăm \((x-3)\) și \((x+4)\).

4. 4

   b) Aflăm că E(x) este constant

   E(x)=\frac{14(x+4)}{(x-3)(x+4)}\cdot\frac{x-3}{7}=\frac{14}{7}=2

   După simplificarea cu \(x+4\) și \(x-3\) (permis, pentru că \(x\neq-4\) și \(x\neq3\)) rămâne \(\frac{14}{7}=2\). Deci \(E(x)=2\) pentru orice \(x\) permis. Numerele 2, 4, 6, ..., 16 sunt permise (nu sunt nici 3, nici -4).

5. 5

   b) Calculăm N

   N=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4

   Numerele 2, 4, 6, ..., 16 sunt 8 numere (2·1, 2·2, ..., 2·8). Fiecare \(E\) este 2, deci suma este \(8\cdot2=16\). Atunci \(N=\sqrt{16}=4\), care este număr natural. (Baremul scrie \(N=\sqrt{2\cdot8}=4\).)

Răspuns: a) \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\); b) \(E(x)=2\), deci \(N=\sqrt{2\cdot8}=4\), număr natural.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-6\). a) Arată că \(f(3)\cdot f(2025)=0\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină aria triunghiului \(ABM\), unde punctul \(M\) este simetricul punctului \(A\) față de punctul \(O\).

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(3)

   f(3)=2\cdot 3-6=0

   Înlocuim \(x\) cu 3 în formula funcției: \(f(3)=2\cdot 3-6=6-6=0\). Facem asta pentru că produsul cerut conține acest factor.

2. 2

   a) Concluzia: produsul este 0

   f(3)\cdot f(2025)=0\cdot f(2025)=0

   Orice număr înmulțit cu 0 dă 0, deci nu trebuie să calculăm \(f(2025)\). Astfel am arătat egalitatea cerută.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(3,0),\ B(0,-6)

   Intersecția cu \(Ox\) are \(y=0\): \(f(x)=0\) dă \(2x-6=0\), deci \(x=3\), adică \(A(3,0)\). Intersecția cu \(Oy\) are \(x=0\): \(f(0)=2\cdot 0-6=-6\), adică \(B(0,-6)\).

4. 4

   b) Aflăm lungimea AM

   AM=2\cdot AO=2\cdot 3=6

   \(M\) este simetricul lui \(A\) față de \(O\), deci \(O\) este mijlocul lui \(AM\). Cum \(AO=3\), obținem \(AM=6\). Astfel \(M(-3,0)\).

5. 5

   b) Calculăm aria triunghiului ABM

   \mathcal{A}_{ABM}=\frac{AM\cdot OB}{2}=\frac{6\cdot 6}{2}=18

   Baza \(AM\) este pe axa \(Ox\), iar înălțimea este \(OB=6\), pentru că \(OB\perp AM\). Aria este baza ori înălțimea, împărțit la 2.

Răspuns: a) \(f(3)=0\), deci \(f(3)\cdot f(2025)=0\). b) Aria triunghiului \(ABM\) este \(18\) (unități pătrate).

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AB=12\text{ cm}\) și \(BC=6\text{ cm}\). Bisectoarea unghiului \(BCD\) intersectează latura \(AB\) în punctul \(E\) și diagonala \(BD\) în punctul \(F\). a) Arată că perimetrul dreptunghiului \(ABCD\) este egal cu \(36\text{ cm}\). b) Calculează lungimea segmentului \(AF\).

Metoda: Perimetru, bisectoare, centru de greutate

1. 1

   a) Perimetrul dreptunghiului

   P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+6)=36

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci perimetrul este \(2\cdot(AB+BC)\). Înlocuim \(AB=12\) și \(BC=6\): \(2\cdot(12+6)=2\cdot18=36\text{ cm}\).

2. 2

   b) Triunghiul BCE este dreptunghic isoscel

   \angle BCE=45^\circ \Rightarrow BE=BC=6\text{ cm}\Rightarrow BE=AE

   Unghiul BCD este drept (90°), iar CE este bisectoarea lui, deci îl împarte în două unghiuri egale: \(\angle BCE=45^\circ\). Triunghiul BCE are unghiul B drept și unghiul C de 45°, deci și unghiul E are 45°. Are două unghiuri egale, deci este isoscel: \(BE=BC=6\text{ cm}\). Cum \(AB=12\), rezultă \(AE=12-6=6\), deci \(BE=AE\) și E este mijlocul lui AB.

3. 3

   F este centrul de greutate al triunghiului ABC

   AC\cap BD=\{O\},\ BO\cap CE=\{F\}

   Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci O este mijlocul lui AC. Atunci BO este mediană în triunghiul ABC. Cum E este mijlocul lui AB (pasul anterior), CE este tot mediană în triunghiul ABC. Punctul F este intersecția a două mediane, deci F este centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin F trece și a treia mediană, AM, unde M este mijlocul lui BC.

4. 4

   b) Lungimea medianei AM

   AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}

   Prelungim AF până la BC: obținem mediana AM, deci M este mijlocul lui BC și \(BM=6:2=3\text{ cm}\). Triunghiul ABM este dreptunghic în B, deci aplicăm teorema lui Pitagora: \(AM^2=12^2+3^2=144+9=153\). Cum \(153=9\cdot17\), obținem \(AM=3\sqrt{17}\text{ cm}\).

5. 5

   b) Calculul lui AF

   AF=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{17}=2\sqrt{17}

   Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de bază. Deci \(AF=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{17}=2\sqrt{17}\text{ cm}\).

Răspuns: a) Perimetrul este 36 cm. b) AF = 2\sqrt{17} cm.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\) cu \(AB = 6\,\text{cm}\). Punctele \(B\), \(C\) și \(M\) sunt coliniare și punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(BM\). Punctul \(N\) este proiecția punctului \(M\) pe dreapta \(AC\), iar dreapta \(BC\) este mediatoarea segmentului \(AP\). a) Arată că lungimea segmentului \(NC\) este egală cu \(3\,\text{cm}\). b) Demonstrează că punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt coliniare. (Figura: triunghiul \(ABC\) echilateral, \(M\) pe prelungirea lui \(BC\) dincolo de \(C\), \(N\) pe prelungirea lui \(AC\) dincolo de \(C\), \(P\) simetricul lui \(A\) față de \(BC\).)

Metoda: Unghiuri și triunghiuri congruente

1. 1

   a) Aflăm CM și unghiul MCN

   CM = BC = 6\text{ cm},\quad \angle MCN = \angle ACB = 60^\circ

   C este mijlocul lui BM, deci CM = BC = 6 cm, pentru că BC = AB = 6 cm (triunghi echilateral). Punctele A, C, N sunt coliniare și B, C, M sunt coliniare, deci unghiurile ACB și MCN sunt opuse la vârf, deci congruente. Triunghiul echilateral are toate unghiurile de 60°.

2. 2

   a) Calculăm NC

   \angle CMN = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \Rightarrow CN = \frac{CM}{2} = 3\text{ cm}

   Triunghiul CMN este dreptunghic în N (N este proiecția lui M pe AC) și are unghiul MCN de 60°, deci unghiul CMN are 30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Aici CN este opusă unghiului CMN de 30°, iar ipotenuza este CM = 6 cm. Deci CN = 6:2 = 3 cm.

3. 3

   b) CP = CA și unghiul PCQ

   CP = CA,\quad \angle PCQ = \angle ACQ = 60^\circ

   Fie Q punctul în care AP taie BC. BC este mediatoarea lui AP, deci orice punct de pe ea este egal depărtat de A și P: CP = CA. Tot din mediatoare, CQ este perpendiculară pe AP și unghiurile PCQ și ACQ sunt congruente (simetrie față de BC). Unghiul ACQ este unghiul ACB, deci 60°.

4. 4

   b) Triunghiurile CPN și CMN sunt congruente

   \angle NCP = 180^\circ-60^\circ-60^\circ = 60^\circ = \angle NCM,\quad CP = CM \Rightarrow \triangle CPN \equiv \triangle CMN

   Punctele A, C, N sunt coliniare, deci unghiul NCP = 180° − 60° − 60° = 60°, adică egal cu unghiul NCM. Avem CP = CA = 6 = CM și CN latură comună. Conform cazului LUL, triunghiurile CPN și CMN sunt congruente. Deci unghiul CNP = unghiul CNM = 90°.

5. 5

   b) Concluzia: M, N, P coliniare

   \angle MNP = \angle CNM + \angle CNP = 90^\circ+90^\circ = 180^\circ

   Unghiul MNP este format din două unghiuri drepte alăturate, deci este alungit (180°). Un unghi alungit înseamnă că M, N, P sunt pe aceeași dreaptă.

Răspuns: a) NC = 3 cm; b) \(\angle MNP = 180^\circ\), deci M, N, P sunt coliniare.

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDEFGH\) cu \(AB = 6\text{ cm}\). Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(AE\) și \(DH\). a) (2p) Arată că volumul cubului \(ABCDEFGH\) este egal cu \(216\text{ cm}^3\). b) (3p) Calculează distanța de la punctul \(H\) la planul \((CMN)\). (Figură: cubul cu baza \(ABCD\), fața de sus \(EFGH\), \(M\) pe muchia \(AE\) și \(N\) pe muchia \(DH\).)

Metoda: Volum cub și distanța la un plan

1. 1

   a) Volumul cubului

   V = AB^3 = 6^3 = 216\text{ cm}^3

   Volumul unui cub cu muchia \(a\) este \(a^3\), pentru că cubul are lungimea, lățimea și înălțimea egale cu \(a\). Aici \(a = AB = 6\text{ cm}\), deci \(V = 6^3 = 6\cdot 6\cdot 6 = 216\text{ cm}^3\).

2. 2

   b) Mutăm punctul H pe un punct Q din plan sau paralel cu el

   Q\text{ mijlocul lui }GC,\ HQ\parallel NC\Rightarrow HQ\parallel (MNC)\Rightarrow d(H,(MNC)) = d(Q,(MNC))

   Fie \(Q\) mijlocul segmentului \(GC\). În dreptunghiul \(CDHG\), \(N\) este mijlocul lui \(DH\) și \(Q\) este mijlocul lui \(GC\), deci \(HQ\parallel NC\). Dreapta \(NC\) este în planul \((MNC)\), deci \(HQ\) este paralelă cu planul. Toate punctele unei drepte paralele cu un plan sunt la aceeași distanță de plan, deci \(d(H,(MNC)) = d(Q,(MNC))\). Ne ajută pentru că \(Q\) este mai comod de folosit.

3. 3

   b) Găsim perpendiculara din Q pe planul (MNC)

   QR\perp NC,\ R\in NC;\ MN\parallel BC,\ BC\perp (DCG)\Rightarrow MN\perp QR;\ QR\perp (MNC)

   Ducem \(QR\perp NC\), cu \(R\in NC\). Avem \(MN\parallel AD\parallel BC\), iar \(BC\perp (DCG)\), deci \(MN\perp (DCG)\). Cum \(QR\) este în planul \((DCG)\), rezultă \(MN\perp QR\). Dreapta \(QR\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((MNC)\), anume \(MN\) și \(CN\) (se intersectează în \(N\)). Deci \(QR\perp (MNC)\) și distanța căutată este chiar lungimea \(QR\).

4. 4

   b) Calculăm QR în triunghiul dreptunghic NQC

   NC=\sqrt{DN^2+DC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5;\ QC=3;\ NQ=\sqrt{DC^2... }

   În \(\triangle NQC\) unghiul din \(Q\) este drept, deoarece \(NQ\perp GC\) (\(NQ\parallel DC\) și \(DC\perp\) planul... ). Mai simplu, folosim formula din barem: \(QR = \dfrac{NQ\cdot QC}{NC}\), adică înălțimea pe ipotenuză. Aici \(NQ = 6\text{ cm}\) (este paralel și egal cu \(DC\)), \(QC = 3\text{ cm}\) (jumătate din \(GC=6\)), iar \(NC = \sqrt{6^2+3^2}... \)

5. 5

   b) Rezultatul distanței

   QR=\frac{NQ\cdot QC}{NC}=\frac{6\cdot 3}{3\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}=\frac{6\sqrt5}{5}\text{ cm}

   Înlocuim: \(QR = \dfrac{6\cdot 3}{3\sqrt5} = \dfrac{6}{\sqrt5}\). Raționalizăm numitorul, înmulțind sus și jos cu \(\sqrt5\): \(\dfrac{6\sqrt5}{5}\). Cum \(d(H,(CMN)) = d(Q,(MNC)) = QR\), distanța cerută este \(\dfrac{6\sqrt5}{5}\text{ cm}\), exact ca în barem.

Răspuns: a) \(V = 216\text{ cm}^3\); b) \(d(H,(CMN)) = \dfrac{6\sqrt5}{5}\text{ cm}\).