Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul b4 al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b5 = 6 și b6 = 18 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x) = x + x − 4 . Determinaţi numerele reale m , știind că f ( m ) = m . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 100 ⋅ 102 x = 103 x . 5p 4. Determinaţi câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea {0,1, 2,3, 4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( − 4,0 ) , B ( 4,0 ) şi C ( 0, 4 ) . Determinaţi coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC . π 5p 6. Arătați că sin 2 x = 1 , știind că tg x = 1 și x ∈  0,  .  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x+2 3  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  −1 x − 2  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = −1 . 5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care matricea A ( x ) este inversabilă. 5p c) Se consideră numerele reale a , b și c , astfel încât A (a) ⋅ A(b) = A(c) . Demonstrați că a2 + b2 + 2c = 3 . 2. Pe mulțimea M = [ −1,1] se definește legea de compoziție x y = x 1 − y 2 + y 1 − x 2 . 5p a) Arătați că 0 1 = 1 . 5p b) Determinați x ∈ M pentru care x x = 0 . 5p c) Demonstrați că x 1 − x 2 = 1 , pentru orice x ∈ [ 0,1] . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = e + x ln x − 1 . x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = e x + ln x + 1 , x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 1 1 1  5p c) Demonstrați că e x + x ln x ≥ e + ln , pentru orice x ∈  , +∞  . 2 2 2  x 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 + . x2 + 2 1 17 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) x 2 + 2 dx = . 0 6 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ . 5p c) Se consideră funcția g : ℝ → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − x . Determinați a ∈ ( 0, +∞ ) pentru care x +2 2 1 3 a+ 3 ∫ g ( x ) dx = 2 + ln 2 . 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1