Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați raţia progresiei aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că 2a10 = a5 + a6 + 36 . 5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecţie a graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 cu dreapta de ecuație y = x − 1 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x − 1 + log x 2 − 1 = 4 . x +1 2 ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 10. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,1) , B (1, 4 ) și C ( 5,1) . Determinaţi coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC . 1 + cos 2 x  π 5p 6. Arătaţi că = ctg 2 x , pentru orice x ∈  0,  . 1 − cos 2 x  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1   1. Se consideră matricea M ( x ) =  2 3 1 , unde x este număr real.  x 2 x − 1 1   5p a) Calculaţi det ( M ( 0 ) ) . 5p b) Demonstrați că 2 M ( x ) − M ( − x ) = M ( 3 x ) , pentru orice număr real x . 5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) , A ( n, 2n − 1) şi B n , 2n − 1 , unde n 2 2 ( ) este număr natural, n ≥ 2 . Demonstrați că aria triunghiului OAB este număr natural. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y = 6 xy − 2 x − 2 y + 1 . 1 5p a) Calculați 1 . 3 5p b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „ ” . 1 2 3 2016 5p c) Calculați … . 1008 1008 1008 1008 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . x +3 4 ( 3 ( x − 1)( x + 1) x 2 + 1 ) , x∈ℝ . 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = − ( x + 3) 4 2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că − ≤ f ( x ) ≤ , pentru orice număr real x . 1 1 4 4 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x − 2 . 5p a) Determinaţi primitiva F a funcţiei f , pentru care F (1) = 0 . 1 5p b) Calculați ∫ x f ( x ) dx . 0 x 5p c) Determinați numerele reale x , știind că ∫ f ( t ) dt = 0 . 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2