Matematică 2016

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați primul termen al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b5 = 48 și b8 = 384 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 7 x + 6 . Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x = 16 ⋅ 2 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr natural n din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5} , acesta să verifice egalitatea n 2 − 5n + 6 = 0 .       5p 5. Determinați numărul real a , știind că vectorii u = ( a + 1) i + ( a − 1) j și v = 6i + 2 j sunt coliniari. 5p 6. Arătați că ( 2sin x + cos x ) + ( sin x + 2cos x ) − 4sin 2 x = 5 , pentru orice număr real x . 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  0 x 1. Se consideră matricele A =   și B =   , unde x și y sunt numere reale. 4 1  y 0 5p a) Arătați că det ( 2 A ) = −28 . 1 0 5p b) Determinați numerele reale x și y , știind că A + 2 B = I 2 , unde I 2 =  . 0 1 5p c) Dacă AB = BA , arătați că det B ≤ 0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y = 3 xy + 3 x + 3 y + 2 . 5p a) Arătați că ( −1)  1 = −1 . 5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x  x = x . 5p c) Determinați perechile ( a , b ) de numerele întregi, știind că a  b = 8 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 2 ) e x . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( x − 1) e , x ∈ ℝ . x 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că f ' ( x ) ≥ −1 , pentru orice număr real x . 2 x2 + 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 2  1 5p a) Arătați că ∫  f ( x ) −  dx = 3 . 1 x 5p b) Demonstrați că funcția F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = x + ln x + 2016 este o primitivă a funcţiei f . 2 5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [1, 2] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) este mai mic decât 14π . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1