Matematică 2021

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numerele log 2 3 , log 2 6 și log 2 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Se consideră funcția f :  , f  x   x2  x  1 . Determinați numărul real x pentru care f  x  x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x  1  2 x  1 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară. 5p 5. Determinaţi numărul real a , pentru care vectorii u  ai  j și v  8i  2 j sunt coliniari. 5p 6. În triunghiul ABC dreptunghic în A , BC  12 și B   . Arătați că aria triunghiului ABC este 6 egală cu 18 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2a  1 4a  4  1. Se consideră matricea A  a     , unde a este număr real.  1  a 3  2a  5p a) Arătați că det  A  2    1 . 5p b) Demonstrați că A  a   A  b   A  a  b  1 , pentru orice numere reale a și b . 2 3 4       5p c) Determinați numărul natural n , știind că A 1  A  2   A 2  A 2  A 2  A  32   A  n  . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y  3x2  5xy  2 y 2 . 5p a) Arătați că 1 2  1 . 5p b) Demonstrați că x x  0 , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care 2 x 3x  0 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f :  , f  x   x2  2x  2  x . x 1 5p a) Arătaţi că f '  x    1, x  . x  2x  2 2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x  1 , situat pe graficul funcției f .  x2  1  2  x2  1  2  4x2  4x  2   x  12 , pentru orice număr real x . 2 5p c) Demonstrați că 2x 2. Se consideră funcţia f :  , f  x  . x2  1 1  5p a) Arătați că  4  f  x  dx   . 2  0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x  0 și x  1 are aria egală cu 2  2  1 . 2 f  x2  dx  ln 34  17  4 2  4 . 5p c) Arătați că  x   1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2