Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul real care are partea întreagă −2 și partea fracționară 0, 75 . 4 5p 2. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = − x + 4 3 cu axa Ox și, respectiv, cu axa Oy . () 2 x+10 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 = 81 . 3 5p 4. Determinați numărul natural n pentru care Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn = 64 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( −1,1) , N ( 3,1) și P ( 3,5 ) . Arătați că triunghiul MNP este isoscel. 5p 6. Calculați raza cercului înscris în triunghiul ABC , știind că AB = 6 , AC = 8 și BC = 10 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x a a   1. Se consideră matricea A ( x, a ) =  − a x a  , unde x și a sunt numere reale.  −a −a x    5p a) Calculați det ( A ( 2,0 ) ) . 5p b) Arătați că A ( x, a ) + A ( x, − a ) = 2 x A (1,0 ) , pentru orice numere reale x și a . 5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuația det ( A ( x, −3) ) = 0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 3 xy + 3 x + 3 y + 2 . 5p a) Arătați că x y = 3 ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați numerele întregi a și b , știind că a b = 2 . 5p c) Calculaţi ( −1) 0 1 ... 2015 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x − e x + 1 . 5p a) Calculați f ′ ( x ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f . 5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x3 + 3 x 2 + 2 x + 1 . 1 5p a) Calculați ∫ f ( x ) dx . 0 5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F ( −1) = 1 . a 0 5p c) Arătați că pentru orice număr real nenul a are loc relația f ( x ) dx + 1 f ( x ) dx = a 4 − 1 . ∫ a ∫a 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1