Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi al treilea termen al progresiei geometrice ( bn ) , știind că b1 = 2 și b2 = 6 . n≥1 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 7 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x − 7 . Calculaţi ( f g )( 7 ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x − 1 = x − 2 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)( n − 4 ) > 0 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,1) , B ( −1,0 ) , C ( 3,5 ) și D ( 5,6 ) . Demonstraţi că punctele B , D și mijlocul segmentului AC sunt coliniare. 5p 6. Determinaţi x ∈ ( 0, π ) , ştiind că ( sin x − cos x )2 = 2 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  1 + 2a 2a  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( a ) =   , unde a este număr real. 0 1  −2 a 1 − 2a  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Arătați că A (1) + A ( 2 ) − A (1) ⋅ A ( 2 ) = I 2 . 5p c) Se consideră numerele naturale m şi n , astfel încât A ( m ) ⋅ A ( n ) = A ( m + n ) . Arătaţi că m = n = 1 . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x 2 + y 2 + x + y . 5p a) Arătați că ( −1) ∗ ( −1) = 0 . 2 2 5p b) Demonstrați că x ∗ y =  x + 1  +  y + 1  − 1 , pentru orice numere reale x și y .  2  2 2 5p c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care x 2 ∗ x 2 ≤ 4 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 1. Se consideră funcţia f : ( −2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x − ln ( x + 2 ) . 2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( 2 x + 3)( 2 x + 5 ) , x ∈ −2, +∞ . ( ) 2 ( x + 2) x2 + 4x − f ( x ) 5p b) Calculaţi lim . x →+∞ x 15 1 5p c) Demonstraţi că x 2 + 4 x + ≥ ln ( 2 x + 4 ) , pentru orice x ∈ ( −2, +∞ ) . 4 2 2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 1 + 2 . x +1 3 ( ) 5p a) Arătaţi că ∫ x + 1 f ( x ) dx = 18 . 2 0 3 5p b) Arătaţi că ∫ x f ( x ) dx = 4 + ln 5 . 1 5p c) Demonstrați că F ( x + 1) ≥ F ( x ) + 1 , pentru orice număr real x , unde F este o primitivă a lui f . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1