Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( 2 − 3) + ( 2 + 3) = 22 . 2 2 5p 1. Arătați că 5p 2. Calculați produsul f ( −1) f ( 0 ) f (1) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 2 . ( 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 3 x − 6 x + 6 = log 3 1 . 2 ) 5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 5, 7 , 8 și 9 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1,0 ) și B (1, 2 ) . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB .  3π   3π  5p 6. Arătați că sin  + x  − sin  − x  = 0 , pentru orice număr real x .  2   2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 x x2 + x    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 1 2 x  , unde x este număr real. 0 0 1    5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( x + y ) , pentru orice numere reale x și y .  1   1   1   a  5p c) Determinați numărul real a , a ≠ −1 , știind că A   A  ⋅… ⋅ A  = A . 1 ⋅ 2   2 ⋅ 3   2016 ⋅ 2017   a + 1 2. Se consideră polinomul f = X 4 + mX 2 + 2 , unde m este număr real. 5p a) Determinați numărul real m , știind că f (1) = 0 . 5p b) Demonstrați că x12 + x22 + x32 + x42 + 2 ( x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) = 0 , pentru orice număr real m , unde x1 , x2 , x3 și x4 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Pentru m = 3 , descompuneți polinomul f în factori ireductibili în ℝ [ X ] . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x . x +1 2 5p a) Arătaţi că f ′ ( x ) = 1 , x∈ℝ . ( x + 1) x + 1 2 2 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , a ∈ ( −1,1) , ecuația f ( x ) = a are soluție unică. 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x ( x − 1) . 2 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) e dx = 0 . −x 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p b) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2 are aria egală cu e . 1 ∫ ( f ( x ) + e ) dx = 0 . x 5p c) Demonstrați că lim n→+∞ −n Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2