Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 3 + 2i 5p 1. Calculați partea reală a numărului complex z = . 2 − 3i 5p 2. Determinaţi numărul real a , știind că funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + x − a are graficul tangent axei Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x + 3 ⋅ 4 x − 16 = 0 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , aceasta să aibă un singur element număr par. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 2,3) și N ( 4,1) . Determinați ecuația mediatoarei segmentului MN . 5p 6. Arătați că ( sin x + sin (π − x ) ) + ( cos x + cos ( 2π − x ) ) = 4 , pentru orice număr real x . 2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  0 0 −1 1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  și A ( x ) =  x 0 0  , unde x este număr real. 0 0 1  0 −1 0      5p a) Arătați că A (1) + A ( −1) = 2 A ( 0 ) . 5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det ( A ( x ) + I3 ) = 0 . 5p c) Arătați că det ( aI3 − bA ( −1) + cA ( −1) ⋅ A ( −1) ) ≥ 0 , pentru orice numere reale pozitive a , b și c . 2. Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă şi cu element neutru x ∗ y = xy − 5 x − 5 y + 30 . 5p a) Arătați că x ∗ y = ( x − 5 )( y − 5 ) + 5 , pentru orice numere întregi x și y . 5p b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „∗” . 5p c) Calculaţi d1 ∗ d 2 ∗ ⋯ ∗ d8 , unde d1 , d 2 , … , d8 sunt divizorii naturali ai lui 2015 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − ln ( x + 1) . 5p a) Calculați f ' ( x ) , x ∈ ( −1, +∞ ) . x − f ( x ) − ln 2 5p b) Calculați lim . x →1 x −1 5p c) Demonstrați că ln ( x + 1) ≤ x , pentru orice x ∈ ( −1, +∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . x +1 2 1 5p a) Calculați ∫ f ( x ) dx . 0 1 f ( x ) + x2 f ( x ) π 5p b) Arătați că ∫ dx = . 0 x +1 4 8 x ∫ f ( t ) dt . 1 5p c) Calculați lim x →1 − 1 x 1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1