Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 + i . Arătați că z − 2i = 0 . 2 5p 2. Calculați ( g f )( 3) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 3 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x + 2015 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x −5 x = 53−3 x . 2 5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( 0, 4 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie y = 2 x + 7 . 5p 6. Determinaţi aria triunghiului MNP , ştiind că MN = 12 , MP = 3 și m(∢M ) = 30° . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 −a  1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  −a 1  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Determinați numerele reale a , pentru care det ( A ( a ) ) = 0 . 1 0 5p c) Arătați că A ( a ) A ( b ) = A ( a + b ) + abI 2 , pentru orice numere reale a și b , unde I 2 =  . 0 1 2. Se consideră polinomul f = X 3 − mX + 2 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( 0 ) = 2 . 5p b) Determinați numărul real m , știind că restul împărțirii lui f la polinomul g = X 2 + X − 2 este egal cu 0 . 5p c) Demonstrați că x13 + x23 + x33 = −6 , pentru orice număr real m , unde x1 , x2 şi x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e − x − 1 . x f ( x ) − f ( 0) 5p a) Arătați că lim =0. x →0 x 5p b) Arătați că funcția f este descrescătoare pe intervalul ( −∞,0] . 5p c) Demonstrați că e x ≥ x + 1 , pentru orice număr real x . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 . 1 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) + 2 x − 5 ) dx = . 1 0 3 2 f '( x) 5p b) Calculaţi ∫ dx . 0 f ( x) 2015 1 1 5p c) Arătați că ∫ f ( x ) dx ≤ 4 . 2014 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1