Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați partea reală a numărului complex z = i (1 + i ) . 2 5p 2. Determinaţi numerele reale m , ştiind că imaginea funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + mx + 1 este intervalul [ −1, +∞ ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x + 2 x +1 = 4 − 2 x . 5p 4. Determinaţi numărul elementelor mulţimii M = {1, 2, 3,… , 2016} care sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 10. 5p 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctul M astfel încât CM = 2 BM . Arătați că AM = 2 AB − AC . 5p 6. Determinaţi numerele reale x ∈ [ 0, π ] , pentru care sin 2 x = sin x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 1 1 1. Se consideră matricea A ( x ) =  2015 2016 x  , unde x este număr real.   20152 20162 x 2   5p a) Calculați det ( A ( 2016 ) ) . 5p b) Demonstrați că det ( A ( x ) ) = ( 2015 − x )( 2016 − x ) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numărul real x pentru care det ( A ( x ) ) are valoarea minimă. −1 −1 1 0 2. Se consideră matricele A =   , I 2 =  0 1  și X ( a ) = I 2 + aA , unde a este număr real.  1 1    5p a) Calculați A ⋅ A . 5p b) Demonstrați că X ( a ) ⋅ X ( b ) = X ( a + b ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați inversa matricei M = X ( −3) ⋅ X ( −2 ) ⋅ X ( −1) ⋅ X ( 0 ) ⋅ X (1) ⋅ X ( 2 ) ⋅ X ( 3) ⋅ X ( 4 ) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) mx 2 + 4 x − m 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = , unde m este număr real. x −1 5p a) Arătaţi că dreapta de ecuaţie x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcţiei f , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați numărul real m , pentru care dreapta de ecuaţie y = 3 este asimptotă orizontală la f ( x) graficul funcției g : (1, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = . x f ( x) − 5 5p c) Pentru m = −1 , calculaţi lim . x→ 2 x−2 x  + 2a , x<2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  2 , unde a este număr real. ax + log 2 x, x ≥ 2 5p a) Pentru a = 0 , calculaţi f ( −1) ⋅ f ( 4 ) . 5p b) Demonstrați că funcţia f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real a .  1 1 5p c) Demonstrați că, dacă a ∈  − ,  , ecuația f ( x ) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul ( −1, 4 ) .  2 4 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1