Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 7 5p 1. Arătați că numărul N = log5 7 + log5 35 − 2log 5 este natural. 25 5p 2. Știind că f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 2 , calculați S = ( f f )(1) + ( f f )( 2 ) + … + ( f f )(10 ) . 2 ( ( 2 ) ) 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + 1 + 3 = log 2 7 x + 9 . 5p 4. Determinaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {i, i , i , i } , unde i = −1 , 2 3 4 2 acesta să fie număr real. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (1, n ) , N ( n,3) și P ( 2n,5 ) , unde n este număr natural. Știind că vectorii MN și MP sunt coliniari, determinați numărul natural n .  π  π 5p 6. Arătați că sin  x −  + cos  x +  = 0 , pentru orice număr real x .  3  6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  2 4 1     1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  și X ( a ) =  3 9 1 , unde a este număr real. 0 0 1  2     a a 1 5p a) Arătați că det ( X ( −1) ) = 12 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care det ( X ( a ) − I 3 ) = 0 . ( ) 5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 4 ) , B ( 3,9 ) și C a, a 2 , unde a este număr natural. Determinați numerele naturale a pentru care ABC este triunghi și are aria mai mică decât 3. 1 + 3 x 3x  2. Se consideră matricea M ( x ) =   , unde x este număr real.  − 3x 1 − 3x  5p a) Demonstrați că M ( x ) M ( y ) = M ( x + y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați inversa matricei M ( x ) , unde x este număr real. 5p c) Determinați numărul real pozitiv x pentru care are loc egalitatea M ( x ) M ( x + 5 ) = M ( 5) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x − x−2 2 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x f ( x) 5p a) Calculaţi lim . x→ 2 x − 2 5p b) Determinați ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . f ( mx ) 5p c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul m pentru care lim = m2 − m . x → +∞ f ( x)  x 2 − ax + 2a − 4, x ∈ ( −∞, 2 ) 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  , unde a este număr real. x −1  2 − 2, x ∈ [ 2, +∞ ) 4 f ( x) 5p a) Arătați că lim = 1 , pentru orice număr real a . x → − ∞ (1 − 2 x )2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p b) Demonstrați că funcţia f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real a . 5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , a < 3 , ecuația f ( x ) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (1,3) . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2