Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a1 = 2016 și rația r = 2 . 5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul A (1, 2 ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + m . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 24 x −6 = 43 x − 4 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A = {1, 2,3,…, 40} , acesta să conţină cifra 4. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) și B ( 4,5 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei AB .  π 4 24 5p 6. Dacă x ∈  0,  și sin x = , arătați că sin 2x = .  2 5 25 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 a 1   x + ay + z = 1    1. Se consideră matricea A ( a ) =  a 1 −1  și sistemul de ecuații ax + y − z = −1 , unde a este  1 1 −2   x + y − 2z = 0    număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = −2 . 5p b) Demonstrați că matricea A ( a ) este inversabilă, pentru orice număr real a , a ≠ −1 și a ≠ 1 . 5p c) Determinați numerele întregi a , pentru care sistemul are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) , iar x0 , y0 și z0 sunt numere întregi. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 3 xy + 3 x + 3 y + 2 . 5p a) Arătați că x y = 3 ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x + 3 . Demonstrați că f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numerele reale a , pentru care a a … a = 32015 − 1 . de 2016 ori a SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x +1 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln . x −1 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . 1 1 − x +1 x −1 5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe (1, +∞ ) . 5p c) Demonstrați că lim ( f ' ( 2 ) + f ' ( 3) + f ' ( 4 ) + …+ f ' ( n ) ) = − . 3 n→ +∞ 2 1 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + . x 2 5 5p a) Arătați că ∫ x f ( x ) dx = . 1 2 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare e2 ( ) 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) − x ln x dx = 4 . 1 5p c) Determinați numărul real a , a > 1 , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [1, a ] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) este egal cu π  ln a +  . 7  2 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2