Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2026, model de subiect

Rezultatul calculului \(36:4-4\cdot 2\) este egal cu: a) 17; b) 10; c) 1; d) 0.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   36:4-4\cdot 2

   În expresie nu avem paranteze. Când nu sunt paranteze, se efectuează mai întâi împărțirea și înmulțirea (în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta), iar scăderea la sfârșit. Facem asta pentru că așa s-a stabilit în matematică, ca toată lumea să obțină același rezultat.

2. 2

   Calculăm împărțirea și înmulțirea

   36:4=9,\quad 4\cdot 2=8

   Calculăm separat cele două rezultate. Avem \(36:4=9\) pentru că \(4\cdot 9=36\), iar \(4\cdot 2=8\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   36:4-4\cdot 2=9-8=1

   Acum înlocuim rezultatele și scădem: \(9-8=1\). Deci rezultatul este 1, adică varianta c). Celelalte variante apar din greșeli: 17 se obține dacă aduni în loc să scazi (9+8), iar 0 sau 10 nu rezultă din nicio ordine corectă a operațiilor. De exemplu, dacă am scădea întâi \(36:4-4=5\) și apoi am înmulți cu 2, am obține 10 – dar asta încalcă ordinea operațiilor.

Răspuns: Varianta corectă este c) 1.

Cel mai mare număr natural divizibil cu \(5\) din intervalul \([3,20)\) este: a) \(20\); b) \(15\); c) \(5\); d) \(3\).

Metoda: Intervale și multipli ai lui 5

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [3, 20)

   [3,20)=\{x \mid 3\le x<20\}

   Paranteza pătrată de la 3 arată că numărul 3 face parte din interval. Paranteza rotundă de la 20 arată că numărul 20 NU face parte din interval. Deci numerele naturale din interval sunt 3, 4, 5, ..., 19.

2. 2

   Scriem multiplii lui 5

   M_5=\{0,5,10,15,20,\dots\}

   Numerele divizibile cu 5 sunt multiplii lui 5: se obțin înmulțind 5 cu 0, 1, 2, 3, 4, ... Ele se termină în 0 sau 5. Căutăm cei care sunt între 3 și 19.

3. 3

   Alegem cel mai mare și concluzia

   \max\{5,10,15\}=15

   Dintre 5, 10 și 15, cel mai mare este 15. Răspunsul corect este b). Varianta a) 20 nu e bună, pentru că 20 nu aparține intervalului (paranteza e rotundă). Variantele c) 5 și d) 3 nu sunt bune: 5 este divizibil cu 5, dar nu este cel mai mare, iar 3 nu se împarte la 5.

Răspuns: b) 15

Dacă \(\frac{a}{4}=\frac{5}{2}\), atunci rezultatul calculului \(2a+10\) este egal cu: a) 30; b) 20; c) 15; d) 10.

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aflăm valoarea lui a

   \frac{a}{4}=\frac{5}{2}\Rightarrow a\cdot 2=4\cdot 5\Rightarrow a=\frac{20}{2}=10

   Folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Aici înmulțim „în cruce”: \(a\cdot 2=4\cdot 5\). Astfel scăpăm de fracții și obținem o ecuație simplă. Apoi împărțim la 2 și găsim \(a=10\).

2. 2

   Calculăm 2a + 10

   2a+10=2\cdot 10+10=20+10=30

   Acum că știm \(a=10\), îl înlocuim în expresie. Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi adunarea. Rezultatul este 30, deci varianta corectă este a). Celelalte nu merg: 20 ar apărea dacă am uita să adunăm 10 și am calcula doar \(2a\); 10 este chiar valoarea lui a, nu a expresiei; 15 nu se obține din nicio greșeală firească de calcul.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{10}{4}=\frac{5}{2}

   Verificăm că \(a=10\) respectă proporția inițială: \(\frac{10}{4}\) se simplifică prin 2 și dă \(\frac{5}{2}\). Deci valoarea lui a este corectă și rezultatul 30 este sigur.

Răspuns: Varianta corectă este a) 30.

Dintre cei \(250\) de elevi participanți la un concurs, \(40\%\) sunt băieți. Numărul băieților care participă la concurs este egal cu: a) \(160\); b) \(150\); c) \(100\); d) \(90\).

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Transformăm procentul în fracție

   40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}

   Procentul \(40\%\) înseamnă 40 din 100. Îl scriem ca fracție \(\frac{40}{100}\) și îl simplificăm cu 20, ca să obținem numere mai mici și calcule mai ușoare: \(\frac{2}{5}\).

2. 2

   Calculăm fracția din numărul de elevi

   \frac{2}{5}\cdot 250 = 250 : 5 \cdot 2 = 50\cdot 2 = 100

   Pentru a afla \(\frac{2}{5}\) din 250, împărțim 250 la 5 ca să aflăm o cincime (50), apoi înmulțim cu 2 pentru a lua două cincimi. Astfel, numărul băieților este 100.

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   \text{Răspuns: } c)\ 100

   Numărul băieților este 100, deci varianta corectă este c). Celelalte variante nu merg: 160 ar fi \(64\%\) din 250, 150 ar fi \(60\%\), iar 90 ar fi \(36\%\). Verificare: dacă 100 sunt băieți, fetele sunt 150, iar \(\frac{100}{250}=\frac{40}{100}=40\%\).

Răspuns: c) 100

Patru elevi, Ioan, Mihai, Gabriela și Maria, au calculat media aritmetică a numerelor \(a=\sqrt{12}\) și \(b=10-2\sqrt{3}\). Rezultatele obținute sunt: Ioan: \(10\); Mihai: \(5+2\sqrt{3}\); Gabriela: \(5\); Maria: \(5-2\sqrt{3}\). Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ioan; b) Mihai; c) Gabriela; d) Maria.

Metoda: Media aritmetică și scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Simplificăm radicalul \(\sqrt{12}\)

   \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}

   Îl scriem pe \(12\) ca \(4\cdot 3\), unde \(4\) este pătrat perfect. Putem scoate \(\sqrt{4}=2\) de sub radical. Facem asta ca să avem același tip de radical (\(\sqrt{3}\)) în ambele numere și să le putem aduna ușor.

2. 2

   Calculăm suma \(a+b\)

   a+b=2\sqrt{3}+10-2\sqrt{3}=10

   Termenii \(2\sqrt{3}\) și \(-2\sqrt{3}\) sunt opuși, deci se reduc. Rămâne doar \(10\).

3. 3

   Împărțim la 2 și alegem răspunsul

   \frac{a+b}{2}=\frac{10}{2}=5

   Media aritmetică este suma împărțită la numărul de termeni, adică \(2\). Obținem \(5\), rezultat obținut de Gabriela, deci varianta c) este corectă. Celelalte nu merg: Ioan a uitat să împartă la 2 (a lăsat suma \(10\)), iar Mihai și Maria au păstrat termeni cu \(\sqrt{3}\), care în realitate s-au redus.

Răspuns: Varianta corectă este c) Gabriela, deoarece media aritmetică este 5.

Subiectul I, item 6. În diagrama cu bare sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2025. Din diagramă: Ianuarie – 1000 de mașini, Februarie – 2000, Martie – 500, Aprilie – 2500. Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe mașini au fost vândute în luna februarie.” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Citim valorile din diagramă

   Ianuarie=1000,\ Februarie=2000,\ Martie=500,\ Aprilie=2500

   Fiecare bară arată câte mașini s-au vândut într-o lună. Înălțimea barei se citește pe axa verticală, care are marcaje din 500 în 500. Citim fiecare bară: ianuarie ajunge la 1000, februarie la 2000, martie la 500, iar aprilie la 2500.

2. 2

   Comparăm numerele și găsim luna cu cele mai multe mașini

   500<1000<2000<2500

   Cea mai mare valoare corespunde celei mai înalte bare. Ordonăm numerele: 500 < 1000 < 2000 < 2500. Cel mai mare număr este 2500, deci cele mai multe mașini s-au vândut în aprilie, nu în februarie.

3. 3

   Decidem dacă afirmația este adevărată sau falsă

   2000<2500

   Afirmația spune că februarie are cele mai multe vânzări. Dar în februarie s-au vândut 2000 de mașini, iar în aprilie 2500, adică mai multe. Deci afirmația este falsă, iar răspunsul corect este b). Varianta a) nu este bună, pentru că februarie este doar a doua ca număr de vânzări.

Răspuns: b) falsă – cele mai multe mașini s-au vândut în aprilie (2500), nu în februarie (2000).

În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(CD = 3\text{ cm}\), \(BD = 3 \cdot CD\) și \(AD = 3 \cdot BD\). Lungimea segmentului \(AC\) este egală cu: a) 27 cm; b) 24 cm; c) 21 cm; d) 18 cm.

Metoda: Lungimi de segmente coliniare

1. 1

   Aflăm lungimea lui BD

   BD = 3 \cdot CD = 3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}

   Problema ne spune că \(BD = 3 \cdot CD\). Cum știm că \(CD = 3\) cm, înlocuim și calculăm. Începem de la segmentul cunoscut, pentru că de el depind celelalte.

2. 2

   Aflăm lungimea lui AD

   AD = 3 \cdot BD = 3 \cdot 9 = 27 \text{ cm}

   Acum știm \(BD = 9\) cm, iar \(AD = 3 \cdot BD\). Înmulțim și obținem lungimea întregului segment de la A la D.

3. 3

   Aflăm AC prin scădere

   AC = AD - CD = 27 - 3 = 24 \text{ cm}

   Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci C se află între A și D. Segmentul AD se compune din AC și CD: \(AD = AC + CD\). De aceea \(AC = AD - CD\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   AC = 24 \text{ cm} \Rightarrow \text{varianta b)}

   Am obținut \(AC = 24\) cm, deci răspunsul corect este b). Varianta a) 27 cm este lungimea lui AD, nu a lui AC (am uitat să scădem CD). Varianta c) 21 cm și d) 18 cm nu se obțin din niciun calcul corect.

Răspuns: Lungimea segmentului AC este 24 cm, varianta b).

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare \(AOC\) și \(COB\). Semidreapta \(OM\) este bisectoarea unghiului \(AOC\), iar măsura unghiului \(MOC\) este egală cu \(35^\circ\). Măsura unghiului \(BOC\) este egală cu: a) \(35^\circ\); b) \(70^\circ\); c) \(110^\circ\); d) \(145^\circ\). (Figură: punctele A, O, B sunt pe o dreaptă, O între A și B; semidreptele OM și OC sunt de aceeași parte a dreptei AB, în ordinea OA, OM, OC, OB.)

Metoda: Bisectoare și unghiuri suplementare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului AOC din bisectoare

   m(\angle AOC)=2\cdot m(\angle MOC)=2\cdot 35^\circ=70^\circ

   OM este bisectoarea unghiului \(AOC\), deci îl împarte în două unghiuri congruente: \(\angle AOM=\angle MOC=35^\circ\). Atunci tot unghiul \(AOC\) are dublul acestei măsuri.

2. 2

   Folosim unghiurile suplementare

   m(\angle BOC)=180^\circ-m(\angle AOC)=180^\circ-70^\circ=110^\circ

   Unghiurile \(AOC\) și \(COB\) sunt adiacente suplementare: au latura comună OC, iar celelalte laturi OA și OB formează o dreaptă. De aceea suma lor este \(180^\circ\), adică unghiul alungit.

3. 3

   Verificăm variantele

   110^\circ \Rightarrow \text{varianta c)}

   Varianta corectă este c) \(110^\circ\). Varianta a) \(35^\circ\) este doar măsura lui \(MOC\), nu a lui \(BOC\). Varianta b) \(70^\circ\) este măsura lui \(AOC\). Varianta d) \(145^\circ\) ar fi \(180^\circ-35^\circ\), adică s-ar fi uitat să se dubleze mai întâi.

Răspuns: Măsura unghiului \(BOC\) este \(110^\circ\), varianta c).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(C\), cu \(AB = 12\) cm și măsura unghiului \(B\) egală cu \(30^\circ\). Proiecția punctului \(C\) pe dreapta \(AB\) este punctul \(D\). Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu: a) 3 cm; b) \(2\sqrt{3}\) cm; c) \(3\sqrt{3}\) cm; d) 6 cm. (În figură: \(D\) se află pe ipotenuza \(AB\), iar \(CD\) este perpendiculară pe \(AB\).)

Metoda: Unghi de 30° și trigonometrie

1. 1

   Aflăm unghiul A și cateta AC

   \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ, \quad AC = \frac{AB}{2} = 6

   Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite însumează \(90^\circ\), deci \(\angle A = 60^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) (adică \(AC\), opusă lui \(B\)) este jumătate din ipotenuză, deci \(AC = 12 : 2 = 6\) cm.

2. 2

   Privim triunghiul ACD

   \angle ADC = 90^\circ, \quad \angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle ACD = 30^\circ

   Deoarece \(D\) este proiecția lui \(C\) pe \(AB\), avem \(CD \perp AB\), deci triunghiul \(ACD\) este dreptunghic în \(D\). Are unghiul \(A = 60^\circ\), deci celălalt unghi ascuțit este \(30^\circ\). Astfel \(AD\), opusă unghiului de \(30^\circ\), este jumătate din ipotenuza \(AC\).

3. 3

   Calculăm CD cu teorema lui Pitagora

   CD^2 = AC^2 - AD^2 = 6^2 - 3^2 = 27 \Rightarrow CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(ACD\) cunoaștem ipotenuza \(AC = 6\) și cateta \(AD = 3\). Din teorema lui Pitagora, \(CD^2 = 36 - 9 = 27\), deci \(CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm. Alternativ: \(CD = AC \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   CD = 3\sqrt{3}\ \text{cm} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Am obținut \(CD = 3\sqrt{3}\) cm, deci răspunsul corect este c). Varianta a) 3 cm este \(AD\), nu \(CD\). Varianta d) 6 cm este \(AC\). Varianta b) \(2\sqrt{3}\) cm nu rezultă din niciun calcul de mai sus, deoarece \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\), iar \(3\sqrt{3} \approx 5{,}2\).

Răspuns: Varianta c) \(3\sqrt{3}\) cm.

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu aria egală cu \(96\text{ cm}^2\). Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AD\). Aria triunghiului \(AEF\) este egală cu: a) \(12\text{ cm}^2\); b) \(24\text{ cm}^2\); c) \(48\text{ cm}^2\); d) \(72\text{ cm}^2\). Din figură: \(E\) este pe \(AB\), \(F\) pe \(AD\), iar diagonala \(BD\) este trasată.

Metoda: Linie mijlocie și raportul ariilor

1. 1

   Aria triunghiului ABD

   \mathcal{A}_{ABD}=\frac{\mathcal{A}_{ABCD}}{2}=\frac{96}{2}=48

   Diagonala \(BD\) împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, \(ABD\) și \(CDB\). Ele au aceeași arie, deci fiecare are jumătate din aria paralelogramului: \(96:2=48\text{ cm}^2\).

2. 2

   EF este linie mijlocie în triunghiul ABD

   EF\parallel BD,\quad EF=\frac{BD}{2}

   \(E\) este mijlocul lui \(AB\) și \(F\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(EF\) unește mijloacele a două laturi ale triunghiului \(ABD\). Este linie mijlocie: este paralelă cu \(BD\) și are lungimea \(BD/2\).

3. 3

   Triunghiurile AEF și ABD sunt asemenea

   \triangle AEF\sim\triangle ABD,\quad \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AD}=\frac{EF}{BD}=\frac12

   Din \(EF\parallel BD\) rezultă că triunghiurile \(AEF\) și \(ABD\) sunt asemenea, cu raportul de asemănare \(\frac12\). Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: \(\left(\frac12\right)^2=\frac14\).

4. 4

   Calculăm aria triunghiului AEF

   \mathcal{A}_{AEF}=\frac{1}{4}\cdot\mathcal{A}_{ABD}=\frac{48}{4}=12

   Aria lui \(AEF\) este a patra parte din \(48\): \(48:4=12\text{ cm}^2\). Este varianta a). Varianta b) \(24\) ar fi jumătate din \(48\) (am fi uitat să ridicăm la pătrat raportul), c) \(48\) este aria lui \(ABD\), iar d) \(72\) este mai mare decât \(48\), imposibil pentru o parte din el.

Răspuns: Aria triunghiului AEF este 12 cm², varianta a).

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\), iar \(AB\) și \(CD\) sunt diametre. Arcul \(AD\) are măsura egală cu \(52^\circ\). Măsura unghiului \(BDC\) este egală cu: a) \(26^\circ\); b) \(30^\circ\); c) \(52^\circ\); d) \(60^\circ\). (Din figură: \(A, B, C, D\) sunt pe cerc, \(AB\) și \(CD\) trec prin centrul \(O\) și se intersectează în \(O\).)

Metoda: Unghi la centru și unghi înscris

1. 1

   Unghiul la centru \(AOD\)

   \angle AOD = \widehat{AD} = 52^\circ

   Unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl cuprinde între laturile sale. Unghiul \(AOD\) are vârful în centrul \(O\) și cuprinde arcul \(AD\), deci are \(52^\circ\).

2. 2

   Unghiul \(BOD\)

   \angle BOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ

   \(AB\) este diametru, deci punctele \(A, O, B\) sunt coliniare, iar unghiurile \(AOD\) și \(BOD\) sunt adiacente suplementare. Suma lor este \(180^\circ\).

3. 3

   Triunghiul \(BOD\) este isoscel

   OB = OD \Rightarrow \angle OBD = \angle ODB

   \(OB\) și \(OD\) sunt raze ale aceluiași cerc, deci sunt egale. Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente, deci \(\angle OBD = \angle ODB\).

4. 4

   Calculăm unghiul \(BDC\)

   \angle ODB = \dfrac{180^\circ - 128^\circ}{2} = \dfrac{52^\circ}{2} = 26^\circ

   Suma unghiurilor triunghiului \(BOD\) este \(180^\circ\). Cele două unghiuri de la bază sunt egale, deci fiecare este jumătate din \(180^\circ-128^\circ=52^\circ\). Cum \(C\) este pe semidreapta \(DO\), \(\angle BDC = \angle ODB = 26^\circ\).

5. 5

   De ce celelalte variante nu merg

   Varianta c) \(52^\circ\) este măsura arcului \(AD\), nu a unghiului \(BDC\) (am fi confundat unghiul la centru cu cel înscris). Variantele b) și d) nu rezultă din niciun calcul. Corect este a) \(26^\circ\), adică jumătate din arc, exact cum e un unghi înscris.

Răspuns: Varianta corectă este a) \(26^\circ\).

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AA' = 2\sqrt{3}\) cm și \(AB = 4\) cm. Volumul prismei \(ABCA'B'C'\) este egal cu: a) \(4\sqrt{3}\ \text{cm}^3\); b) \(8\ \text{cm}^3\); c) \(8\sqrt{3}\ \text{cm}^3\); d) \(24\ \text{cm}^3\).

Metoda: Volumul prismei drepte

1. 1

   Formula volumului prismei drepte

   V = \mathcal{A}_{baza} \cdot h

   Volumul unei prisme drepte este egal cu aria bazei înmulțită cu înălțimea. Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază, deci înălțimea este chiar \(AA' = 2\sqrt{3}\) cm. Ne trebuie deci aria bazei \(ABC\).

2. 2

   Aria bazei (triunghi echilateral)

   \mathcal{A}_{ABC} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

   Baza este un triunghi echilateral cu latura \(l = 4\) cm, iar aria lui este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Înlocuim \(l = 4\): \(\frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm².

3. 3

   Calculul volumului

   V = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24

   Înmulțim aria bazei cu înălțimea: \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (4\cdot 2)\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24\) cm³. Am folosit faptul că \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3\).

4. 4

   Alegerea variantei corecte

   V = 24\ \text{cm}^3 \Rightarrow \text{d)}

   Volumul obținut este 24 cm³, deci varianta corectă este d). Celelalte provin din greșeli frecvente: \(4\sqrt{3}\) este doar aria bazei; \(8\) apare dacă uiți că \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\); \(8\sqrt{3}\) apare dacă înmulțești corect doar un radical.

Răspuns: Volumul prismei este \(24\ \text{cm}^3\), varianta d).

În prezent, vârsta lui Bogdan este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Peste un an vârsta lui Bogdan va fi de 5 ori mai mare decât vârsta lui Tudor. a) Verifică dacă Tudor poate avea în prezent 4 ani. Justifică răspunsul dat. (2p) b) Determină vârsta lui Bogdan în prezent. (3p)

Metoda: Verificare și ecuație

1. 1

   a) Vârsta lui Bogdan dacă Tudor ar avea 4 ani

   4\cdot 3+8=20

   Aflăm vârsta lui Bogdan din prima informație: este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Dacă Tudor ar avea 4 ani, triplul este \(4\cdot 3=12\), iar Bogdan ar avea \(12+8=20\) de ani.

2. 2

   a) Verificăm a doua condiție peste un an

   5\cdot 5=25\neq 21

   Peste un an Tudor ar avea \(4+1=5\) ani, iar Bogdan \(20+1=21\) de ani. Condiția cere ca Bogdan să aibă de 5 ori vârsta lui Tudor, adică \(5\cdot 5=25\) ani. Dar \(25\neq 21\), deci ipoteza nu se verifică: Tudor nu poate avea 4 ani în prezent.

3. 3

   b) Scriem relațiile cu necunoscute

   b=3a+8,\quad b+1=5(a+1)

   Notăm cu \(a\) vârsta lui Tudor și cu \(b\) vârsta lui Bogdan în prezent. Prima informație dă \(b=3a+8\). Peste un an vârstele sunt \(a+1\) și \(b+1\), iar a doua informație dă \(b+1=5(a+1)\).

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   3a+8+1=5a+5\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2

   Înlocuim \(b=3a+8\) în a doua egalitate: \(3a+9=5a+5\). Mutăm termenii: \(9-5=5a-3a\), deci \(4=2a\) și \(a=2\). Tudor are 2 ani.

5. 5

   b) Vârsta lui Bogdan și verificare

   b=3\cdot 2+8=14

   Bogdan are \(b=3\cdot 2+8=14\) ani. Verificăm: peste un an Bogdan are 15 ani, Tudor 3 ani, iar \(5\cdot 3=15\). Totul se potrivește.

Răspuns: a) Tudor nu poate avea 4 ani în prezent (peste un an ar fi 25 ≠ 21). b) Bogdan are 14 ani în prezent.

Se consideră expresia \(E(x)=\frac{3}{x^2+6x+9}\cdot\frac{x}{x-3}:\left(\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}\right)\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 3\). a) Arată că \(\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\). b) Arată că numărul \(N=\frac{1}{E(n)}+\frac{1}{E(n+1)}+\frac{1}{E(n+2)}\) este natural, pentru orice număr natural \(n\), \(n>3\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   a) Descompunem numitorul \(x^2-9\)

   x^2-9=(x-3)(x+3)

   Folosim formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) cu \(a=x\) și \(b=3\). Facem asta ca să vedem ce numitor comun au cele două fracții: \(x+3\) se regăsește în \((x-3)(x+3)\).

2. 2

   a) Aducem la numitor comun și adunăm

   \frac{1}{x+3}+\frac{3}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}

   Amplificăm prima fracție cu \(x-3\), ca să aibă același numitor \((x-3)(x+3)\). Apoi adunăm numărătorii: \(x-3+3=x\). Astfel am obținut exact egalitatea cerută, pentru \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\) (ca să nu împărțim la zero).

3. 3

   b) Simplificăm expresia E(x)

   E(x)=\frac{3}{(x+3)^2}\cdot\frac{x}{x-3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{x}=\frac{3}{x+3}

   Numitorul \(x^2+6x+9\) este \((x+3)^2\) (formula \((a+b)^2\)). Împărțirea la paranteză, care are valoarea \(\frac{x}{(x-3)(x+3)}\) din punctul a), devine înmulțire cu inversa ei: \(\frac{(x-3)(x+3)}{x}\). Acum simplificăm \(x\), \(x-3\) și un factor \(x+3\), și rămâne \(\frac{3}{x+3}\).

4. 4

   b) Calculăm N

   \frac{1}{E(n)}=\frac{n+3}{3},\ \frac{1}{E(n+1)}=\frac{n+4}{3},\ \frac{1}{E(n+2)}=\frac{n+5}{3}

   Inversul lui \(\frac{3}{x+3}\) este \(\frac{x+3}{3}\). Punem pe rând \(x=n\), \(x=n+1\), \(x=n+2\). Aceste valori sunt permise, deoarece \(n>3\). Adunăm: \(N=\frac{n+3+n+4+n+5}{3}=\frac{3n+12}{3}=n+4\).

5. 5

   Concluzie

   N=n+4\in\mathbb{N}

   Suma \(n+4\) a două numere naturale este număr natural, pentru orice \(n\) natural, \(n>3\). Deci N este număr natural.

Răspuns: a) \(\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}\); b) \(E(x)=\frac{3}{x+3}\), iar \(N=n+4\), număr natural.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). a) Arată că \(f(2)+f(-2)=8\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Arată că unghiurile \(BAM\) și \(MBA\) sunt congruente, știind că \(M(3,0)\).

Metoda: Funcția liniară și triunghiul isoscel

1. 1

   a) Calculăm f(2)

   f(2)=2\cdot 2+4=8

   Pentru a afla \(f(2)\), înlocuim pe \(x\) cu 2 în formula funcției \(f(x)=2x+4\). Obținem \(2\cdot 2+4=4+4=8\).

2. 2

   a) Calculăm f(−2) și suma

   f(-2)=2\cdot(-2)+4=0,\quad f(2)+f(-2)=8+0=8

   Înlocuim \(x=-2\): \(2\cdot(-2)+4=-4+4=0\). Apoi adunăm cele două valori: \(8+0=8\), exact cât trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(-2,0),\quad B(0,4)

   Graficul taie axa \(Ox\) acolo unde \(y=0\): \(2x+4=0\), deci \(x=-2\), adică \(A(-2,0)\). Graficul taie axa \(Oy\) acolo unde \(x=0\): \(f(0)=4\), deci \(B(0,4)\).

4. 4

   b) Calculăm BM cu teorema lui Pitagora

   BM^2=BO^2+OM^2=4^2+3^2=25\Rightarrow BM=5

   Triunghiul \(BOM\) este dreptunghic în \(O\), pentru că axele sunt perpendiculare. Avem \(BO=4\) și \(OM=3\). Din teorema lui Pitagora, \(BM^2=16+9=25\), deci \(BM=5\).

5. 5

   b) Calculăm AM și concluzionăm

   AM=3-(-2)=5=BM\Rightarrow \triangle AMB\text{ isoscel}\Rightarrow \angle BAM\equiv\angle MBA

   Punctele \(A\) și \(M\) sunt pe axa \(Ox\), deci \(AM=3-(-2)=5\). Cum \(AM=BM=5\), triunghiul \(AMB\) este isoscel cu baza \(AB\). Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente, adică \(\angle BAM\equiv\angle MBA\).

Răspuns: a) \(f(2)+f(-2)=8+0=8\). b) \(A(-2,0)\), \(B(0,4)\), \(BM=AM=5\), deci triunghiul \(AMB\) este isoscel și \(\angle BAM\equiv\angle MBA\).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât \(AB\) este diametru. Dreptele \(CD\) și \(AB\) sunt paralele, semidreapta \(AC\) este bisectoarea unghiului \(BAD\) și \(CD = 16\text{ cm}\). (2p) a) Arată că \(AD = 16\text{ cm}\). (3p) b) Calculează aria patrulaterului \(ABCD\). (Figura: patrulaterul ABCD este înscris în cerc, cu D și C sus, A și B pe diametru, iar O este mijlocul lui AB.)

Metoda: Unghiuri, arce și triunghiuri echilaterale

1. 1

   a) Bisectoarea și unghiurile egale

   \angle DAC = \angle CAB

   Semidreapta \(AC\) este bisectoarea unghiului \(BAD\), deci îl împarte în două unghiuri egale: \(\angle DAC = \angle CAB\). Aceasta este prima informație pe care o folosim.

2. 2

   a) Paralelism și triunghi isoscel

   \angle CAB = \angle DCA \Rightarrow \angle DAC = \angle DCA \Rightarrow AD = DC = 16\text{ cm}

   Cum \(CD \parallel AB\) și \(AC\) este secantă, unghiurile alterne interne \(\angle CAB\) și \(\angle DCA\) sunt congruente. Atunci \(\angle DAC = \angle DCA\), deci triunghiul \(ADC\) este isoscel cu baza \(AC\). Laturile opuse unghiurilor egale sunt egale: \(AD = DC = 16\text{ cm}\).

3. 3

   b) Arcele egale și unghiurile la centru

   CD = AD \Rightarrow \widehat{CD} = \widehat{AD} \Rightarrow \angle AOD = \angle DOC; \quad AD \parallel BC \text{ nu, ci } CD \parallel AB \Rightarrow \widehat{AD} = \widehat{BC} \Rightarrow \angle AOD = \angle BOC

   Coardele egale \(CD\) și \(AD\) determină arce egale, deci unghiurile la centru \(\angle AOD\) și \(\angle DOC\) sunt egale. Coardele paralele \(CD\) și \(AB\) cuprind între ele arce congruente \(\widehat{AD}\) și \(\widehat{BC}\), deci \(\angle AOD = \angle BOC\).

4. 4

   b) Triunghiuri echilaterale

   \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOD = \angle DOC = \angle BOC = 60^\circ

   \(AB\) este diametru, deci \(\angle AOB = 180^\circ\). Cele trei unghiuri egale au suma \(180^\circ\), deci fiecare are \(60^\circ\). Triunghiurile \(AOD\), \(DOC\), \(BOC\) sunt isoscele (laturile \(OA, OD, OC, OB\) sunt raze) cu unghi de \(60^\circ\), deci sunt echilaterale și congruente, cu latura \(16\text{ cm}\).

5. 5

   b) Aria patrulaterului

   \mathcal{A}_{ABCD} = 3\cdot \mathcal{A}_{AOD} = 3\cdot \frac{16^2\sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3}\text{ cm}^2

   Patrulaterul este format din trei triunghiuri echilaterale congruente cu latura \(16\text{ cm}\). Aria unui triunghi echilateral este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{256\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}\). Înmulțim cu 3 și obținem \(192\sqrt{3}\text{ cm}^2\).

Răspuns: a) \(AD = 16\text{ cm}\); b) \(\mathcal{A}_{ABCD} = 192\sqrt{3}\text{ cm}^2\)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\) cu \(AB = 15\) cm. Punctul \(M\) aparține segmentului \(AB\), astfel încât \(AM = AD = \frac{2}{3}AB\). a) Arată că perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este egal cu 50 cm. b) Știind că distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AB\) este egală cu 8 cm și că dreapta \(DM\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(N\), calculează aria triunghiului \(NCD\). (Din figură: \(M\) se află pe \(AB\), iar \(N\) este pe prelungirea lui \(BC\), dincolo de \(B\).)

Metoda: Perimetru și triunghiuri asemenea

1. 1

   Aflăm lungimea laturii AD (a)

   AD = AM = \frac{2}{3}\cdot 15 = 10 \text{ cm}

   Problema ne spune că \(AM = AD = \frac{2}{3}AB\). Cum \(AB = 15\) cm, calculăm două treimi din 15: împărțim 15 la 3 și înmulțim cu 2. Astfel aflăm latura \(AD\), de care avem nevoie pentru perimetru.

2. 2

   Calculăm perimetrul paralelogramului (a)

   P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2\cdot(15+10) = 2\cdot 25 = 50 \text{ cm}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci \(CD = AB\) și \(BC = AD\). Perimetrul este suma tuturor laturilor, adică \(2\cdot(AB+AD)\). Obținem 50 cm, exact cât trebuia arătat.

3. 3

   Aria triunghiului ADM (b)

   \mathcal{A}_{\triangle ADM} = \frac{AM\cdot d(D,AM)}{2} = \frac{10\cdot 8}{2} = 40 \text{ cm}^2

   Baza triunghiului \(ADM\) este \(AM = 10\) cm, iar înălțimea este distanța de la \(D\) la dreapta \(AB\), adică 8 cm. Aria triunghiului este baza ori înălțimea, împărțit la 2. Această arie ne va ajuta la pasul următor.

4. 4

   Arătăm că triunghiurile ADM și CND sunt asemenea (b)

   \angle ADM \equiv \angle DNC,\ \angle DAM \equiv \angle DCN \Rightarrow \triangle ADM \sim \triangle CND

   Dreptele \(AD\) și \(BC\) sunt paralele, iar \(DN\) este secantă, deci unghiurile \(ADM\) și \(DNC\) sunt congruente (alterne interne). În paralelogram unghiurile opuse \(A\) și \(C\) sunt congruente, deci \(\angle DAM \equiv \angle DCN\). Două unghiuri congruente ajung pentru asemănarea triunghiurilor (criteriul U.U.).

5. 5

   Aria triunghiului NCD prin raportul ariilor (b)

   \frac{\mathcal{A}_{ADM}}{\mathcal{A}_{NCD}} = \left(\frac{AM}{CD}\right)^2 = \left(\frac{10}{15}\right)^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow \mathcal{A}_{NCD} = \frac{9}{4}\cdot 40 = 90 \text{ cm}^2

   Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare. Laturile corespunzătoare sunt \(AM = 10\) și \(CD = AB = 15\), deci raportul este \(\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\), iar raportul ariilor este \(\frac{4}{9}\). Din \(\mathcal{A}_{ADM}=40\) rezultă \(\mathcal{A}_{NCD} = 40\cdot\frac{9}{4} = 90\) cm².

Răspuns: a) Perimetrul paralelogramului este 50 cm. b) Aria triunghiului NCD este 90 cm².

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 8\) cm. Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AD\), \(DC\), respectiv \(DD'\). a) Arată că aria triunghiului \(MNP\) este egală cu \(8\sqrt{3}\) cm\(^2\). b) Arată că distanța de la punctul \(D'\) la planul \((MNP)\) este egală cu \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.

Metoda: Linie mijlocie și piramidă regulată

1. 1

   a) Lungimea laturii MN

   MN=\frac{AC}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}

   În triunghiul \(DAC\), punctele M și N sunt mijloacele laturilor \(AD\) și \(DC\), deci MN este linie mijlocie și este jumătate din \(AC\). \(AC\) este diagonala pătratului ABCD cu latura 8, deci \(AC=8\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   a) Triunghiul MNP este echilateral

   NP=MP=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}

   \(DM=DN=DP=4\) cm, fiind jumătăți de muchii de 8 cm, iar muchia \(DD'\) este perpendiculară pe baza ABCD. Triunghiurile DNP și DMP sunt dreptunghice în D, deci \(NP=MP=4\sqrt{2}\) cm (Pitagora). Astfel \(MN=NP=MP=4\sqrt{2}\) și triunghiul MNP este echilateral.

3. 3

   a) Aria triunghiului echilateral MNP

   \mathcal{A}_{MNP}=\frac{(4\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Aria unui triunghi echilateral cu latura \(l\) este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Cu \(l=4\sqrt{2}\) obținem \(l^2=32\), deci aria este \(8\sqrt{3}\) cm\(^2\).

4. 4

   b) Piramida DMNP și distanța de la D la plan

   d(D',(MNP))=d(D,(MNP))=DT

   Dreapta \(DD'\) intersectează planul (MNP) în P, care este mijlocul lui \(DD'\), deci D și D' sunt la aceeași distanță de plan. Cum \(DM=DN=DP\) și \(DD'\) e perpendiculară pe baza ABCD, DMNP este piramidă regulată cu baza triunghiul echilateral MNP. Înălțimea ei este \(DT\), unde T este centrul cercului circumscris triunghiului MNP.

5. 5

   b) Calculul lui DT

   DQ=\frac{BD}{4}=2\sqrt{2},\ PQ=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{6},\ DT=\frac{DP\cdot DQ}{PQ}=\frac{4\cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}

   Fie Q mijlocul lui MN; atunci \(PQ\perp MN\) și \(DQ=\frac{BD}{4}=2\sqrt{2}\) cm (BD are \(8\sqrt{2}\)). În triunghiul dreptunghic DPQ (drept în D): \(PQ=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}\). DT este înălțimea din D în acest triunghi, deci \(DT=\frac{DP\cdot DQ}{PQ}=\frac{4\cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm. Așadar distanța de la D' la planul (MNP) este \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.

Răspuns: a) Aria triunghiului MNP este \(8\sqrt{3}\) cm\(^2\). b) Distanța de la D' la planul (MNP) este \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.