Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 2 + 3i și z2 = 1 − 3i . Arătați că numărul z1 + z2 este real. 5p 2. Calculați ( f g )(1) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 3 x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 64 = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 4 x + 1 și punctul A ( 2,0 ) . Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d . 5p 6. Arătaţi că sin ( π − x ) sin x − cos (π − x ) cos x = 1 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 1 0 x 0 1. Se consideră matricele A = 0 1 0 și B ( x ) =  x 0 x  , unde x este număr real.       1 0 1 0 x 0 5p a) Arătați că det A = 0 . 5p b) Arătați că A ⋅ B ( x ) + B ( x ) ⋅ A = 3B ( x ) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care B ( x ) ⋅ B ( x ) ⋅ B ( x ) = B x + x − 2 . 2 ( ) 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2 X 2 + 2 X + m , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( 0 ) = m .   5p b) Pentru m = −1 , demonstrați că ( x1 + x2 + x3 )  1 + 1 + 1  = 4 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile x  1 x2 x3 polinomului f . 5p c) Arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 − x + 1 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + x + 1 2 ( x − 1)( x + 1) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ( ) 2 x2 + x + 1 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Calculați lim ( f ( x ) ) . x x →+∞ 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x −2 x . 1 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx = e − 1 0 5p b) Determinaţi primitiva F a funcției f pentru care F (1) = e − 3 . 5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției g : [ 0,1] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) , este egal cu π 6 (3e2 − 19) . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1