Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați al doilea termen al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , ştiind că b1 = 4 și rația q = 2 . 5p 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 2 x . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( 2 x + 1) = log3 5 . 5p 4. Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {0, 1, 2, 3, 4} . 5p 5. Determinați numărul real m , știind că punctul M (1,0 ) aparține dreptei de ecuație y = mx − 2 . π 5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , în care AB = 2 și C = . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2− a 1  1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  1 2 − a 5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = −1 . 5p b) Demonstrați că A ( a ) + A ( − a ) = 2 A ( 0 ) , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numărul real x , știind că A ( x ) A ( x ) = 2 A (1) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 4 X 2 + mX + 4 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( −1) + f (1) = 0 , pentru orice număr real m . 5p b) Pentru m = −1 , arătați că polinomul f se divide cu polinomul X 2 − 1 . 1 1 1  5p c) Determinați numărul real m , știind că x12 + x22 + x32 − 4  + +  = 0 , unde x1 , x2 și x3 sunt  x1 x2 x3  rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x − x +1 2 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x −1 x ( x − 2) 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x − 1)2 5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 2 , situat pe graficul funcției f . 7 5p c) Demonstraţi că f ( e ) < . 2 ex 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x2 2 5p a) Arătați că ∫ x f ( x ) dx = e ( e − 1) . 2 1 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe intervalul [ 2, +∞ ) . 5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 și x = 2 are aria mai mică sau egală cu e ( e − 1) . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1