Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( bn )n≥1 , ştiind că b2 = 4 . 5p 2. Se consideră funcțiile f , g : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 1)2 și g ( x ) = 2018 − x . Calculați g ( f (1) ) . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 25 x = 5 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație ( a − 1) x − a 2 y − a 2 = 0 , unde a este număr real nenul. Determinați numărul real nenul a , știind că dreapta d este paralelă cu axa Ox . 5 1  π 5p 6. Arătaţi că tg x + ctg x = , știind că sin x = și x ∈  0,  . 2 5  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 x+2 x  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( x ) =   , unde x este număr real. 0 1  1 −2  5p a) Arătați că det ( A (1) ) = −7 . 5p b) Demonstrați că xA ( y ) − yA ( x ) = ( x − y ) A ( 0 ) , pentru orice numere reale x și y . ( 5p c) Determinați numerele reale a , știind că ( aA ( −1) + A ( a ) ) A ( 0 ) = a + 7 I 2 . 2 ) 2. Se consideră polinomul f = 4 X 3 − 6 X + m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 2 , arătați că f (1) = 0 . 5p b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real m , polinomul f nu se divide cu polinomul X 2 + X + 1 . 2 5p c) Determinați numărul real nenul m , știind că  1 + 1 + 1  = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 , unde x1 , x2 și x3 sunt  x1 x2 x3  x1 x2 x3 rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 1 − ln x − 1 . x x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 2 , x ∈ ( 0, +∞ ) . ln x x 5p b) Determina ț i ecua ţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . ln x 1 5p c) Demonstrați că ≤1− 2 x x 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 3 x 2 + 1 . x +1 2 5p a) Arătați că ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = 22 . 0 1  1  x3 5p b) Calculați ∫  f ( x ) −  e dx . 0  x + 1  5p c) Determinați numărul natural nenul n , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [ 0,1] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − 3 x 2 este egal cu π . n Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1