Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2025, simulare

În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte și coliniare \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\), în această ordine. Segmentele \(AB\), \(BC\) și \(CD\) sunt congruente, iar lungimea segmentului \(AD\) este egală cu 24 cm. Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu: a) 4 cm; b) 6 cm; c) 8 cm; d) 12 cm.

Metoda: Segmente congruente, lungimea unui segment

1. 1

   Împărțim segmentul AD în bucăți

   AD = AB + BC + CD

   Punctele B și C se află între A și D, deci lungimea întregului segment AD este suma lungimilor celor trei segmente mici. Facem această scriere ca să putem folosi lungimea cunoscută, 24 cm.

2. 2

   Folosim faptul că segmentele sunt congruente

   AB = BC = CD \Rightarrow 3 \cdot CD = 24

   Segmentele congruente au aceeași lungime. Deci în loc de AB și BC putem scrie CD, iar suma devine de trei ori lungimea lui CD. Astfel obținem o singură necunoscută, lungimea lui CD.

3. 3

   Aflăm lungimea lui CD

   CD = 24 : 3 = 8 \text{ cm}

   Dacă de trei ori lungimea lui CD este 24, atunci lungimea lui CD se află împărțind 24 la 3. Împărțirea este operația inversă înmulțirii.

4. 4

   Verificăm și alegem varianta corectă

   8 + 8 + 8 = 24

   Verificăm: trei segmente de câte 8 cm dau 24 cm, exact cât AD. Deci varianta c) este corectă. Varianta a) 4 cm ar da 12 cm în total, b) 6 cm ar da 18 cm, iar d) 12 cm ar da 36 cm, deci nu se potrivesc.

Răspuns: CD = 8 cm, deci varianta corectă este c).

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare \(AOB\) și \(BOC\). Știind că \(\measuredangle BOC = 60^\circ\) și că semidreapta \(OD\) este opusă semidreptei \(OB\), măsura unghiului \(DOC\) este egală cu: a) \(160^\circ\) b) \(120^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(30^\circ\). (Figura: punctele \(A, O, C\) sunt pe o dreaptă, iar dreapta \(BD\) trece prin \(O\), cu \(O\) între \(B\) și \(D\).)

Metoda: Unghiuri opuse la vârf

1. 1

   Recunoaștem dreptele și unghiurile din figură

   A,O,C \text{ coliniare};\quad B,O,D \text{ coliniare}

   Semidreapta \(OD\) este opusă semidreptei \(OB\), deci punctele \(B, O, D\) sunt pe aceeași dreaptă, cu \(O\) între ele. Punctele \(A, O, C\) sunt și ele pe o dreaptă. Avem deci două drepte care se intersectează în \(O\).

2. 2

   Găsim perechea de unghiuri opuse la vârf

   \measuredangle DOC = \measuredangle BOA

   Unghiul \(DOC\) are laturile \(OD\) și \(OC\). Acestea sunt semidreptele opuse lui \(OB\), respectiv \(OA\). Deci \(DOC\) și \(BOA\) sunt unghiuri opuse la vârf și sunt congruente. Mai avem însă nevoie de măsura lui \(AOB\).

3. 3

   Calculăm măsura unghiului AOB

   \measuredangle AOB = 180^\circ - \measuredangle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

   Unghiurile \(AOB\) și \(BOC\) sunt suplementare, deci suma lor este \(180^\circ\). Cum \(BOC = 60^\circ\), obținem \(AOB = 120^\circ\).

4. 4

   Concluzia și verificarea variantelor

   \measuredangle DOC = 120^\circ

   Din pasul 2, \(DOC = AOB = 120^\circ\). Varianta corectă este b). Celelalte nu merg: \(60^\circ\) este măsura lui \(BOC\), nu a lui \(DOC\); \(30^\circ\) și \(160^\circ\) nu rezultă din niciun calcul. Verificare: \(DOC\) și \(BOC\) sunt adiacente suplementare, deci \(120+60=180\).

Răspuns: Măsura unghiului \(DOC\) este \(120^\circ\), deci varianta corectă este b).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\). Semidreapta \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\) și punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\). Dreptele \(AD\) și \(BE\) se intersectează în punctul \(P\). Măsura unghiului \(DPE\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(120^\circ\); d) \(150^\circ\). (În figură: \(E\) este pe latura \(AC\), \(D\) pe \(BC\), iar \(P\) este intersecția lui \(AD\) cu \(BE\).)

Metoda: Proprietăți ale triunghiului echilateral

1. 1

   Aflăm măsura unghiului ABC și a unghiului EBC

   \angle ABC = 60^\circ,\quad \angle EBC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci toate unghiurile lui au \(60^\circ\). Cum \(BE\) este bisectoarea unghiului \(ABC\), ea îl împarte în două unghiuri egale, deci \(\angle EBC = \angle PBD = 30^\circ\).

2. 2

   Arătăm că AD este perpendiculară pe BC

   AD \perp BC \Rightarrow \angle PDB = 90^\circ

   În triunghiul echilateral \(ABC\), \(D\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(AD\) este mediană. Într-un triunghi echilateral (și isoscel) mediana din vârf este și înălțime, deci \(AD \perp BC\). Așadar unghiul \(PDB\) este drept.

3. 3

   Calculăm unghiul BPD în triunghiul BPD

   \angle BPD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

   În triunghiul \(BPD\) suma unghiurilor este \(180^\circ\). Cunoaștem \(\angle PDB = 90^\circ\) și \(\angle PBD = 30^\circ\), deci \(\angle BPD = 60^\circ\).

4. 4

   Aflăm unghiul DPE

   \angle DPE = 180^\circ - \angle BPD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

   Punctele \(B, P, E\) sunt coliniare, deci unghiurile \(BPD\) și \(DPE\) sunt adiacente suplementare, adică se adună la \(180^\circ\). Rezultă \(\angle DPE = 120^\circ\). Răspunsul corect este c). Varianta \(60^\circ\) este unghiul \(BPD\), nu \(DPE\); \(30^\circ\) este unghiul \(PBD\); iar \(150^\circ\) nu rezultă din niciun calcul.

Răspuns: c) \(120^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(CD = 40\) cm și \(AB = 100\) cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului \(ABCD\) este egală cu: a) \(20\) cm; b) \(50\) cm; c) \(70\) cm; d) \(140\) cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Identificăm bazele trapezului

   AB = 100\text{ cm},\quad CD = 40\text{ cm}

   Într-un trapez, bazele sunt laturile paralele. Aici \(AB \parallel CD\), deci bazele sunt \(AB = 100\) cm și \(CD = 40\) cm. Linia mijlocie depinde doar de lungimile bazelor, de aceea ne trebuie doar ele. Faptul că trapezul este isoscel nu schimbă calculul.

2. 2

   Aplicăm formula liniei mijlocii

   l = \frac{AB + CD}{2}

   Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor, adică jumătate din suma lor. Înlocuim bazele: \(l = \frac{100 + 40}{2} = \frac{140}{2} = 70\) cm.

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   l = 70\text{ cm} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Lungimea liniei mijlocii este 70 cm, deci răspunsul corect este c). Verificare: linia mijlocie trebuie să fie între cele două baze (între 40 și 100), iar 70 este la mijloc. Varianta a) 20 cm este prea mică (mai mică decât baza mică). Varianta b) 50 cm este jumătate din 100, nu media bazelor. Varianta d) 140 cm este suma bazelor, deci am uitat să împărțim la 2.

Răspuns: Linia mijlocie a trapezului are lungimea de 70 cm, deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\) și \(B\) sunt situate pe cerc, astfel încât măsura unghiului \(AOB\) este egală cu \(60^\circ\) și \(AB = 12\) cm. Aria discului de centru \(O\) și rază \(OA\) este egală cu: a) \(288\pi\ \text{cm}^2\); b) \(144\pi\ \text{cm}^2\); c) \(36\pi\ \text{cm}^2\); d) \(24\pi\ \text{cm}^2\). (În figură apare triunghiul \(OAB\), cu \(A\) și \(B\) pe cerc.)

Metoda: Triunghi echilateral și aria discului

1. 1

   Ce fel de triunghi este OAB?

   OA = OB = r

   \(OA\) și \(OB\) sunt raze ale aceluiași cerc, deci sunt egale. Triunghiul \(OAB\) este isoscel, cu unghiul din vârful \(O\) de \(60^\circ\). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale, deci \(\angle A = \angle B = (180^\circ - 60^\circ):2 = 60^\circ\). Toate unghiurile au \(60^\circ\), deci triunghiul \(OAB\) este echilateral.

2. 2

   Aflăm raza cercului

   OA = OB = AB = 12 \text{ cm}

   Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale. Cum \(AB = 12\) cm, rezultă că \(OA = OB = 12\) cm. Deci raza cercului este \(r = 12\) cm.

3. 3

   Calculăm aria discului

   \mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ cm}^2

   Aria discului de rază \(r\) este \(\pi r^2\). Înlocuim \(r = 12\) cm: \(12^2 = 144\), deci aria este \(144\pi\ \text{cm}^2\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   144\pi \text{ cm}^2

   Aria \(144\pi\ \text{cm}^2\) corespunde variantei b). Varianta a) \(288\pi\) ar veni dintr-o rază greșită (de exemplu dacă am dubla aria), varianta c) \(36\pi\) ar corespunde razei 6 (jumătate din \(AB\)), iar d) \(24\pi\) nu se obține din nicio rază corectă.

Răspuns: b) \(144\pi\ \text{cm}^2\)

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDEFGH\). Lungimea segmentului \(EG\) este egală cu \(4\sqrt{2}\) cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu: a) 96 cm; b) 72 cm; c) 48 cm; d) 16 cm. (În figură, \(EG\) este diagonala feței \(EFGH\), adică diagonala unui pătrat.)

Metoda: Diagonala pătratului și muchiile cubului

1. 1

   Aflăm muchia cubului din diagonala feței

   EG=l\sqrt{2}\;\Rightarrow\; l=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4

   Fața \(EFGH\) este un pătrat de latură \(l\). Diagonala \(EG\) este ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel \(EFG\), deci din teorema lui Pitagora \(EG^2=l^2+l^2=2l^2\), adică \(EG=l\sqrt{2}\). Cum \(EG=4\sqrt{2}\), obținem \(l\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), deci \(l=4\) cm.

2. 2

   Numărăm muchiile cubului

   \text{cubul are }12\text{ muchii}

   Un cub are 6 fețe și 12 muchii: 4 muchii pe baza de jos, 4 pe baza de sus și 4 verticale. Toate sunt egale, fiecare având 4 cm.

3. 3

   Calculăm suma lungimilor muchiilor

   S=12\cdot l=12\cdot 4=48\text{ cm}

   Toate cele 12 muchii au lungimea 4 cm, deci suma lor este \(12\cdot 4=48\) cm. Varianta corectă este c). Varianta a) 96 ar veni din 12·8, iar d) 16 este doar perimetrul unei fețe (4·4); b) 72 nu rezultă din nicio muchie corectă.

Răspuns: c) 48 cm

Un bunic dorește să împartă suma de 126 de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin. a) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei 40 de lei. Justifică răspunsul dat. b) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu 10% mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.

Metoda: Ecuații și verificare prin calcul

1. 1

   a) Presupunem că Ana primește 40 de lei

   40\cdot 2=80

   Ana primește jumătate din ce primesc Bogdan și Costin împreună. Deci, dacă Ana ar primi 40 de lei, Bogdan și Costin ar primi împreună dublul, adică 80 de lei. Jumătate înseamnă că suma celorlalți doi este de 2 ori mai mare decât a Anei.

2. 2

   a) Verificăm suma totală

   40+80=120\neq 126

   Adunăm cei 40 de lei ai Anei cu cei 80 de lei ai celorlalți doi. Obținem 120 de lei, dar bunicul împarte 126 de lei. Cum 120 este diferit de 126, Ana nu poate primi 40 de lei.

3. 3

   b) Notăm sumele lui Bogdan și Costin

   b=c+\frac{1}{10}c=\frac{11}{10}c

   Notăm cu \(b\) suma lui Bogdan și cu \(c\) suma lui Costin. Bogdan primește cu 10% mai mult decât Costin, adică \(c\) plus a zecea parte din \(c\). Așa obținem \(b=\frac{11}{10}c\).

4. 4

   b) Aflăm suma lui Bogdan și Costin împreună

   \frac{b+c}{2}+b+c=126 \Rightarrow \frac{3(b+c)}{2}=126 \Rightarrow b+c=84

   Ana primește \(\frac{b+c}{2}\). Suma totală este 126, deci \(\frac{b+c}{2}+b+c=126\). Împreună, Bogdan și Costin sunt 2 părți, iar Ana 1 parte, adică 3 părți în total. Cele 3 părți fac 126 de lei, deci o parte este 42 de lei, iar \(b+c=84\).

5. 5

   b) Aflăm sumele lui Costin și Bogdan

   \frac{11}{10}c+c=84 \Rightarrow 21c=840 \Rightarrow c=40,\; b=44

   Înlocuim \(b=\frac{11}{10}c\) în \(b+c=84\). Obținem \(\frac{21}{10}c=84\), adică \(21c=840\), deci \(c=40\). Atunci \(b=84-40=44\). Bogdan primește 44 de lei.

Răspuns: a) Nu, Ana nu poate primi 40 de lei, deoarece 40 + 80 = 120 ≠ 126. b) Bogdan primește 44 de lei (Costin 40 de lei, Ana 42 de lei).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2\right):\frac{4}{x^2+x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\). (2p) a) Arată că \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Arată că numărul \(N=\sqrt{E(2)\cdot E(3)\cdot\ldots\cdot E(9)\cdot E(10)}\) este natural.

Metoda: Calcul algebric și fracții algebrice

1. 1

   a) Desfacem parantezele

   (x-1)(x+2)=x(x+2)-(x+2)

   Înmulțim pe rând fiecare termen din prima paranteză cu al doilea factor: \(x-1\) înseamnă \(x\) minus \(1\), deci \(x\cdot(x+2)\) minus \(1\cdot(x+2)\). Astfel folosim distributivitatea înmulțirii față de adunare.

2. 2

   a) Reducem termenii asemenea

   x^2+2x-x-2=x^2+x-2

   După desfacerea parantezelor avem \(x^2+2x-x-2\). Termenii \(2x\) și \(-x\) sunt asemenea și dau \(x\). Obținem \(x^2+x-2\), adică exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aducem paranteza la același numitor

   E(x)=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2-2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}:\frac{4}{(x-1)(x+2)}

   Numitorul comun al fracțiilor din paranteză este \((x-1)(x+1)\). Amplificăm prima fracție cu \(x-1\), a doua cu \(x+1\) și pe \(2\) cu \((x-1)(x+1)\). Apoi, din a), \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), deci rescriem numitorul celei de-a doua fracții descompus.

4. 4

   b) Recunoaștem formula pătratului diferenței

   \frac{\big((x-1)-(x+1)\big)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{(-2)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}

   Numărătorul este \(a^2+b^2-2ab\) cu \(a=x-1\) și \(b=x+1\), adică \((a-b)^2\). Avem \(a-b=-2\), deci numărătorul este \(4\).

5. 5

   b) Împărțim fracțiile și simplificăm

   E(x)=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)(x+2)}{4}=\frac{x+2}{x+1}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Se simplifică \(4\) și \(x-1\) (diferit de zero, conform condițiilor), iar rămâne \(\frac{x+2}{x+1}\).

6. 6

   b) Calculăm produsul și radicalul

   E(2)\cdot E(3)\cdots E(10)=\frac43\cdot\frac54\cdots\frac{12}{11}=\frac{12}{3}=4,\quad N=\sqrt4=2

   Avem \(E(2)=\frac43\), \(E(3)=\frac54\), ..., \(E(10)=\frac{12}{11}\). Numărătorul fiecărei fracții se simplifică cu numitorul celei următoare, deci rămân doar \(12\) sus și \(3\) jos. Produsul este \(4\), iar \(N=\sqrt4=2\), număr natural.

Răspuns: a) \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\); b) \(E(x)=\frac{x+2}{x+1}\), produsul este \(4\), deci \(N=2\), număr natural.

În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,0)\) și \(B(6,3)\). a) Arată că \(AB=5\). b) Calculează distanța de la punctul \(M(5,0)\) la dreapta \(AB\).

Metoda: Pitagora și aria triunghiului

1. 1

   Triunghiul dreptunghic ABC

   C(6,0),\; AC=6-2=4,\; BC=3

   Proiectăm punctul B pe axa Ox și obținem punctul \(C(6,0)\). Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul ABC este dreptunghic în C. Lungimile catetelor se află prin diferența coordonatelor: \(AC=6-2=4\) și \(BC=3-0=3\).

2. 2

   a) Calculăm AB cu Pitagora

   AB^2=AC^2+BC^2=16+9=25,\; AB=\sqrt{25}=5

   În triunghiul dreptunghic ABC, ipotenuza este AB. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Astfel \(AB^2=4^2+3^2=25\), deci \(AB=5\).

3. 3

   b) Aria triunghiului AMB, prima dată

   AM=5-2=3,\; \mathcal{A}_{AMB}=\frac{AM\cdot BC}{2}=\frac{9}{2}

   Punctele A, M sunt pe axa Ox, deci \(AM=5-2=3\). Distanța de la B la dreapta AM (axa Ox) este \(BC=3\), pentru că BC este perpendiculară pe Ox. Aria este baza înmulțită cu înălțimea, împărțit la 2: \(\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}\).

4. 4

   b) Aria a doua oară și distanța de la M la AB

   \frac{9}{2}=\frac{AB\cdot d(M,AB)}{2}=\frac{5\cdot d}{2}\Rightarrow d=\frac{9}{5}=1{,}8

   Același triunghi AMB poate avea baza AB=5. Atunci înălțimea corespunzătoare este chiar distanța de la M la dreapta AB. Egalăm cele două expresii ale ariei: \(\frac{9}{2}=\frac{5\cdot d}{2}\), deci \(5d=9\) și \(d=\frac{9}{5}=1{,}8\).

Răspuns: a) AB = 5; b) distanța de la M la dreapta AB este 9/5 = 1,8.

Subiectul III, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\), cu \(AB=10\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AD\) și punctul \(N\) este proiecția punctului \(B\) pe dreapta \(CM\). (2p) a) Arată că aria triunghiului \(MBC\) este egală cu \(50\ \text{cm}^2\). (3p) b) Arată că perimetrul triunghiului \(MAN\) este mai mic decât 22 cm. Date din figură: \(A\) jos-stânga, \(B\) jos-dreapta, \(C\) sus-dreapta, \(D\) sus-stânga; \(M\) pe latura \(AD\); \(N\) pe segmentul \(CM\), cu \(BN\perp CM\).

Metoda: Arii și relații metrice în triunghi

1. 1

   a) Aria triunghiului MBC

   \mathcal{A}_{MBC}=100-(25+25)=50

   Pătratul \(ABCD\) are aria \(AB^2=100\ \text{cm}^2\). Pătratul se împarte în trei triunghiuri: \(ABM\), \(CDM\) și \(MBC\). Triunghiurile \(ABM\) și \(CDM\) sunt dreptunghice, cu catetele \(AM=MD=5\) cm și \(AB=CD=10\) cm. Aria fiecăruia este \(\frac{5\cdot 10}{2}=25\ \text{cm}^2\). Aria lui \(MBC\) este ce rămâne din pătrat după ce scoatem aceste două arii.

2. 2

   b) Mediana NA și linia mijlocie AM

   NA=\frac{TB}{2}=10

   Notăm cu \(T\) intersecția dreptelor \(AB\) și \(MC\). Segmentul \(AM\) este paralel cu \(BC\) și \(M\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(A\) este mijlocul lui \(TB\) și \(AM\) este linie mijlocie în triunghiul \(TBC\). Rezultă \(TB=2\cdot AB=20\) cm. Triunghiul \(BNT\) este dreptunghic în \(N\), pentru că \(BN\perp CM\). \(NA\) este mediană corespunzătoare ipotenuzei \(TB\), deci este jumătate din ipotenuză: \(NA=10\) cm.

3. 3

   b) Calculăm TC și CN

   TC=\sqrt{TB^2+BC^2}=10\sqrt5,\quad BC^2=CN\cdot CT\Rightarrow CN=2\sqrt5

   În triunghiul \(TBC\), dreptunghic în \(B\), teorema lui Pitagora dă \(TC^2=20^2+10^2=500\), deci \(TC=10\sqrt5\) cm. În același triunghi, \(BN\) este înălțime pe ipotenuză, iar \(CN\) este proiecția catetei \(BC\) pe ipotenuză. Teorema catetei dă \(BC^2=CN\cdot CT\), adică \(100=CN\cdot 10\sqrt5\). Obținem \(CN=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5\) cm.

4. 4

   b) Lungimea lui MN

   MC=\frac{TC}{2}=5\sqrt5,\quad MN=MC-CN=3\sqrt5

   \(M\) este mijlocul lui \(TC\), pentru că \(AM\) este linie mijlocie în triunghiul \(TBC\). Deci \(MC=\frac{10\sqrt5}{2}=5\sqrt5\) cm. Punctul \(N\) se află pe segmentul \(MC\), așa că \(MN=MC-CN=5\sqrt5-2\sqrt5=3\sqrt5\) cm.

5. 5

   b) Perimetrul triunghiului MAN și comparația cu 22

   P_{MAN}=5+3\sqrt5+10=15+3\sqrt5<22

   Avem \(AM=5\) cm, \(MN=3\sqrt5\) cm și \(NA=10\) cm, deci \(P=15+3\sqrt5\) cm. Pentru \(P<22\) trebuie ca \(3\sqrt5<7\). Scriem \(3\sqrt5=\sqrt{45}\) și cum \(\sqrt{45}<\sqrt{49}=7\), obținem \(P<15+7=22\) cm.

Răspuns: a) \(\mathcal{A}_{MBC}=50\ \text{cm}^2\). b) \(P_{MAN}=15+3\sqrt5\) cm \(<22\) cm.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 9\) cm și \(AC = 12\) cm. Punctul \(M\) se află pe latura \(AB\), \(BM = 3\) cm. Paralela prin \(M\) la dreapta \(AC\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(P\), punctul \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\) și \(E\) este punctul de intersecție a dreptelor \(AG\) și \(BC\). (2p) a) Arată că lungimea segmentului \(BC\) este egală cu \(15\) cm. (3p) b) Calculează aria patrulaterului \(MGEP\).

Metoda: Pitagora, asemănare, aria trapezului

1. 1

   a) Teorema lui Pitagora

   BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza. Conform teoremei lui Pitagora, \(BC^2=AB^2+AC^2=81+144=225\), deci \(BC=15\) cm.

2. 2

   b) Paralelismul MG ∥ BE

   \frac{AG}{AE}=\frac23,\ \frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac23\Rightarrow MG\parallel BE

   \(G\) este centrul de greutate, iar \(AE\) este mediană (E este mijlocul lui \(BC\)). Atunci \(AG=\frac23 AE\). Cum \(AM=AB-BM=6\) cm, avem \(\frac{AM}{AB}=\frac23\). Rapoartele sunt egale, deci din reciproca teoremei lui Thales \(MG\parallel BE\).

3. 3

   b) Lungimea lui MG

   \triangle AMG\sim\triangle ABE\Rightarrow \frac{MG}{BE}=\frac23,\ BE=\frac{15}{2}\Rightarrow MG=5

   Din \(MG\parallel BE\) rezultă \(\triangle AMG\sim\triangle ABE\), deci \(\frac{MG}{BE}=\frac23\). \(E\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(BE=7,5\) cm și \(MG=\frac23\cdot 7,5=5\) cm.

4. 4

   b) Înălțimea MR și lungimea PE

   MP\parallel AC\Rightarrow \frac{BM}{BA}=\frac{BP}{BC}=\frac{MP}{AC}=\frac13\Rightarrow BP=5,\ PE=BE-BP=\frac52

   Din \(MP\parallel AC\) avem \(\frac{BM}{BA}=\frac13\), deci \(BP=\frac{15}{3}=5\) cm. Atunci \(PE=BE-BP=7,5-5=2,5\) cm. Fie \(MR\perp BP\), \(R\in BP\); aceasta este înălțimea trapezului. În triunghiul \(BMP\), asemenea cu \(BAC\) cu raport \(\frac13\), avem \(MP=4\) și \(BM=3\). Aria lui \(BMP\) se calculează în două feluri: \(\frac{MB\cdot MP}{2}=\frac{BP\cdot MR}{2}\), deci \(MR=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}\) cm.

5. 5

   b) Aria trapezului MGEP

   \mathcal{A}_{MGEP}=\frac{(MG+PE)\cdot MR}{2}=\frac{(5+\frac52)\cdot\frac{12}{5}}{2}=9\ \text{cm}^2

   \(MGEP\) este trapez cu bazele \(MG\) și \(PE\) (amândouă pe direcția lui \(BC\)) și înălțimea \(MR\). Aria este \(\frac{(5+2,5)\cdot 2,4}{2}=\frac{7,5\cdot2,4}{2}=9\) cm².

Răspuns: a) \(BC=15\) cm; b) \(\mathcal{A}_{MGEP}=9\ \text{cm}^2\).

În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\), cu \(AB = 20\) cm, iar punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(AB\), respectiv \(CD\). a) Arată că lungimea segmentului \(MN\) este egală cu \(10\sqrt{2}\) cm. b) Determină măsura unghiului dreptelor \(MN\) și \(BD\).

Metoda: Relații metrice și linie mijlocie

1. 1

   a) Aflăm CM și DM

   CM = DM = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}

   M este mijlocul lui AB. În triunghiul echilateral ABC, mediana CM este și înălțime, deci CM = \(\frac{l\sqrt{3}}{2}\) cu l = 20. La fel în triunghiul echilateral ABD, DM = \(10\sqrt{3}\) cm. Facem asta ca să avem un triunghi (CMD) în care apare segmentul MN.

2. 2

   a) Calculăm MN cu Pitagora

   MN^2 = CM^2 - CN^2 = 300 - 100 = 200 \Rightarrow MN = 10\sqrt{2}

   Triunghiul CMD este isoscel (CM = DM), iar N este mijlocul bazei CD, deci MN este mediană și înălțime, adică MN ⊥ CD. Triunghiul MNC este dreptunghic în N, cu CN = 10 (jumătate din CD = 20). Aplicăm teorema lui Pitagora: \(MN^2 = CM^2 - CN^2\). Cum \(CM^2 = (10\sqrt{3})^2 = 300\), obținem \(MN^2 = 200\), deci \(MN = 10\sqrt{2}\) cm.

3. 3

   b) Mutăm unghiul cu o linie mijlocie

   PN \parallel BD,\; PN = \frac{BD}{2} = 10

   Fie P mijlocul lui BC. În triunghiul DBC, PN unește mijloacele laturilor BC și CD, deci este linie mijlocie: PN ∥ BD și PN = BD : 2 = 10 cm. Unghiul dreptelor MN și BD este atunci egal cu unghiul dreptelor MN și PN, adică unghiul MNP. Astfel unghiul cerut ajunge într-un triunghi.

4. 4

   b) Triunghiul MPN și măsura unghiului

   MP^2 + PN^2 = 100 + 100 = 200 = MN^2 \Rightarrow \angle MPN = 90^\circ

   MP este linie mijlocie în triunghiul ABC (M mijlocul lui AB, P mijlocul lui BC), deci \(MP = \frac{AC}{2} = 10\) cm. Avem MP = PN = 10 și \(MN^2 = 200\), deci \(MP^2 + PN^2 = MN^2\). Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul MPN este dreptunghic în P, și este și isoscel (MP = PN). Unghiurile de la bază sunt egale și suma lor este 90°, deci \(\angle MNP = 45^\circ\). Prin urmare unghiul dreptelor MN și BD este 45°.

Răspuns: a) MN = 10√2 cm; b) unghiul dreptelor MN și BD măsoară 45°.