Matematică 2015

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 + i . Calculați ( z − 1) . 2 5p 2. Arătați că 3 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 3 , știind că x1 și x2 sunt soluțiile ecuației x 2 − 5 x + 3 = 0 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x + 4 și punctul A (1,0 ) . Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d . π 5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că AB = 12 şi C = . 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1  1. Se consideră matricea A ( a ) =  0 a a + 1  , unde a este număr real.  2 a + 2 a + 3   5p a) Calculați det ( A ( a ) ) . ( ) 5p b) Determinați numărul natural n , știind că 2 A n − A ( n ) = A ( 6 ) . 2 0 5p c) Arătaţi că există o infinitate de matrice X ∈ M3,1 ( ℝ ) care verifică relaţia A ( 2015 ) ⋅ X =  0  . 0   2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX − 3 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 2 , arătaţi că f (1) = 0 . 5p b) Determinaţi numărul real m , ştiind că polinomul f este divizibil cu X + 1 . 5p c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv m , polinomul f are două rădăcini de module egale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x +1 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex − x 5p a) Calculați f ′ ( x ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 = 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Calculaţi lim f ( − x ) . x → +∞ 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . 2 x +4 2 5p a) Calculați ∫ f ( x ) dx . 2 0 5p b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este funcție crescătoare pe ℝ . 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ x n f ( x ) dx . Arătaţi că 0 nI n = 5 − 4 ( n − 1) I n− 2 pentru orice număr natural n , n ≥ 3 . Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1