Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 01 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( 5 + 2) − 4 5 = 9 . 2 5p 1. Arătați că 5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul M ( m, 4 ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + 2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 4 x + 9 = log 4 25 . 2 ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , acesta să fie divizibil cu 2. 5p 5. Determinaţi numărul real a , pentru care vectorii u = ( a − 1) i − 3 j și v = 2i − 6 j sunt coliniari.  π 1 3 5p 6. Dacă x ∈  0,  şi cos x = , arătaţi că sin 2 x = .  2 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 + 3x 2x  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  −6 x 1 − 4 x  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( x + y − xy ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numărul real x , știind că A 2 A 2 = A (1) . x x ( ) ( ) 2. Se consideră polinomul f = X 3 − X 2 + aX + 2 , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f ( −1) + f (1) = 2 , pentru orice număr real a . 5p b) Determinați numărul real a , pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X 2 − 2 X + 2 . 5p c) Demonstrați că x13 + x23 + x33 + 3x1 x2 + 3 x2 x3 + 3x1 x3 = −5 , pentru orice număr real a , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x + 2 x − 11 2 1. Se consideră funcţia f : ( 3, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x−3 ( x − 1)( x − 5 ) , x ∈ 3, +∞ . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( ) ( x − 3)2 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că f (π ) > 13 . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( 3x + 1) e x . 1 1 5 5p a) Arătaţi că ∫ x f ( x ) dx = . 0e 2 5p b) Determinați numărul real m , pentru care funcţia F : ℝ → ℝ , F ( x ) = ( 3x + m ) e x este o primitivă a funcției f . a 5p c) Determinați numărul real nenul a , știind că ∫ f ( x ) dx = 3a . 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 01 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1