Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 z + z = 6 + i , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x − 5 . Calculați f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f (10 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x + 3) = 1 + log 2 ( x + 1) . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele egale. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,1) și B ( 5,5 ) . Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul C ( −2,6 ) și este perpendiculară pe dreapta AB . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 3 2 , m ( ∢ACB ) = 30° și m ( ∢BAC ) = 45° . Determinați lungimea laturii BC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1  1. Se consideră matricea A ( x ) =  2 3 x  , unde x este număr real.  4 9 x2    5p a) Calculați A (1) − A ( 0 ) . 5p b) Arătați că det ( A ( x ) ) = ( x − 2 )( x − 3) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numărul real a pentru care det ( A ( a ) ) ≤ det ( A ( x ) ) , pentru orice număr real x . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y = 4 xy − 4 x − 4 y + 5 . 5p a) Arătați că x y = 4 ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Arătați că N = 2016 2017 este pătratul unui număr natural. 5p c) Determinați numerele naturale a și b pentru care a b = 13 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 ln x . 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = x ( 2 ln x + 1) , x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că 1 + 2e f ( x ) ≥ 0 , pentru orice număr real x , x ∈ ( 0, +∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 1) e x . 1 1 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) e dx = − . −x 0 2 5p b) Determinați numărul real a , știind că funcția F : ℝ → ℝ , F ( x ) = ( x + a ) e x este o primitivă a funcției f . 1 1 5p c) Arătați că ∫ x f ( x ) dx ≤ − 3 . 0 20 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1