Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul real a , știind că numerele 24, 1020 și a sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că parabola asociată funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x + m este tangentă axei Ox . 2 x−3 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia   1 = 27 . 3 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = { 1, 2, 3, …, 25} , acesta să fie număr rațional. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0, 1) , B ( −2, − 1) și C ( 2, 3 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta BC . 5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC , în care m ( ∢A ) = 45° şi BC = 2 2 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 a a 2   x + ay + a 2 z = 0    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 −1 1  și sistemul de ecuații  x − y + z = 2 , unde a este 1 1 −a   x + y − az = −4    număr real. 5p a) Arătaţi că det ( A ( 0 ) ) = −1 . 1 5p b) Demonstrați că matricea A ( a ) este inversabilă, pentru orice număr real a , a ≠ −1 și a ≠ . 3 5p c) Determinați numerele reale a , pentru care sistemul are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) , iar x0 = y0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = − xy + 2 x + 2 y − 2 . 5p a) Arătați că x ∗ y = 2 − ( x − 2 )( y − 2 ) , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați numerele reale x , pentru care x ∗ x = 1 . 5p c) Demonstrați că, dacă m , n și p sunt numere întregi astfel încât m ∗ n ∗ p = 2 , atunci produsul numerelor m , n și p este divizibil cu 2. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = e x + ln x + 1 . 1 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = e x + , x ∈ ( 0, + ∞ ) . x 5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 are soluție unică în intervalul ( 0,1) . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare xn +1 1 2. Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul I n = ∫ dx . 0 x + 3 3 5p a) Arătaţi că I 0 = 1 + 3ln . 4 1 5p b) Demonstraţi că I n+1 + 3I n = , pentru orice număr natural n . n+2 5p c) Arătaţi că lim nI = 1 . n n→ +∞ 4 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2