Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi primul termen al progresiei aritmetice ( an )n ≥1 , știind că a2 = 3 și a3 = 5 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 1 . Determinaţi numărul natural n pentru care f (n) = 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 − 9 = x − 1 . 5p 4. Determinaţi numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii {1, 2,3, 4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (1,1) , N ( 3,3) , P ( 4,3) și Q (1, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , pentru care patrulaterul MNPQ este trapez cu bazele MN și PQ . 1 5p 6. Calculaţi lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC , în care AB = 5 și cos B = . 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 0 1. Se consideră matricea A =   , unde a și b sunt numere reale.  0 b 5p a) Arătați că det ( A ⋅ A ) = a 2b 2 , pentru orice numere reale a și b . 5p b) Se consideră matricea X ∈ M2 ( ℝ ) astfel încât A ⋅ X = X ⋅ A . Demonstrați că, dacă a și b sunt  x 0 numere reale distincte, atunci există numerele reale x și t astfel încât X =  . 0 t  5p c) Pentru a = 4 și b = 0 , determinați matricele Y ∈ M2 ( ℝ ) pentru care Y ⋅ Y = A . 2. Pe mulţimea M = [ 0, +∞ ) se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x y + 1 + y x + 1 . 5p a) Arătați că 3 ∗ 3 = 12 . 5p b) Demonstrați că x ∗ 0 = 0 ∗ x = x , pentru orice x ∈ M . 5p c) Determinați x ∈ M pentru care x + 2 x ∗ 3 = 7 . 2 ( ) SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x ln ( x + 1) . x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ln ( x + 1) + , x ∈ ( −1, +∞ ) . x +1 5p b) Arătați că funcția f este convexă. 5p c) Se consideră funcția g : ( −1,0] → ℝ , g ( x ) = ( x + 1) . Demonstrați că, dacă x1 , x2 ∈ ( −1,0] astfel x încât x1 ≤ x2 , atunci g ( x1 ) ≥ g ( x2 ) . 2. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → ℝ , f ( x ) = 1 − x3 . 1 3 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) dx = . 0 4 1 5p b) Arătați că ∫ x ( f ( x ) ) dx = 2 3 1 . 0 12 1 1 5p c) Demonstrați că ∫ ( f ( x ) ) dx ≤ ∫ ( f ( x ) ) dx , pentru orice număr natural nenul n . n +1 n 0 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1