Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 , dacă a1 = 2 și rația r = 2 . 5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 10 x + 9 cu axa Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x +1 − 3 ⋅ 5 x = 2 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea A = {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , acesta să fie soluție a ecuației x 2 − 4 x + 4 = 0 . 5p 5. Determinați lungimea vectorului AB + AC , știind că triunghiul ABC este echilateral și AB = 2 . 2π  5p 6. Arătați că sin  − x  + sin ( x + π ) = 1 , pentru orice număr real x . 2 2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 + 4a −6a  1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  2a 1 − 3a  5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 2 . 5p b) Demonstrați că A ( a ) A ( b ) = A ( a + b + ab ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați perechile de numere naturale m și n pentru care A ( m ) A ( n ) = A ( 2 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 2 xy − 2 x − 2 y + 3 . 5p a) Arătați că x y = 2 ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x x ≤ 9 . 5p c) Calculați 1n 2n 3n … 2019n , pentru orice număr natural nenul n . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − ln xe . x−e 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei f este paralelă cu axa Ox . 5p c) Demonstraţi că ecuația e x = xe are exact o soluție în ( 0,+∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 1)( x + 1) e x . 3 f ( x) 5p a) Arătați că ∫ dx = 6 . 0 ex 5p b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 și x = 2 . a 2 xe x 5p c) Determinaţi numărul real a , a > 2 , știind că ∫ dx = 3ln 2 . 2 f ( x ) Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1