Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi termenul b3 al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b1 = 1 și rația q = 5 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − x + 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 4 x − 5 . Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții. 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x + x = 4 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = { 1, 2, 3,…, 49} , acesta să fie număr natural. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,3) , B ( −3,0 ) și C ( −3,6 ) . Determinați ecuația medianei din A a triunghiului ABC . 5p 6. Arătați că sin x ( 3sin x − cos x ) + cos x ( sin x + 3cos x ) = 3 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 4 1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  −4 a  5p a) Arătați că det ( A ( −1) ) = 17 . 5p b) Demonstrați că A ( 2019 − a ) + A ( 2019 + a ) = 2 A ( 2019 ) , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați perechile de numere reale x și y , pentru care A ( x ) A ( y ) = 2 A ( −8 ) . 4x + 4 y 2. Pe mulţimea G = ( −2, 2 ) se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = . 4 + xy 5p a) Arătați că 0 este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”. 8 5p b) Determinați x ∈ G , pentru care x ∗ x = . 5 2 ( x − 1) 5p c) Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → G , f ( x ) = . Demonstrați că f ( xy ) = f ( x ) ∗ f ( y ) , x +1 pentru orice x, y ∈ ( 0, +∞ ) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 1 − 2 x + 2 ln ( x + 1) . −2 x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( −1, +∞ ) . x +1 5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că ln (1 + cos x ) ≤ cos x , pentru orice x ∈ ( 0, π ) . x+3 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . e 1 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) e dx = 6 . x −1 5p b) Demonstraţi că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe intervalul [ −3, +∞ ) . 5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , știind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 și x = n are aria egală cu 4 − 6e − n . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1