Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi al treilea termen al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a1 = 2 și a2 = 5 . 5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul A ( 3,5 ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = a − x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 84− x = 22 x + 2 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 0. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul M (1,1) . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul M şi are panta egală cu 2. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 5 , AC = 12 și BC = 13 . Arătaţi că sin C = 5 . 13 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 − x 0 2 x  1. Se consideră matricea A ( x ) =  0  1 0  , unde x este număr real.  −x 0 1 + 2x    5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 2 . 5p b) Arătați că A ( x ) A ( y ) = A ( xy + x + y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numerele reale x , știind că A ( x ) A ( x ) A ( x ) = A ( 7 ) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 + X + m , unde m este număr real. 5p a) Arătaţi că f ( 0 ) = m . 5p b) Pentru m = 1 , arătați că x13 + x23 + x33 = 5 x1 x2 x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Determinaţi numărul natural prim m , știind că polinomul f are o rădăcină întreagă. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − x + 1 . 2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 1 − x , x∈ℝ . x2 + 1 5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Arătaţi că derivata funcţiei f este descrescătoare pe ℝ . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln x . e 1 5p a) Arătaţi că ∫ dx = 1 . 1 x 5p b) Calculați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 și x = e . e ( f ( x ) )n dx = 2015 . 1 1 5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , ştiind că ∫ 1 x Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1