Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2026, simulare

Rezultatul calculului \(12 - 8 : 4\) este egal cu: a) 16; b) 10; c) 5; d) 1.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem operația care se face prima

   12 - 8 : 4 = 12 - (8 : 4)

   În ordinea efectuării operațiilor, fără paranteze, întâi se fac înmulțirile și împărțirile, iar abia apoi adunările și scăderile. De aceea împărțirea \(8 : 4\) se face înaintea scăderii, chiar dacă scăderea apare prima în scriere.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   8 : 4 = 2

   Calculăm \(8 : 4\). Deoarece \(4 \cdot 2 = 8\), câtul este 2. Expresia devine \(12 - 2\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   12 - 2 = 10

   După ce am înlocuit împărțirea cu rezultatul ei, rămâne scăderea \(12 - 2\), care dă 10. Este varianta b).

4. 4

   Verificăm de ce celelalte variante nu merg

   (12 - 8) : 4 = 1

   Varianta d) 1 apare dacă greșim ordinea și facem întâi scăderea: \(12 - 8 = 4\), apoi \(4 : 4 = 1\). Dar fără paranteze împărțirea se face prima, deci 1 nu este corect. Variantele 16 și 5 nu ies din nicio ordine corectă a operațiilor.

Răspuns: Rezultatul este 10, deci varianta corectă este b).

Din cei 26 de elevi ai unei clase, \(50\%\) sunt băieți. Numărul băieților din acea clasă este egal cu: a) 5; b) 12; c) 13; d) 20.

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Transformăm procentul într-o fracție

   50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

   Procentul înseamnă „la sută”. Deci \(50\%\) înseamnă \(\frac{50}{100}\). Simplificăm fracția prin 50 și obținem \(\frac{1}{2}\), adică o jumătate. Facem asta pentru că fracțiile dintr-un număr știm să le calculăm.

2. 2

   Calculăm jumătate din 26

   \frac{1}{2}\cdot 26 = 26 : 2 = 13

   Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu numărul. A lua jumătate dintr-un număr înseamnă a-l împărți la 2. Deci numărul băieților este 13.

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   13 \text{ băieți} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Numărul 13 este la varianta c). Celelalte nu merg: 5 este mult prea puțin, 12 ar fi aproape jumătate, dar nu exact (12 și 14 ar fi 26 doar dacă numărul băieților nu ar fi egal cu cel al fetelor), iar 20 este mai mult decât jumătate. Verificare: dacă sunt 13 băieți, rămân 26 − 13 = 13 fete, deci băieții sunt exact 50%.

Răspuns: Numărul băieților este 13, deci varianta corectă este c).

Cel mai mare număr natural din intervalul \(\left(\frac{2}{3}, \frac{9}{4}\right]\) este egal cu: a) 0; b) 1; c) 2; d) 9.

Metoda: Intervale și comparare de fracții

1. 1

   Ce înseamnă intervalul

   \left(\frac{2}{3}, \frac{9}{4}\right]

   Intervalul \(\left(\frac{2}{3}, \frac{9}{4}\right]\) conține numerele mai mari decât \(\frac{2}{3}\) (capătul din stânga nu este inclus, fiindcă e paranteză rotundă) și mai mici sau egale cu \(\frac{9}{4}\) (capătul din dreapta este inclus, fiindcă e paranteză dreaptă).

2. 2

   Transformăm capetele în numere mai ușor de comparat

   \frac{2}{3}<1, \qquad \frac{9}{4}=2\frac{1}{4}

   Fracția \(\frac{2}{3}\) este subunitară, deci este mai mică decât 1. Scoatem întregii din \(\frac{9}{4}\): \(9 = 2\cdot 4 + 1\), deci \(\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\), adică un număr cuprins între 2 și 3. Așadar intervalul merge de puțin sub 1 până la puțin peste 2.

3. 3

   Găsim numerele naturale din interval

   \left(\frac{2}{3}, \frac{9}{4}\right]\cap\mathbb{N}=\{1,2\}

   Numărul 0 este mai mic decât \(\frac{2}{3}\), deci nu e în interval. Numărul 1 este mai mare decât \(\frac{2}{3}\) și mai mic decât \(\frac{9}{4}\), deci este în interval. Numărul 2 este \(2<2\frac{1}{4}\), deci este în interval. Numărul 3 este mai mare decât \(2\frac{1}{4}\), deci nu este în interval. Numerele naturale din interval sunt 1 și 2.

4. 4

   Alegem cel mai mare și verificăm variantele

   \max = 2

   Cel mai mare dintre 1 și 2 este 2, deci răspunsul corect este c). Varianta a) 0 nu merge, fiindcă 0 nu e în interval și nici nu e cel mai mare. Varianta b) 1 este în interval, dar există un număr mai mare, 2. Varianta d) 9 nu merge: am confundat numărătorul fracției \(\frac{9}{4}\) cu valoarea ei, dar \(\frac{9}{4}\) este doar 2,25.

Răspuns: c) 2

Dacă \(2x = \frac{3}{2}\), atunci \(4x\) este egal cu: a) \(\frac{3}{4}\); b) \(\frac{8}{3}\); c) \(3\); d) \(6\).

Metoda: Ecuații: transformări echivalente

1. 1

   Observăm legătura dintre 2x și 4x

   4x = 2 \cdot 2x

   Numărul \(4x\) înseamnă de patru ori x, iar \(2\cdot 2x\) înseamnă tot de patru ori x. Deci \(4x\) este de două ori mai mare decât \(2x\). Așa putem folosi direct valoarea cunoscută a lui \(2x\), fără să calculăm x.

2. 2

   Înmulțim egalitatea cu 2

   4x = 2\cdot 2x = 2\cdot \frac{3}{2}

   Dacă două numere sunt egale, rămân egale și după ce le înmulțim pe amândouă cu același număr. Cum \(2x = \frac{3}{2}\), înlocuim \(2x\) cu \(\frac{3}{2}\) și obținem \(4x = 2\cdot\frac{3}{2}\).

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   4x = 3

   Rezultatul este 3, deci varianta corectă este c). Verificăm: din \(2x = \frac{3}{2}\) obținem \(x = \frac{3}{4}\), iar \(4\cdot\frac{3}{4} = 3\). Celelalte variante nu merg: \(\frac{3}{4}\) este chiar valoarea lui x, nu a lui \(4x\); \(\frac{8}{3}\) și 6 nu se obțin nicicum din calcul.

Răspuns: Varianta c): \(4x = 3\).

Patru elevi, Alin, Mihai, Ioana și Maria, au calculat produsul numerelor \(a = 3 + 2\sqrt{2}\) și \(b = 3 - 2\sqrt{2}\). Rezultatele obținute sunt: Alin – 17, Mihai – 6, Ioana – 5, Maria – 1. Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Alin; b) Mihai; c) Ioana; d) Maria.

Metoda: Formula (a−b)(a+b)=a²−b²

1. 1

   Scriem produsul și recunoaștem formula

   a\cdot b=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})

   Cele două numere au aceiași termeni, \(3\) și \(2\sqrt{2}\), dar unul are plus, iar celălalt minus. Asta e exact forma \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\), cu \(x=3\) și \(y=2\sqrt{2}\). Formula ne scutește de înmulțirea fiecărui termen cu fiecare.

2. 2

   Aplicăm formula

   a\cdot b=3^2-(2\sqrt{2})^2

   Conform formulei, scădem din pătratul lui \(3\) pătratul lui \(2\sqrt{2}\). Pătratul unui produs este produsul pătratelor: \((2\sqrt{2})^2=2^2\cdot(\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8\).

3. 3

   Calculăm rezultatul

   a\cdot b=9-8=1

   Rămâne doar o scădere simplă. Produsul celor două numere este \(1\).

4. 4

   Alegem elevul corect

   a\cdot b=1

   În tabel, rezultatul \(1\) apare la Maria, deci ea a calculat corect. Ceilalți au greșit: Alin a obținut \(17\), probabil adunând \(9+8\) în loc să scadă; Mihai \(6\) și Ioana \(5\) nu se obțin prin nicio calculare corectă a produsului.

Răspuns: Răspuns corect: d) Maria, pentru că \(a\cdot b=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1\).

Două pixuri și un caiet costă 20 de lei. Enunțul: „Patru pixuri și două caiete, de același tip, costă 40 de lei.” este: a) adevărat b) fals

Metoda: Amplificarea cu 2 a unei relații

1. 1

   Ce ni se dă și ce trebuie verificat

   2p + c = 20

   Notăm cu \(p\) prețul unui pix și cu \(c\) prețul unui caiet. Știm că 2 pixuri și un caiet costă 20 de lei. Enunțul de verificat spune că 4 pixuri și 2 caiete costă 40 de lei, adică \(4p + 2c = 40\). Nu trebuie să aflăm prețul fiecărui obiect, ci doar să vedem dacă a doua afirmație rezultă din prima.

2. 2

   Comparăm cele două cumpărături

   4 = 2\cdot 2,\quad 2 = 2\cdot 1

   Numărul pixurilor din a doua cumpărătură, 4, este dublul lui 2. Numărul caietelor, 2, este dublul lui 1. Deci a doua cumpărătură este exact de două ori prima: fiecare obiect apare de două ori mai multe ori.

3. 3

   Calculăm costul și concluzionăm

   4p + 2c = 2\cdot(2p + c) = 2\cdot 20 = 40

   Cum a doua cumpărătură este de 2 ori prima, și prețul ei este de 2 ori mai mare: \(2\cdot 20 = 40\) de lei. Deci enunțul „patru pixuri și două caiete costă 40 de lei” este adevărat, adică varianta a). Varianta b) nu este bună, pentru că rezultatul obținut chiar este 40 de lei. Nu a fost nevoie să aflăm prețul unui pix sau al unui caiet.

Răspuns: Enunțul este adevărat: varianta a).

În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât lungimea segmentului \(BC\) este jumătate din lungimea segmentului \(AB\) și lungimea segmentului \(CD\) este jumătate din lungimea segmentului \(BC\). Dacă \(BC = 4\) cm, atunci lungimea segmentului \(AD\) este egală cu: a) 20 cm; b) 14 cm; c) 12 cm; d) 7 cm.

Metoda: Lungimi de segmente coliniare

1. 1

   Aflăm lungimea lui AB

   BC=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot BC=2\cdot 4=8

   Ni se spune că \(BC\) este jumătate din \(AB\). Deci \(AB\) este dublul lui \(BC\). Cum \(BC=4\) cm, obținem \(AB=2\cdot 4=8\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui CD

   CD=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2

   Ni se spune că \(CD\) este jumătate din \(BC\). Deci \(CD=4:2=2\) cm.

3. 3

   Calculăm AD

   AD=AB+BC+CD=8+4+2=14

   Punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D, deci \(B\) și \(C\) se află între \(A\) și \(D\). Atunci \(AD\) este suma celor trei segmente: \(8+4+2=14\) cm. Varianta corectă este b). Celelalte nu merg: 20 ar rezulta dacă am aduna greșit, 12 dacă am uita pe CD, iar 7 este mai mic decât AB + BC.

Răspuns: Lungimea segmentului AD este 14 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare \(AOC\) și \(COB\) (punctele \(A\), \(O\), \(B\) sunt coliniare). Semidreapta \(OM\) este bisectoarea unghiului \(AOC\), iar măsura unghiului \(MOB\) este egală cu \(145^\circ\). Măsura unghiului \(BOC\) este egală cu: a) \(35^\circ\); b) \(70^\circ\); c) \(105^\circ\); d) \(110^\circ\).

Metoda: Unghiuri suplementare și bisectoare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului AOM

   \angle AOM = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ

   Punctele \(A\), \(O\), \(B\) sunt coliniare, deci \(\angle AOB = 180^\circ\) (unghi alungit). Semidreapta \(OM\) se află între \(OA\) și \(OB\), deci \(\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ\). Știm că \(\angle MOB = 145^\circ\), deci \(\angle AOM = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ\).

2. 2

   Folosim bisectoarea: aflăm AOC

   \angle AOC = 2\cdot\angle AOM = 2\cdot 35^\circ = 70^\circ

   \(OM\) este bisectoarea unghiului \(AOC\), deci îl împarte în două unghiuri congruente: \(\angle AOM = \angle MOC\). Prin urmare, \(\angle AOC\) este dublul lui \(\angle AOM\), adică \(2\cdot 35^\circ = 70^\circ\).

3. 3

   Aflăm BOC din suplementaritate

   \angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

   Unghiurile \(AOC\) și \(COB\) sunt adiacente suplementare, deci suma lor este \(180^\circ\). Atunci \(\angle BOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\). Este varianta d).

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   \angle MOB = \angle MOC + \angle COB = 35^\circ + 110^\circ = 145^\circ

   Verificăm: \(\angle MOC = 35^\circ\) (bisectoare), iar \(\angle COB = 110^\circ\), deci \(\angle MOB = 35^\circ + 110^\circ = 145^\circ\), cum scrie în enunț. Deci răspunsul corect este d). Variantele a) \(35^\circ\) este măsura lui \(AOM\), b) \(70^\circ\) este măsura lui \(AOC\), iar c) \(105^\circ\) nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Măsura unghiului \(BOC\) este \(110^\circ\), deci varianta corectă este d).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB=AC\) și măsura unghiului \(BAC\) egală cu \(36^\circ\). Punctul \(M\) aparține laturii \(AC\), astfel încât \(AM=BM\). Măsura unghiului \(MBC\) este egală cu: a) \(18^\circ\); b) \(36^\circ\); c) \(54^\circ\); d) \(72^\circ\).

Metoda: Suma unghiurilor în triunghi

1. 1

   Unghiurile de la baza triunghiului ABC

   \angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu \(AB=AC\), deci unghiurile de la bază, \(B\) și \(C\), sunt congruente. Suma lor este \(180^\circ-36^\circ=144^\circ\), deci fiecare are \(72^\circ\).

2. 2

   Unghiul ABM din triunghiul isoscel AMB

   \angle ABM=\angle BAM=36^\circ

   Din \(AM=BM\) rezultă că triunghiul \(AMB\) este isoscel cu baza \(AB\). Unghiurile de la bază sunt congruente: \(\angle ABM=\angle BAM=36^\circ\).

3. 3

   Calculul unghiului MBC

   \angle MBC=\angle ABC-\angle ABM=72^\circ-36^\circ=36^\circ

   Punctul \(M\) este pe \(AC\), deci semidreapta \(BM\) este în interiorul unghiului \(ABC\). De aceea \(\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC\), iar \(\angle MBC=72^\circ-36^\circ=36^\circ\). Varianta corectă este b). Celelalte nu merg: \(18^\circ\) ar fi jumătate din rezultat, \(54^\circ\) și \(72^\circ\) sunt mai mari decât diferența corectă.

Răspuns: Varianta b) \(36^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\), cu \(AB = 4\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(BC\). Dreptele \(AM\) și \(DC\) se intersectează în punctul \(P\). Aria triunghiului \(ABP\) este egală cu: a) \(3\ \text{cm}^2\); b) \(4\ \text{cm}^2\); c) \(8\ \text{cm}^2\); d) \(16\ \text{cm}^2\). (Figură: pătratul \(ABCD\) cu \(D\) și \(C\) sus, \(A\) și \(B\) jos; \(P\) se află pe prelungirea laturii \(DC\), dincolo de \(C\).)

Metoda: Triunghiuri congruente și aria triunghiului

1. 1

   Aflăm lungimea lui BM

   BM = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2

   Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(BC\), deci o împarte în două segmente egale. Latura pătratului are 4 cm, deci \(BM = MC = 2\) cm. Vom avea nevoie de asta ca să comparăm două triunghiuri.

2. 2

   Arătăm că triunghiurile ABM și PCM sunt congruente

   \triangle ABM \equiv \triangle PCM

   Avem \(BM = CM\) (M este mijlocul). Unghiurile \(\angle ABM = \angle PCM = 90^\circ\), pentru că \(ABCD\) este pătrat și \(P\) este pe dreapta \(DC\). Unghiurile \(\angle AMB\) și \(\angle PMC\) sunt opuse la vârf, deci congruente. Astfel, triunghiurile sunt congruente (cazul cateta–unghi, CU). Rezultă \(CP = AB = 4\) cm.

3. 3

   Aflăm baza și înălțimea triunghiului ABP

   AB = 4,\quad h = BC = 4

   Luăm ca bază latura \(AB = 4\) cm. Dreptele \(AB\) și \(DC\) sunt paralele, deci distanța de la \(P\) la dreapta \(AB\) este egală cu distanța dintre cele două drepte, adică latura pătratului: 4 cm. Altfel spus, \(PB\) nu e înălțimea aici; înălțimea este \(BC\), perpendiculară pe \(AB\), iar \(P\) este la aceeași distanță față de \(AB\) ca \(C\).

4. 4

   Calculăm aria și alegem varianta

   \mathcal{A}_{ABP} = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8\ \text{cm}^2

   Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea, totul împărțit la 2. Obținem \(4\cdot 4 : 2 = 8\) cm². Varianta corectă este c). Verificare: aria pătratului este 16, iar triunghiul \(ABP\) are aria egală cu jumătate din ea; 16 (varianta d) ar fi aria întregului pătrat, iar 4 și 3 sunt prea mici.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABP\) este \(8\ \text{cm}^2\), deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și diametru \(AB\). Punctele \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele și măsura unghiului \(BOC\) este egală cu \(60^\circ\). Măsura unghiului \(BAD\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\). (În figură, \(AB\) este diametru, \(C\) și \(D\) sunt pe cerc deasupra lui \(AB\), iar \(CD \parallel AB\).)

Metoda: Unghi la centru și arce în cerc

1. 1

   Arcul BC din unghiul la centru

   \widehat{BC}=\angle BOC=60^\circ

   Unghiul \(BOC\) este unghi la centru, deci măsura lui este egală cu măsura arcului \(BC\) pe care îl cuprinde. Așadar arcul \(BC\) are \(60^\circ\).

2. 2

   Arcele dintre coardele paralele

   AB\parallel CD \Rightarrow \widehat{AD}=\widehat{BC}=60^\circ

   Coardele (aici \(AB\) și \(CD\)) sunt paralele, iar arcele cuprinse între ele, \(AD\) și \(BC\), sunt congruente. Deci arcul \(AD\) are și el \(60^\circ\).

3. 3

   Unghiul înscris BAD

   \angle BAD=\frac{\widehat{BD}}{2}

   Unghiul \(BAD\) este înscris în cerc și cuprinde arcul \(BD\) (cel care nu conține \(A\)). Semicercul \(AB\) are \(180^\circ\), iar pe el se află arcele \(AD\), \(DC\), \(CB\). Arcul \(AD\) este \(60^\circ\), deci arcul \(DB\) (prin \(C\)) are \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Unghiul înscris este jumătate din arcul cuprins: \(120^\circ:2=60^\circ\).

4. 4

   Alegerea variantei corecte

   \angle BAD=60^\circ

   Am obținut \(60^\circ\), deci varianta corectă este b). Varianta a) \(30^\circ\) ar apărea dacă am împărți la 2 arcul de \(60^\circ\), adică dacă am confunda arcul cuprins. Varianta c) \(90^\circ\) ar fi pentru un unghi înscris într-un semicerc. Varianta d) \(120^\circ\) este arcul \(DB\), nu unghiul înscris.

Răspuns: b) \(60^\circ\)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), cu \(AA'=3\) cm și \(AB=4\) cm. Lungimea segmentului \(BC'\) este egală cu: a) 3 cm; b) 4 cm; c) 5 cm; d) 7 cm. (În figură: \(BC'\) este diagonala feței laterale \(BCC'B'\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle BCC' \text{ dreptunghic în } C

   Prisma este dreaptă, deci muchia laterală \(CC'\) este perpendiculară pe planul bazei. Astfel \(CC' \perp BC\), iar triunghiul \(BCC'\) are unghi drept în \(C\). Ipotenuza este \(BC'\), iar catetele sunt \(BC\) și \(CC'\).

2. 2

   Aflăm lungimile catetelor

   BC = AB = 4 \text{ cm},\quad CC' = AA' = 3 \text{ cm}

   Baza \(ABC\) este triunghi echilateral, deci toate laturile sunt egale: \(BC = AB = 4\) cm. Muchiile laterale ale prismei drepte sunt egale între ele: \(CC' = AA' = 3\) cm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   BC'^2 = BC^2 + CC'^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

   În triunghiul dreptunghic \(BCC'\), pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Calculăm \(BC'^2\).

4. 4

   Calculăm \(BC'\) și alegem răspunsul

   BC' = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

   Din \(BC'^2 = 25\) obținem \(BC' = 5\) cm, deoarece \(5^2=25\). Deci varianta corectă este c). Varianta a) 3 cm și b) 4 cm sunt lungimile catetelor, iar ipotenuza e mai lungă decât orice catetă. Varianta d) 7 cm se obține greșit adunând \(4+3\); ipotenuza este mai mică decât suma catetelor.

Răspuns: Lungimea segmentului \(BC'\) este 5 cm, deci varianta corectă este c).

Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi. a) Verifică dacă în această clasă pot fi 25 de elevi. Justifică răspunsul dat. b) Dacă elevii acestei clase se așază câte 4 în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar 2 elevi, iar 5 bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.

Metoda: Ecuație din problemă de așezare

1. 1

   a) Scriem numărul elevilor din prima situație

   e=2(b+1)

   Dacă mai aducem o bancă, avem \(b+1\) bănci și în fiecare stau exact doi elevi. Deci numărul elevilor este \(2\) înmulțit cu \(b+1\).

2. 2

   a) Concluzia despre 25 de elevi

   e=2(b+1)\Rightarrow e \text{ este număr par}

   Un număr de forma \(2\cdot(\text{ceva})\) este mereu par. Numărul 25 este impar, deci nu poate fi egal cu \(2(b+1)\). Prin urmare în clasă nu pot fi 25 de elevi.

3. 3

   b) Scriem numărul elevilor din a doua situație

   e=4(b-6)+2

   Dacă 5 bănci rămân libere și una are doar 2 elevi, atunci \(b-5-1=b-6\) bănci au câte 4 elevi, iar o bancă are 2 elevi. Deci \(e=4(b-6)+2\).

4. 4

   b) Egalăm cele două expresii și rezolvăm

   2(b+1)=4(b-6)+2\Rightarrow 2b+2=4b-24+2\Rightarrow 2b=24\Rightarrow b=12

   Numărul elevilor este același în ambele situații, deci putem egala cele două scrieri. Desfacem parantezele, mutăm termenii și obținem \(2b=24\), de unde \(b=12\).

5. 5

   Verificare

   e=2(12+1)=26,\quad e=4(12-6)+2=26

   Cu 12 bănci, prima situație dă 26 de elevi și a doua tot 26. Rezultatele coincid, deci soluția este corectă (și 26 este par, în acord cu punctul a).

Răspuns: a) Nu, 25 fiind impar, nu pot fi 25 de elevi (numărul elevilor trebuie să fie par). b) Clasa are 12 bănci.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{1-x}\right):\frac{x^2-6x+9}{x-1}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 1\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 3\). (2p) a) Arată că \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Arată că numărul \(T=E(4)+E(5)+E(6)+E(7)\) este mai mic decât \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Metoda: Calcul algebric, fracții algebrice

1. 1

   a) Descompunem trinomul prin grupare

   x^2-3x+2=x^2-x-2x+2=x(x-1)-2(x-1)=(x-2)(x-1)

   Scriem \(-3x\) ca \(-x-2x\). Astfel putem forma două grupe, \(x^2-x\) și \(-2x+2\), care au același factor comun \(x-1\). Scoatem factorul comun și obținem produsul dorit. Egalitatea este adevărată pentru orice \(x\) real, deoarece am folosit doar transformări de calcul.

2. 2

   b) Aducem la același numitor paranteza

   E(x)=\left(\frac{1}{(x-2)(x-1)}-\frac{x-2}{(x-2)(x-1)}\right):\frac{(x-3)^2}{x-1}

   Folosim a): \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\). Apoi \(\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}\). Amplificăm cu \(x-2\) ca să avem numitorul comun \((x-2)(x-1)\): \(-\frac{1}{x-1}=-\frac{x-2}{(x-2)(x-1)}\). Numitorul \(x^2-6x+9\) este pătratul \((x-3)^2\), formula \((a-b)^2\).

3. 3

   b) Efectuăm scăderea și împărțirea

   E(x)=\frac{3-x}{(x-2)(x-1)}\cdot\frac{x-1}{(x-3)^2}=-\frac{x-3}{x-2}\cdot\frac{1}{(x-3)^2}=-\frac{1}{(x-2)(x-3)}

   La numărător: \(1-(x-2)=3-x=-(x-3)\). Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa. Simplificăm \(x-1\), apoi un factor \(x-3\) (permis, fiindcă \(x\neq 3\)). Rămâne \(E(x)=-\frac{1}{(x-2)(x-3)}\).

4. 4

   b) Calculăm suma T

   T=-\left(\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 4}\right)

   Pentru \(x=4,5,6,7\): \(E(4)=-\frac{1}{2\cdot 1}\), \(E(5)=-\frac{1}{3\cdot 2}\), \(E(6)=-\frac{1}{4\cdot 3}\), \(E(7)=-\frac{1}{5\cdot 4}\). Descriem fiecare fracție ca diferență: \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\). Termenii intermediari se reduc: \(T=-\left(1-\frac15\right)=-\frac45\). (Baremul scrie suma cu produse 1·2, 2·3, 3·4, 4·5, aceeași valoare.)

5. 5

   b) Comparăm T cu -√2/2

   -\frac45=-\frac{\sqrt{64}}{10}<-\frac{\sqrt{50}}{10}=-\frac{\sqrt2}{2}

   Scriem \(\frac45=\frac{8}{10}=\frac{\sqrt{64}}{10}\) și \(\frac{\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt2}{10}=\frac{\sqrt{50}}{10}\). Cum \(64>50\), avem \(\frac{\sqrt{64}}{10}>\frac{\sqrt{50}}{10}\). Prin schimbarea semnului, inegalitatea se inversează: \(-\frac45<-\frac{\sqrt2}{2}\). Deci \(T<-\frac{\sqrt2}{2}\).

Răspuns: a) \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\). b) \(E(x)=-\frac{1}{(x-2)(x-3)}\), \(T=-\frac45<-\frac{\sqrt2}{2}\).

În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,0)\) și \(B(10,4)\). a) Arată că \(AB=4\sqrt{5}\). b) Determină coordonatele punctului \(M\), situat pe axa \(Ox\), aflat la distanțe egale față de punctele \(A\) și \(B\).

Metoda: Teorema lui Pitagora în plan

1. 1

   a) Proiecția lui B pe axa Ox

   C(10,0),\quad AC=10-2=8,\quad BC=4

   Coborâm perpendiculara din \(B\) pe axa \(Ox\) și obținem punctul \(C(10,0)\). Astfel \(A\), \(C\) și \(B\) formează un triunghi dreptunghic în \(C\), pentru că axa \(Ox\) este perpendiculară pe \(BC\). \(AC\) este diferența dintre abscise, iar \(BC\) este ordonata lui \(B\).

2. 2

   a) Calculăm AB cu teorema lui Pitagora

   AB^2=AC^2+BC^2=64+16=80\Rightarrow AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}

   În triunghiul dreptunghic \(ACB\), \(AB\) este ipotenuza. Aplicăm teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Apoi scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}\).

3. 3

   b) Notăm punctul M

   M(m,0)\Rightarrow AM=|m-2|

   Punctul \(M\) este pe axa \(Ox\), deci ordonata lui este 0. Îl notăm \(M(m,0)\). Distanța \(AM\) este distanța dintre două puncte de pe aceeași axă, adică modulul diferenței absciselor.

4. 4

   b) Calculăm BM

   BM^2=(m-10)^2+4^2

   Proiecția lui \(B\) pe \(Ox\) este \(C(10,0)\). Triunghiul \(BMC\) este dreptunghic în \(C\), cu \(CM=|10-m|\) și \(BC=4\). Din teorema lui Pitagora rezultă \(BM^2=CM^2+BC^2\), adică \(BM^2=(10-m)^2+16\).

5. 5

   b) Punem condiția AM = BM

   (m-2)^2=16+(10-m)^2\Rightarrow m^2-4m+4=m^2-20m+116\Rightarrow 16m=112\Rightarrow m=7

   \(M\) este egal depărtat de \(A\) și \(B\), deci \(AM=BM\), adică \(AM^2=BM^2\). Desfacem parantezele cu formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Termenii \(m^2\) se reduc, rămâne o ecuație simplă: \(16m=112\), deci \(m=7\).

6. 6

   Verificare

   AM=5,\quad BM=\sqrt{9+16}=5

   Pentru \(M(7,0)\): \(AM=7-2=5\), iar \(CM=10-7=3\), deci \(BM=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Distanțele sunt egale, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) \(AB=4\sqrt{5}\); b) \(M(7,0)\).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât \(ABCD\) este pătrat, cu \(AB = 4\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul arcului mic \(AD\), iar dreptele \(AD\) și \(BM\) se intersectează în punctul \(P\). a) Arată că \(MO = 2\sqrt{2}\) cm. b) Demonstrează că tangenta unghiului \(BPA\) este egală cu \(1+\sqrt{2}\).

Metoda: Pătratul înscris și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Diagonala pătratului

   BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

   Diagonala BD a pătratului cu latura 4 cm se află cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic BAD: \(BD^2 = 4^2+4^2 = 32\), deci \(BD = 4\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   a) Raza cercului

   MO = OB = \frac{BD}{2} = 2\sqrt{2}

   Unghiul BAD este drept, deci BD este diametru al cercului. Raza este jumătate din diametru. M se află pe cerc, deci MO este rază: \(MO = 2\sqrt{2}\) cm.

3. 3

   b) Punctul Q și lungimile OQ, MQ

   OQ = 2,\quad MQ = 2\sqrt{2}-2 = 2(\sqrt{2}-1)

   M este mijlocul arcului AD, deci OM este bisectoarea unghiului AOD în triunghiul isoscel OAD. Bisectoarea este și înălțime și mediană, deci OM intersectează AD în Q, mijlocul lui AD, iar OQ ⟂ AD. Distanța de la O la AD este jumătate din latură: \(OQ = 2\) cm. Atunci \(MQ = MO - OQ = 2\sqrt{2}-2\).

4. 4

   b) Asemănarea triunghiurilor MPQ și BPA

   MQ \parallel AB \Rightarrow \triangle MPQ \sim \triangle BPA \Rightarrow \frac{MQ}{BA}=\frac{PQ}{PA}

   MQ și AB sunt perpendiculare pe AD, deci sunt paralele. Rezultă triunghiuri asemenea (teorema fundamentală a asemănării). Din raport obținem \(\frac{BA+MQ}{BA}=\frac{PA+PQ}{PA}\). Cum \(PA+PQ = AQ = 2\) și \(BA+MQ = 4+2\sqrt{2}-2 = 2+2\sqrt{2}\), avem \(\frac{2+2\sqrt{2}}{BA}=\frac{2}{PA}\).

5. 5

   b) Tangenta unghiului BPA

   \operatorname{tg}(\angle BPA)=\frac{BA}{PA}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}

   Triunghiul BAP este dreptunghic în A. Tangenta este cateta opusă împărțită la cateta alăturată: \(\frac{BA}{PA}\). Din pasul anterior, \(\frac{BA}{PA}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\).

Răspuns: a) \(MO = 2\sqrt{2}\) cm; b) \(\operatorname{tg}(\angle BPA)=1+\sqrt{2}\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\), cu \(AB = 8\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AC\), punctul \(P\) este proiecția punctului \(M\) pe dreapta \(BC\) și punctul \(Q\) este proiecția punctului \(P\) pe dreapta \(AB\). (2p) a) Arată că \(PC = 2\) cm. (3p) b) Determină aria triunghiului \(MPQ\).

Metoda: Triunghi dreptunghic, unghiuri de 30° și 60°

1. 1

   Punctul a): lungimea lui MC

   MC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4

   \(M\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(MC\) este jumătate din \(AC\). Cum triunghiul este echilateral, \(AC=AB=8\) cm, deci \(MC=4\) cm.

2. 2

   Punctul a): lungimea lui PC

   \angle PMC=30^\circ \Rightarrow PC=\frac{MC}{2}=2

   \(MP\perp BC\), deci triunghiul \(MPC\) este dreptunghic în \(P\). Unghiul \(C\) are 60° (triunghi echilateral), deci \(\angle PMC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Cateta \(PC\) este opusă unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuza \(MC\): \(PC=4:2=2\) cm.

3. 3

   Punctul b): lungimea lui PQ

   PB=BC-PC=8-2=6,\quad \angle PBQ=60^\circ,\quad PQ=PB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3

   \(PB=8-2=6\) cm. În triunghiul \(PQB\), dreptunghic în \(Q\), unghiul \(B\) are 60°, deci \(\angle BPQ=30^\circ\) și \(BQ=PB:2=3\). Din teorema lui Pitagora: \(PQ^2=6^2-3^2=27\), deci \(PQ=3\sqrt3\) cm.

4. 4

   Punctul b): înălțimea QT și lungimea MP

   \angle MPQ=60^\circ,\quad QT=PQ\cdot\sin 60^\circ=3\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac92,\quad MP=2\sqrt3

   Unghiul \(BPQ=30^\circ\) și \(MPC=90^\circ-\angle PMC... \) mai simplu: \(\angle MPC=90^\circ\), \(\angle BPQ=30^\circ\), deci \(\angle MPQ=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Ducem \(QT\perp MP\), cu \(T\in MP\). Din triunghiul \(QTP\): \(QT=PQ\cdot\sin 60^\circ=\frac92\) cm. Din triunghiul \(MPC\): \(MP^2=4^2-2^2=12\), deci \(MP=2\sqrt3\) cm.

5. 5

   Punctul b): aria triunghiului MPQ

   \mathcal{A}_{MPQ}=\frac{QT\cdot MP}{2}=\frac{\frac92\cdot 2\sqrt3}{2}=\frac{9\sqrt3}{2}

   Aria unui triunghi este baza înmulțită cu înălțimea, totul împărțit la 2. Aici baza este \(MP=2\sqrt3\) și înălțimea este \(QT=\frac92\). Obținem \(\frac{9\sqrt3}{2}\) cm².

Răspuns: a) \(PC=2\) cm; b) \(\mathcal{A}_{MPQ}=\frac{9\sqrt3}{2}\) cm².

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat \(ABCD\), cu \(AB = 6\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(AD\) și punctul \(P\) este simetricul punctului \(B\) față de punctul \(M\). (2p) a) Arată că \(CP = 6\sqrt{2}\) cm. (3p) b) Arată că sinusul unghiului dreptelor \(DP\) și \(CM\) este egal cu \(\frac{\sqrt{33}}{6}\).

Metoda: Pitagora și linie mijlocie în spațiu

1. 1

   a) Lungimea lui BP și natura triunghiului PCB

   BM = CM = 3\sqrt{3},\quad BP = 2\cdot BM = 2\cdot CM

   Fețele \(ABD\) și \(ACD\) sunt triunghiuri echilaterale cu latura 6, iar \(M\) este mijlocul lui \(AD\). Deci \(BM\) și \(CM\) sunt înălțimi în aceste triunghiuri, deci \(BM = CM\). Cum \(P\) este simetricul lui \(B\) față de \(M\), avem \(PM = BM\), deci \(BP = 2\cdot BM = 2\cdot CM\). Înseamnă că mediana \(CM\) din triunghiul \(PCB\) este jumătate din latura \(BP\) la care se duce. Reciproca teoremei medianei corespunzătoare ipotenuzei arată că triunghiul \(PCB\) este dreptunghic în \(C\).

2. 2

   a) Calculul lui CP cu teorema lui Pitagora

   CP = \sqrt{PB^2 - BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{108 - 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

   În triunghiul \(PCB\), dreptunghic în \(C\), ipotenuza este \(PB = 6\sqrt{3}\), iar o catetă este \(BC = 6\). Din teorema lui Pitagora \(CP^2 = PB^2 - BC^2 = 108 - 36 = 72\), deci \(CP = 6\sqrt{2}\) cm. Am obținut exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Mutăm unghiul cu o linie mijlocie

   ME \parallel DP \Rightarrow \angle(DP, CM) = \angle(ME, CM)

   Fie \(E\) mijlocul lui \(BD\). În triunghiul \(PDB\), punctele \(M\) și \(E\) sunt mijloacele laturilor \(PB\) și \(BD\), deci \(ME\) este linie mijlocie și \(ME \parallel DP\). Unghiul dintre dreptele \(DP\) și \(CM\) este astfel egal cu unghiul dintre \(ME\) și \(CM\), adică unghiul \(CMF\) (unde \(F\) va fi piciorul perpendicularei din \(C\) pe \(ME\)). Acum avem un unghi într-un triunghi pe care îl putem calcula.

4. 4

   b) Triunghiul MCE este isoscel

   ME = \frac{DP}{2}... \text{ dar } ME = \frac{AB}{2} = 3,\quad CE = CM = 3\sqrt{3}

   Linia mijlocie \(ME\) este și în triunghiul \(ABD\) linie mijlocie (M mijlocul lui AD, E mijlocul lui BD), deci \(ME = \frac{AB}{2} = 3\) cm. În triunghiul echilateral \(BCD\), \(CE\) este înălțime, deci \(CE = 3\sqrt{3}\), adică \(CE = CM\). Triunghiul \(MCE\) este isoscel cu baza \(ME = 3\).

5. 5

   b) Calculul sinusului

   CF = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{11}}{2},\quad \sin\angle CMF = \frac{CF}{MC} = \frac{3\sqrt{11}}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{6}

   Ducem \(CF \perp ME\), cu \(F \in ME\). Triunghiul \(MCE\) fiind isoscel, \(F\) este mijlocul lui \(ME\), deci \(MF = \frac{3}{2}\). În triunghiul dreptunghic \(CFM\): \(CF^2 = 27 - \frac{9}{4} = \frac{99}{4}\), deci \(CF = \frac{3\sqrt{11}}{2}\). Sinusul este cateta opusă supra ipotenuză: \(\frac{CF}{MC} = \frac{3\sqrt{11}}{2\cdot 3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{6}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: a) \(CP = 6\sqrt{2}\) cm; b) \(\sin\angle(DP, CM) = \frac{\sqrt{33}}{6}\).