Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 − i . Arătați că z 2 + 2i = 0 . 5p 2. Calculați ( g
f )( 0 ) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 2017 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x − 2017 . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x −3 x = 3x −4 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3,… , 100} , acesta să fie pătrat perfect. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( 0,1) . Determinaţi ecuaţia dreptei d , care trece prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie y = x − 10 . π 5p 6. Determinaţi aria triunghiului ABC , ştiind că AB = 6 , AC = 4 și A = . 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  m − 1 −1  1. Se consideră matricea A ( m ) =   , unde m este număr real.  2 m − 2 5p a) Calculați det ( A ( 0 ) ) . 5p b) Demonstrați că A (1 + m ) + A (1 − m ) = 2 A (1) , pentru orice număr real m . 5p c) Demonstrați că matricea A ( m ) este inversabilă, pentru orice număr real m . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = −3 xy + 9 x + 9 y − 24 . 5p a) Arătați că x ∗ y = −3 ( x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este asociativă. 5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( x ∗ x ) ∗ x = 12 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x3 − 3ln x . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( 3 ( x − 1) x 2 + x + 1 ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcţiei f . 5p c) Demonstraţi că f ( x ) ≥ 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 2x + 3 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x + 3x + 3 2 ( ) 5p a) Calculați ∫ x + 3 x + 3 f ( x ) dx . 2 1 5p b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 3 are aria egală cu ln 7 . 0 5p c) Demonstrați că ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx = 0 . −1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1