Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 3 + i și z2 = 3 − i . Arătați că numărul z1 z2 este real. 5p 2. Determinaţi numărul real a , știind că punctul A (1, 1) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + a . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x3 + 2 x − 4 = x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A = {1, 2, 3,..., 80} , acesta să fie divizibil cu 7. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0, 0 ) , A (1, 2 ) și B ( 2, a ) . Determinați numărul real a , știind că punctele O , A și B sunt coliniare. x π  5p 6. Se consideră E ( x ) = cos + sin x , unde x este număr real. Arătați că E   = 3 . 2 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 x 1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  x 2 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 4 . 5p b) Determinaţi numărul real a , știind că A (1) + A ( 3) = a A ( 2 ) . 1 0 5p c) Arătați că A ( x ) A ( y ) = 2 A ( x + y ) + xyI 2 , pentru orice numere reale x și y , unde I 2 =  . 0 1 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 3 xy + 6 x + 6 y + 10 . 5p a) Arătați că 2 ∗ (−2) = −2 . 5p b) Arătați că x ∗ y = 3( x + 2)( y + 2) − 2 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuația x ∗ x ∗ x = x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x + 1) e x . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( x + 2 ) e x , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Arătați că funcția f este convexă pe intervalul [ −3, +∞ ) . x3 + 3 x 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = . x2 + 1 1 ( ) 5p a) Arătați că ∫ x + 1 f ( x ) dx = 0 . 2 −1 1 1 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) dx = + ln 2 . 0 2 5p c) Determinaţi numărul real m , m > 0 , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : ℝ → ℝ , g ( x ) = f ( x) − x , axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = m , are aria egală cu ln 2 . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1