Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 3 + 2i ș i z 2 = 3 − 2i . Ar ătaț i că numă rul z1 + z 2 este real. 5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul M ( 2, m ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 − 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 33 x−5 = 3−2 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A = {1, 2, 3,…, 20} , acesta să fie multiplu de 5. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,5 ) , B (1,3) și C ( m,1) , unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctul C aparține dreptei AB . π  5p 6. Se consideră E ( x ) = cos + sin x , unde x este număr real. Arătați că E   = 3 . x 2 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x x + 1 1  1. Se consideră matricea A ( x ) =  2 x 1 , unde x este număr real. 3 0 1  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Determinați numărul real x , pentru care A ( x ) + A ( x + 2 ) = 2 A ( 2 ) . 5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( n, n + 1) , N ( 2, n ) și P ( 3,0 ) . Determinați numărul natural n , știind că punctele M , N și P sunt coliniare. 2. Se consideră polinomul f = X 3 + aX 2 + X − 1 , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f (1) − f ( −1) = 4 , pentru orice număr real a . 5p b) Pentru a = 2 , calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + X + 1 . 5p c) Determinați numărul real a pentru care x1 + x2 + x3 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = x1 x2 x3 − 1 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − x + 1 . 2 x −1 x ( x − 2) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x − 1)2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2 , situat pe graficul funcției f . f ( x) 5p c) Demonstrați că lim = 0. x →+∞ e x + 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x + 2 x . 1 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) − 2 x ) dx = e − 1 . 0 5p b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [ 0,1] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − e x . a 2a3 5p c) Determinaţi numărul real a , știind că ∫ x f ( x ) dx = 1 + . 0 3 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1