Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 3z + 2 z = 5 + 2i , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + a , unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care ( f f f )( x ) = x + 3 , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 3 ( 2 x + 3) − log3 x = 1 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să se dividă cu 10 . 5p 5. Determinați numărul real a pentru care vectorii u = ( a + 1) i + ( 5a − 1) j și v = i + 3 j sunt coliniari. 3 5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , știind că AB = 6 , AC = 10 și cos A = . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x +1 0 x + 2 1. Se consideră matricea M ( x ) =  0 x 0  , unde x este număr real. 3− x 0 4 − x   5p a) Calculați det ( M ( −1) ) . 5p b) Demonstrați că M ( x ) + M ( y ) = M ( 0 ) + M ( x + y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați perechile de numere naturale m și n , știind că suma elementelor matricei M (m) ⋅ M (1) este egală cu suma elementelor matricei M (1) ⋅ M ( n ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 4 x + 4 y − 4 xy − 3 . 5p a) Demonstrați că x ∗ y = 1 − 4 ( x − 1)( y − 1) , pentru orice numere reale x și y . 1 5p b) Arătați că x ∗ ≥ 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p c) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x ∗ x ∗ x = x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 5ln x − x 2 − 3x . 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = (1 − x )( 2 x + 5) , x ∈ 0, +∞ . ( ) x 5p b) Demonstraț i c ă funcț ia f este concavă pe ( 0, +∞ ) . 5p c) Demonstrați că 5ln x ≤ x 2 + 3x − 4 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . ( 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 e x . ) 5p a) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ . 1 ( 5p b) Calculați ∫ f ( x ) − x e − 5e dx . 2 x x ) 0 5p c) Demonstrați că e2 − 1 −1 ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ( 2 e2 − 1 ). 3 3 e −3 e Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1