Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați ( 2 − 3i )( 2 + 3i ) , unde i 2 = −1 . 5p 2. Calculați f ( f ( 3) ) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 1 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 x + 17 = log3 81 . 2 ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 5. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, a ) , B ( 3, 2 ) și C ( 2,1) . Determinați numărul real a pentru care punctele A , B și C sunt coliniare. x x  π  1+ 2 5p 6. Se consideră E ( x ) = sin + cos , unde x este număr real. Arătați că E   = . 3 2 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 2a  1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  2a 4  5p a) Arătați că A (1) + A ( −1) = 2 A ( 0 ) . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care det ( A(a ) ) = 0 . 5p c) Rezolvaţi în mulțimea M2 ( ℝ ) ecuaţia A ( 2 ) ⋅ X = A ( 8 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 . 5p a) Arătați că ( −3 ) 3 = 3 . 5p b) Arătați că x y = 2 ( x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Calculați 1 2 3 … 2015 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3e x + x 2 . f ( x) − f (0) 5p a) Arătați că lim =3. x →0 x 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Arătaţi ca funcţia f este convexă pe ℝ . 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + . x 3  1 5p a) Arătați că ∫  f ( x ) −  dx = 4 . 1 x 2  1 x 5p b) Arătați că ∫  f ( x ) −  e dx = e . 2 1 x 5p c) Determinaţi numărul real a , a > 1 , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 și x = a , are aria egală cu 4 + ln a . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1